Номер 4, страница 289, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §41. ч. 1 - номер 4, страница 289.

4. Приведите два примера, когда $ \log_a b $ — иррациональное число.

Чтобы найти примеры иррациональных логарифмов, воспользуемся определением рационального и иррационального числа, а также свойствами логарифмов.

Число $\log_a b$ является рациональным, если его можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ — целые числа, а $q \neq 0$. Если $\log_a b = \frac{p}{q}$, то по определению логарифма $a^{\frac{p}{q}} = b$. Возведя обе части в степень $q$, получим $a^p = b^q$. Таким образом, логарифм рационален, если основание $a$ и число под логарифмом $b$ являются целыми степенями одного и того же числа.

Соответственно, число $\log_a b$ является иррациональным, если не существует таких целых $p$ и $q$, для которых выполняется равенство $a^p = b^q$. Это происходит, когда $a$ и $b$ нельзя представить как степени одного и того же числа. Самый простой способ подобрать такие числа — выбрать в качестве $a$ и $b$ разные простые числа или числа с разным набором простых множителей.

Пример 1

Рассмотрим число $\log_2 3$. Докажем, что оно иррациональное, методом от противного.

Предположим, что $\log_2 3$ — рациональное число. Тогда его можно записать в виде несократимой дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ — натуральные числа ($p, q \in \mathbb{N}$).

$\log_2 3 = \frac{p}{q}$

По определению логарифма, это равносильно равенству:

$2^{\frac{p}{q}} = 3$

Возведем обе части равенства в степень $q$:

$(2^{\frac{p}{q}})^q = 3^q$

$2^p = 3^q$

Полученное равенство не может быть верным для натуральных $p$ и $q$. Согласно основной теореме арифметики, любое натуральное число больше 1 раскладывается на простые множители единственным образом. В левой части равенства ($2^p$) единственным простым множителем является 2, а в правой части ($3^q$) — 3. Так как разложения на простые множители уникальны и различны, равенство невозможно.

Мы пришли к противоречию. Следовательно, наше исходное предположение было неверным, и число $\log_2 3$ является иррациональным.

Ответ: $\log_2 3$

Пример 2

Рассмотрим число $\log_3 5$. Доказательство его иррациональности аналогично первому примеру.

Предположим, что $\log_3 5$ — рациональное число. Тогда $\log_3 5 = \frac{p}{q}$, где $p, q \in \mathbb{N}$.

По определению логарифма:

$3^{\frac{p}{q}} = 5$

Возведем обе части в степень $q$:

$(3^{\frac{p}{q}})^q = 5^q$

$3^p = 5^q$

Это равенство также неверно для любых натуральных $p$ и $q$. Левая часть $3^p$ делится нацело только на степени тройки, а правая часть $5^q$ — только на степени пятерки. Согласно основной теореме арифметики, такое равенство невозможно.

Противоречие доказывает, что предположение о рациональности числа $\log_3 5$ было ошибочным.

Ответ: $\log_3 5$