Номер 3, страница 306, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §44 - номер 3, страница 306.

Условие.

3. При каких условиях уравнение $ \log_a f(x) = \log_a g(x) $, где $a > 0, a \neq 1$, равносильно уравнению $ f(x) = g(x) $?

Решение 6.

Два уравнения считаются равносильными, если множества их корней (решений) полностью совпадают. Чтобы определить условия, при которых уравнения $ \log_a f(x) = \log_a g(x) $ и $ f(x) = g(x) $ равносильны, необходимо проанализировать их области определения и множества решений.

Уравнение $ \log_a f(x) = \log_a g(x) $ имеет смысл только тогда, когда аргументы обоих логарифмов строго положительны. Это требование определяет область допустимых значений (ОДЗ) данного уравнения:

$ \begin{cases} f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \end{cases} $

На этой ОДЗ, поскольку логарифмическая функция с основанием $a$ (где $ a > 0, a \neq 1 $) является монотонной, равенство логарифмов эквивалентно равенству их аргументов. Следовательно, уравнение $ \log_a f(x) = \log_a g(x) $ равносильно системе:

$ \begin{cases} f(x) = g(x) \\ f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \end{cases} $

Обратим внимание, что если выполняется условие $ f(x) = g(x) $, то неравенства $ f(x) > 0 $ и $ g(x) > 0 $ становятся взаимозаменяемыми. То есть, если $ f(x) > 0 $, то и $ g(x) > 0 $, и наоборот. Поэтому систему можно записать в более простом виде, выбрав одно из неравенств:

$ \begin{cases} f(x) = g(x) \\ f(x) > 0 \end{cases} $ или, что эквивалентно, $ \begin{cases} f(x) = g(x) \\ g(x) > 0 \end{cases} $

Теперь рассмотрим второе уравнение: $ f(x) = g(x) $. Это уравнение само по себе не накладывает ограничений на знак функций $ f(x) $ и $ g(x) $. Его решениями являются все значения $ x $, для которых значения этих функций равны.

Чтобы два уравнения были равносильны, множество решений уравнения $ f(x) = g(x) $ должно полностью совпадать с множеством решений системы $ \begin{cases} f(x) = g(x) \\ f(x) > 0 \end{cases} $. Это возможно только в том случае, если дополнительное условие $ f(x) > 0 $ не отбрасывает ни одного из корней уравнения $ f(x) = g(x) $. Другими словами, для каждого корня $ x_0 $ уравнения $ f(x) = g(x) $ должно автоматически выполняться условие $ f(x_0) > 0 $ (и, следовательно, $ g(x_0) > 0 $).

Таким образом, уравнения равносильны, если все решения уравнения $ f(x) = g(x) $ принадлежат области допустимых значений логарифмического уравнения.

Ответ: Уравнение $ \log_a f(x) = \log_a g(x) $ равносильно уравнению $ f(x) = g(x) $ при условии, что на множестве решений уравнения $ f(x) = g(x) $ выполняется неравенство $ f(x) > 0 $ (или, что эквивалентно, $ g(x) > 0 $).