Номер 2, страница 286, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §40. ч. 1 - номер 2, страница 286.

2. Верно ли, что уравнение $3^{2x-4} = 9^{x^2}$ равносильно уравнению $x-2=x^2$?

Обоснуйте свой ответ.

Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными), если множества их решений совпадают. Чтобы определить, являются ли данные уравнения равносильными, мы можем либо найти множества решений для каждого из них и сравнить их, либо преобразовать одно уравнение в другое с помощью равносильных преобразований.

Рассмотрим первое уравнение: $3^{2x-4} = 9^{x^2}$.

Это показательное уравнение. Для его решения необходимо привести обе части к одному основанию. Поскольку $9 = 3^2$, мы можем переписать правую часть уравнения следующим образом:
$3^{2x-4} = (3^2)^{x^2}$

Используя свойство степени «возведение степени в степень» ($(a^m)^n = a^{mn}$), мы получаем:
$3^{2x-4} = 3^{2x^2}$

Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели. Это преобразование является равносильным, так как показательная функция $y=a^t$ (при $a>0, a \ne 1$) является монотонной, и каждому значению функции соответствует единственное значение аргумента.
$2x-4 = 2x^2$

Теперь разделим обе части полученного квадратного уравнения на 2. Это преобразование также является равносильным, так как мы делим на число, не равное нулю.
$x-2 = x^2$

В результате равносильных преобразований мы получили второе уравнение из условия задачи. Это доказывает, что исходные уравнения равносильны.

Для полной уверенности можно также найти множество решений для уравнения $x-2 = x^2$. Для этого приведем его к стандартному виду $ax^2+bx+c=0$:
$x^2 - x + 2 = 0$

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$

Так как дискриминант отрицателен ($D < 0$), данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Его множество решений — пустое множество ($\emptyset$). Поскольку уравнение $3^{2x-4} = 9^{x^2}$ равносильно уравнению $x-2 = x^2$, оно также не имеет действительных корней.

Таким образом, множества решений обоих уравнений совпадают (оба являются пустыми множествами), что подтверждает их равносильность.

Ответ: Да, верно. Уравнение $3^{2x-4} = 9^{x^2}$ равносильно уравнению $x-2 = x^2$, так как первое уравнение с помощью равносильных преобразований сводится ко второму. Множество решений для обоих уравнений является пустым.