Номер 2, страница 301, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §43. ч. 1 - номер 2, страница 301.

2. При каких значениях $x$ верно равенство:

а) $\log_3 x^2 = 2 \log_3 x;$

б) $\log_3 x^2 = -2 \log_3 x;$

в) $\log_3 x^2 = 2 \log_3 |x|?$

а) Рассмотрим равенство $log_3 x^2 = 2 log_3 x$.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным.
1. Для левой части равенства, $log_3 x^2$, необходимо, чтобы $x^2 > 0$. Это неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x=0$.
2. Для правой части равенства, $2 log_3 x$, необходимо, чтобы $x > 0$.
Общая ОДЗ является пересечением этих двух условий: ($x \neq 0$) и ($x > 0$), что дает нам $x > 0$.
Теперь, когда мы определили, что $x$ должен быть положительным, мы можем использовать свойство логарифма $log_a b^p = p log_a b$ (которое справедливо для $b > 0$).
Применяя это свойство к левой части, получаем:
$log_3 x^2 = 2 log_3 x$.
Таким образом, исходное равенство превращается в тождество:
$2 log_3 x = 2 log_3 x$.
Это тождество верно для всех значений $x$ из области допустимых значений.
Следовательно, равенство верно для всех $x > 0$.
Ответ: $x \in (0, +\infty)$.

б) Рассмотрим равенство $log_3 x^2 = -2 log_3 x$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого равенства такая же, как и в пункте а): $x > 0$. Это следует из одновременного выполнения условий $x^2 > 0$ и $x > 0$.
На этой области ($x > 0$) мы можем преобразовать левую часть $log_3 x^2$ в $2 log_3 x$.
Подставим это в исходное равенство:
$2 log_3 x = -2 log_3 x$.
Перенесем все члены в левую сторону:
$2 log_3 x + 2 log_3 x = 0$.
$4 log_3 x = 0$.
Разделим обе части на 4:
$log_3 x = 0$.
По определению логарифма, если $log_a b = c$, то $a^c = b$. Применяя это, получаем:
$x = 3^0$.
$x = 1$.
Полученное значение $x=1$ удовлетворяет ОДЗ ($1 > 0$), следовательно, является единственным решением.
Ответ: $x = 1$.

в) Рассмотрим равенство $log_3 x^2 = 2 log_3 |x|$.
Определим ОДЗ для этого равенства.
1. Для левой части, $log_3 x^2$, аргумент $x^2$ должен быть больше нуля: $x^2 > 0$, что означает $x \ne 0$.
2. Для правой части, $2 log_3 |x|$, аргумент $|x|$ должен быть больше нуля: $|x| > 0$, что также означает $x \ne 0$.
Следовательно, ОДЗ для всего равенства: $x \ne 0$.
Теперь воспользуемся основным свойством логарифма для четной степени: $log_a (b^p) = p \cdot log_a |b|$, где $p$ — четное число. В нашем случае $p=2$.
Применяя это свойство к левой части, мы видим, что $log_3 x^2$ тождественно равно $2 log_3 |x|$ для всех $x \neq 0$.
Таким образом, данное равенство является тождеством, верным для всех значений $x$, при которых обе его части определены.
Как мы установили, обе части определены при $x \ne 0$.
Следовательно, равенство верно для всех $x \ne 0$.
Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.