Страница 306, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Можно ли утверждать, что уравнение $a^{f(x)} = a^{g(x)}$, где $a > 0$, $a \ne 1$, равносильно уравнению $f(x) = g(x)$?

1. Да, можно утверждать, что уравнение $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ равносильно уравнению $f(x) = g(x)$ при заданных условиях $a > 0, a \neq 1$. Разберем это утверждение подробно.

Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными), если множества их корней (решений) совпадают. Чтобы доказать равносильность уравнений $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ (далее Уравнение 1) и $f(x) = g(x)$ (далее Уравнение 2), необходимо показать, что каждый корень Уравнения 1 является корнем Уравнения 2, и наоборот.

Для этого сначала сравним их области допустимых значений (ОДЗ). ОДЗ — это множество значений переменной, при которых все выражения в уравнении имеют смысл.

Для Уравнения 1: $a^{f(x)} = a^{g(x)}$. Показательная функция $a^t$ определена для любого действительного значения показателя $t$. Следовательно, выражения $a^{f(x)}$ и $a^{g(x)}$ имеют смысл тогда и только тогда, когда определены функции $f(x)$ и $g(x)$. Таким образом, ОДЗ Уравнения 1 есть пересечение областей определения функций $f(x)$ и $g(x)$, то есть $D(f) \cap D(g)$.

Для Уравнения 2: $f(x) = g(x)$. Выражения в этом уравнении имеют смысл также тогда и только тогда, когда определены функции $f(x)$ и $g(x)$. Таким образом, ОДЗ Уравнения 2 также является $D(f) \cap D(g)$.

Поскольку ОДЗ обоих уравнений совпадают, они рассматриваются на одном и том же множестве значений $x$, что является необходимым условием для равносильности.

Теперь докажем, что множества решений совпадают.

1. Покажем, что любой корень Уравнения 1 является корнем Уравнения 2.
Пусть $x_0$ — корень Уравнения 1. Это означает, что $x_0$ принадлежит ОДЗ и для него выполняется равенство: $a^{f(x_0)} = a^{g(x_0)}$.
Показательная функция $y(t) = a^t$ при $a > 0$ и $a \neq 1$ является строго монотонной (возрастающей при $a > 1$ и убывающей при $0 < a < 1$). Из свойства строгой монотонности следует, что функция является взаимно однозначной (инъективной). Это означает, что разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции, и наоборот. Следовательно, если $a^{t_1} = a^{t_2}$, то это возможно только тогда, когда $t_1 = t_2$. Применив это свойство к нашему равенству, получаем $f(x_0) = g(x_0)$. Это означает, что $x_0$ также является корнем Уравнения 2.

2. Покажем, что любой корень Уравнения 2 является корнем Уравнения 1.
Пусть $x_0$ — корень Уравнения 2. Это означает, что $x_0$ принадлежит ОДЗ и для него выполняется равенство: $f(x_0) = g(x_0)$.
Если два числа равны, то, по определению функции, применение одной и той же функции к этим числам даст равные результаты. Применим к обеим частям равенства показательную функцию с основанием $a$: $a^{f(x_0)} = a^{g(x_0)}$. Это означает, что $x_0$ также является корнем Уравнения 1.

Поскольку мы показали, что любой корень Уравнения 1 является корнем Уравнения 2, и любой корень Уравнения 2 является корнем Уравнения 1, их множества решений совпадают. Следовательно, уравнения равносильны.

Ответ: Да, можно утверждать, что данные уравнения равносильны. Переход от уравнения $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ к уравнению $f(x) = g(x)$ и обратно является равносильным преобразованием при условии, что основание степени $a$ удовлетворяет условиям $a > 0$ и $a \neq 1$. Это следует из того, что, во-первых, области допустимых значений обоих уравнений совпадают, а во-вторых, показательная функция является взаимно однозначной (инъективной).

2. Можно ли утверждать, что уравнение $\log_a f(x) = \log_a g(x)$, где $a > 0$, $a \ne 1$, равносильно уравнению $f(x) = g(x)$?

Нет, утверждать, что уравнение $\log_a f(x) = \log_a g(x)$, где $a > 0$, $a \neq 1$, равносильно уравнению $f(x) = g(x)$, в общем случае нельзя.

Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными), если множества их решений полностью совпадают. Чтобы определить, равносильны ли данные уравнения, необходимо сравнить их множества решений.

1. Анализ уравнения $\log_a f(x) = \log_a g(x)$

Это логарифмическое уравнение. По определению логарифма, его аргумент должен быть строго больше нуля. Следовательно, область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется системой неравенств:

$$ \begin{cases} f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \end{cases} $$

Поскольку логарифмическая функция $y = \log_a t$ является монотонной, из равенства значений функции следует равенство ее аргументов. Таким образом, из уравнения $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ следует, что $f(x) = g(x)$.

Следовательно, чтобы найти решение исходного логарифмического уравнения, нужно найти значения $x$, которые удовлетворяют системе:

$$ \begin{cases} f(x) = g(x) \\ f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \end{cases} $$

Так как $f(x) = g(x)$, одно из неравенств ($f(x) > 0$ или $g(x) > 0$) можно опустить, так как оно будет выполняться автоматически, если выполняется другое. То есть, уравнение $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ равносильно системе:

$$ \begin{cases} f(x) = g(x) \\ f(x) > 0 \end{cases} \quad \text{или, что то же самое,} \quad \begin{cases} f(x) = g(x) \\ g(x) > 0 \end{cases} $$

2. Анализ уравнения $f(x) = g(x)$

Это уравнение, в общем случае, не имеет ограничений на знак функций $f(x)$ и $g(x)$. Его решениями являются все значения $x$, при которых значения функций равны, независимо от того, положительны они, отрицательны или равны нулю.

Сравнение и вывод

Из анализа видно, что любое решение уравнения $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ также является решением уравнения $f(x) = g(x)$. Однако обратное не всегда верно. Уравнение $f(x) = g(x)$ может иметь корни, при которых $f(x) = g(x) \le 0$. Такие корни не входят в ОДЗ логарифмического уравнения, а значит, не являются его решениями. Такие корни называют посторонними.

Поскольку множество решений уравнения $f(x) = g(x)$ может быть шире, чем множество решений уравнения $\log_a f(x) = \log_a g(x)$, эти уравнения не являются равносильными.

Пример, иллюстрирующий неравносильность:

Рассмотрим два уравнения:

1) $\log_2(x^2 - 3x) = \log_2(3x - 8)$

2) $x^2 - 3x = 3x - 8$

Решим второе уравнение, которое является следствием первого:

$x^2 - 6x + 8 = 0$

По теореме Виета, корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.

Множество решений второго уравнения: $\{2, 4\}$.

Теперь проверим эти корни для первого, логарифмического, уравнения. Его ОДЗ определяется системой:

$$ \begin{cases} x^2 - 3x > 0 \\ 3x - 8 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x(x-3) > 0 \\ x > 8/3 \end{cases} \implies \begin{cases} x \in (-\infty, 0) \cup (3, \infty) \\ x > 8/3 \end{cases} $$

Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \in (3, \infty)$.

• Проверяем корень $x_1 = 2$. Он не принадлежит ОДЗ, так как $2 \ngtr 3$. При подстановке в аргументы логарифмов получаем: $f(2) = 2^2 - 3(2) = -2$, $g(2) = 3(2) - 8 = -2$. Логарифм от отрицательного числа не определен. Значит, $x=2$ — посторонний корень.
• Проверяем корень $x_2 = 4$. Он принадлежит ОДЗ, так как $4 > 3$. При подстановке: $f(4) = 4^2 - 3(4) = 4 > 0$, $g(4) = 3(4) - 8 = 4 > 0$. Этот корень является решением логарифмического уравнения.

Таким образом, множество решений первого уравнения равно $\{4\}$, а второго — $\{2, 4\}$. Так как множества решений не совпадают, уравнения не являются равносильными.

Ответ: Нет, утверждать, что уравнение $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ равносильно уравнению $f(x) = g(x)$, нельзя. Уравнение $f(x) = g(x)$ является следствием логарифмического уравнения, но может иметь посторонние корни, которые не удовлетворяют области допустимых значений (ОДЗ) исходного логарифмического уравнения, а именно условиям $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$.

3. При каких условиях уравнение $ \log_a f(x) = \log_a g(x) $, где $a > 0, a \neq 1$, равносильно уравнению $ f(x) = g(x) $?

Два уравнения считаются равносильными, если множества их корней (решений) полностью совпадают. Чтобы определить условия, при которых уравнения $ \log_a f(x) = \log_a g(x) $ и $ f(x) = g(x) $ равносильны, необходимо проанализировать их области определения и множества решений.

Уравнение $ \log_a f(x) = \log_a g(x) $ имеет смысл только тогда, когда аргументы обоих логарифмов строго положительны. Это требование определяет область допустимых значений (ОДЗ) данного уравнения:

$ \begin{cases} f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \end{cases} $

На этой ОДЗ, поскольку логарифмическая функция с основанием $a$ (где $ a > 0, a \neq 1 $) является монотонной, равенство логарифмов эквивалентно равенству их аргументов. Следовательно, уравнение $ \log_a f(x) = \log_a g(x) $ равносильно системе:

$ \begin{cases} f(x) = g(x) \\ f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \end{cases} $

Обратим внимание, что если выполняется условие $ f(x) = g(x) $, то неравенства $ f(x) > 0 $ и $ g(x) > 0 $ становятся взаимозаменяемыми. То есть, если $ f(x) > 0 $, то и $ g(x) > 0 $, и наоборот. Поэтому систему можно записать в более простом виде, выбрав одно из неравенств:

$ \begin{cases} f(x) = g(x) \\ f(x) > 0 \end{cases} $ или, что эквивалентно, $ \begin{cases} f(x) = g(x) \\ g(x) > 0 \end{cases} $

Теперь рассмотрим второе уравнение: $ f(x) = g(x) $. Это уравнение само по себе не накладывает ограничений на знак функций $ f(x) $ и $ g(x) $. Его решениями являются все значения $ x $, для которых значения этих функций равны.

Чтобы два уравнения были равносильны, множество решений уравнения $ f(x) = g(x) $ должно полностью совпадать с множеством решений системы $ \begin{cases} f(x) = g(x) \\ f(x) > 0 \end{cases} $. Это возможно только в том случае, если дополнительное условие $ f(x) > 0 $ не отбрасывает ни одного из корней уравнения $ f(x) = g(x) $. Другими словами, для каждого корня $ x_0 $ уравнения $ f(x) = g(x) $ должно автоматически выполняться условие $ f(x_0) > 0 $ (и, следовательно, $ g(x_0) > 0 $).

Таким образом, уравнения равносильны, если все решения уравнения $ f(x) = g(x) $ принадлежат области допустимых значений логарифмического уравнения.

Ответ: Уравнение $ \log_a f(x) = \log_a g(x) $ равносильно уравнению $ f(x) = g(x) $ при условии, что на множестве решений уравнения $ f(x) = g(x) $ выполняется неравенство $ f(x) > 0 $ (или, что эквивалентно, $ g(x) > 0 $).

4. Перечислите основные методы решения логарифмических уравнений.

Существует несколько основных методов решения логарифмических уравнений. Выбор метода зависит от вида уравнения. Важнейшим этапом решения является проверка найденных корней на соответствие области допустимых значений (ОДЗ), так как подлогарифмическое выражение должно быть строго положительным, а основание логарифма — положительным и не равным единице.

1. Метод, основанный на определении логарифма

Этот метод применяется для решения простейших логарифмических уравнений вида $\log_a f(x) = b$. По определению логарифма, такое уравнение равносильно уравнению $f(x) = a^b$. При этом необходимо учитывать ОДЗ: $f(x) > 0$ и $a > 0, a \neq 1$. Так как для $a > 0$ значение $a^b$ всегда положительно, условие $f(x) > 0$ выполняется автоматически, и отдельная проверка ОДЗ для найденных корней не требуется (но помнить об этом условии важно при решении более сложных задач).

Пример: Решить уравнение $\log_3(2x-5) = 2$.

Решение:

Согласно определению логарифма, переходим к равносильному уравнению:

$2x - 5 = 3^2$

$2x - 5 = 9$

$2x = 14$

$x = 7$

Проверим, принадлежит ли корень ОДЗ. Подлогарифмическое выражение $2x-5$ должно быть больше нуля: $2(7) - 5 = 14 - 5 = 9 > 0$. Условие выполнено.

Ответ: 7.

2. Метод потенцирования

Этот метод используется для уравнений вида $\log_a f(x) = \log_a g(x)$. Потенцирование — это операция, обратная логарифмированию. Если логарифмы двух выражений по одному и тому же основанию равны, то равны и сами выражения. Уравнение сводится к системе:

$$ \begin{cases} f(x) = g(x) \\ f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \end{cases} $$

Поскольку $f(x)=g(x)$, достаточно проверить выполнение только одного из двух неравенств (например, $g(x) > 0$), так как выполнение одного автоматически влечет за собой выполнение другого.

Пример: Решить уравнение $\log_{0.5}(x^2 - 4) = \log_{0.5}(3x)$.

Решение:

Приравниваем подлогарифмические выражения:

$x^2 - 4 = 3x$

$x^2 - 3x - 4 = 0$

По теореме Виета находим корни квадратного уравнения: $x_1 = 4$, $x_2 = -1$.

Теперь необходимо проверить корни по ОДЗ. Выберем более простое условие $3x > 0$, что означает $x>0$.

• Проверяем $x_1 = 4$: $4 > 0$. Корень подходит.
• Проверяем $x_2 = -1$: $-1 \ngtr 0$. Корень является посторонним.

Ответ: 4.

3. Метод введения новой переменной (замены)

Если в уравнении многократно встречается одно и то же логарифмическое выражение, его можно заменить новой переменной. Это позволяет свести исходное логарифмическое уравнение к более простому алгебраическому (чаще всего квадратному) уравнению.

Пример: Решить уравнение $\lg^2 x - 3\lg x + 2 = 0$. (здесь $\lg x$ — это $\log_{10} x$)

Решение:

ОДЗ: $x > 0$.

Введем новую переменную: пусть $t = \lg x$. Уравнение примет вид:

$t^2 - 3t + 2 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $t_1 = 1$, $t_2 = 2$.

Выполняем обратную замену:

1. $\lg x = 1 \implies x = 10^1 = 10$.
2. $\lg x = 2 \implies x = 10^2 = 100$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($10>0$ и $100>0$).

Ответ: 10; 100.

4. Метод приведения логарифмов к одному основанию

Если в уравнении присутствуют логарифмы с разными основаниями, их следует привести к одному основанию с помощью формулы перехода к новому основанию: $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$.

Пример: Решить уравнение $\log_3 x + \log_9 x = 6$.

Решение:

ОДЗ: $x>0$.

Приведем $\log_9 x$ к основанию 3:

$\log_9 x = \frac{\log_3 x}{\log_3 9} = \frac{\log_3 x}{2}$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$\log_3 x + \frac{1}{2}\log_3 x = 6$

$\frac{3}{2}\log_3 x = 6$

$\log_3 x = 6 \cdot \frac{2}{3}$

$\log_3 x = 4$

$x = 3^4 = 81$.

Корень $x=81$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 81.

5. Метод логарифмирования

Этот метод применяется к уравнениям, в которых переменная находится и в основании, и в показателе степени, например, $f(x)^{g(x)} = h(x)$. Обе части уравнения логарифмируются по некоторому удобному основанию. При этом необходимо убедиться, что обе части уравнения положительны.

Пример: Решить уравнение $x^{\log_2 x} = 16$.

Решение:

ОДЗ: $x > 0$. При этом условии обе части уравнения положительны.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2:

$\log_2(x^{\log_2 x}) = \log_2 16$

Используем свойство логарифма степени $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a b$:

$\log_2 x \cdot \log_2 x = 4$

$(\log_2 x)^2 = 4$

Отсюда получаем два случая:

1. $\log_2 x = 2 \implies x = 2^2 = 4$.
2. $\log_2 x = -2 \implies x = 2^{-2} = \frac{1}{4}$.

Оба корня ($4$ и $1/4$) положительны и входят в ОДЗ.

Ответ: 0.25; 4.

6. Функционально-графический метод

Иногда уравнение $f(x) = g(x)$ невозможно решить стандартными алгебраическими методами. В таких случаях можно исследовать свойства функций $y=f(x)$ и $y=g(x)$. Например, если одна из функций является монотонно возрастающей, а другая — монотонно убывающей, то уравнение имеет не более одного корня. Этот корень часто можно найти подбором и доказать его единственность.

Пример: Решить уравнение $\log_3 x = 4 - x$.

Решение:

Рассмотрим две функции: $y_1 = \log_3 x$ и $y_2 = 4 - x$.

Функция $y_1 = \log_3 x$ является строго возрастающей на всей своей области определения ($x > 0$).

Функция $y_2 = 4 - x$ (линейная) является строго убывающей на всей числовой оси.

Если одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, то их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Следовательно, данное уравнение имеет не более одного корня.

Найдем этот корень методом подбора. Проверим целые значения $x$.

При $x = 3$:

Левая часть: $\log_3 3 = 1$.

Правая часть: $4 - 3 = 1$.

Поскольку $1=1$, то $x=3$ является корнем уравнения. Так как мы доказали, что корень может быть только один, то это и есть решение.

Ответ: 3.

5. Сколько корней имеет уравнение $\log_2 x = \frac{1}{x}$? уравнение $\log_2 x = 3 - x$? Какое из этих уравнений вы можете решить устно?

Сколько корней имеет уравнение $\log_2 x = \frac{1}{x}$?

Для определения количества корней уравнения рассмотрим две функции: $y = \log_2 x$ и $y = \frac{1}{x}$. Количество корней уравнения равно количеству точек пересечения графиков этих функций.

Область определения для обеих частей уравнения — это $x > 0$.

Проанализируем поведение функций на интервале $(0, \infty)$:
- Функция $y = \log_2 x$ является логарифмической с основанием $2 > 1$, поэтому она строго возрастает на всей своей области определения.
- Функция $y = \frac{1}{x}$ (гипербола) на интервале $(0, \infty)$ является строго убывающей.

Поскольку одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, их графики могут пересечься не более одного раза.

Чтобы доказать, что пересечение существует, проверим значения функций в двух точках:
- При $x = 1$: $\log_2 1 = 0$, а $\frac{1}{1} = 1$. Видим, что $\log_2 x < \frac{1}{x}$.
- При $x = 2$: $\log_2 2 = 1$, а $\frac{1}{2} = 0.5$. Видим, что $\log_2 x > \frac{1}{x}$.

Так как на отрезке $[1, 2]$ непрерывная функция $f(x) = \log_2 x - \frac{1}{x}$ меняет свой знак ($f(1) < 0$ и $f(2) > 0$), то по теореме о промежуточном значении на интервале $(1, 2)$ существует как минимум один корень.

Учитывая, что корень может быть только один, делаем вывод, что уравнение имеет ровно один корень.

Ответ: уравнение имеет один корень.

Сколько корней имеет уравнение $\log_2 x = 3 - x$?

Аналогично предыдущему случаю, рассмотрим функции $y = \log_2 x$ и $y = 3 - x$.

Область определения: $x > 0$.

Анализ функций:
- Функция $y = \log_2 x$ — строго возрастающая.
- Функция $y = 3 - x$ (линейная) — строго убывающая.

Так как одна функция возрастает, а другая убывает, у них может быть не более одной точки пересечения, то есть у уравнения не более одного корня.

Попробуем найти корень методом подбора. Проверим значение $x = 2$:
- Левая часть: $\log_2 2 = 1$.
- Правая часть: $3 - 2 = 1$.

Поскольку $1 = 1$, то $x = 2$ является корнем уравнения. Так как мы установили, что корень может быть только один, это и есть единственное решение.

Ответ: уравнение имеет один корень.

Какое из этих уравнений вы можете решить устно?

Устно можно решить второе уравнение: $\log_2 x = 3 - x$.

Корень первого уравнения $\log_2 x = \frac{1}{x}$ является иррациональным числом, которое невозможно найти простым подбором. Для его нахождения требуются численные методы.

Корень второго уравнения, $x = 2$, легко находится подбором целого числа, что можно сделать в уме. Убедившись, что левая часть ($\log_2 x$) возрастает, а правая ($3-x$) убывает, мы понимаем, что других корней нет, поэтому найденный корень является единственным.

Ответ: устно можно решить уравнение $\log_2 x = 3 - x$, его корень $x=2$.