Номер 7, страница 281, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §39 - номер 7, страница 281.

Условие.

7. Напишите уравнение асимптоты для графика функции:

а) $y = 2^x$;

в) $y = 3^x + 2$;

д) $y = 4.3^x - 3$;

б) $y = (0.3)^x$;

г) $y = \left(\frac{2}{3}\right)^x - 1$;

е) $y = 0.5^x + 7$.

Решение 6.

Все представленные функции являются экспоненциальными. Общий вид такой функции $y = k \cdot a^x + b$. График такой функции имеет горизонтальную асимптоту, уравнение которой определяется постоянным слагаемым $b$. Это происходит потому, что при стремлении $x$ к бесконечности (положительной или отрицательной, в зависимости от основания $a$) член $k \cdot a^x$ стремится к нулю.

а) Для функции $y = 2^x$, мы можем представить её в виде $y = 2^x + 0$. Здесь постоянное слагаемое $b=0$. Поскольку основание $a=2 > 1$, при $x \to -\infty$, значение $2^x$ стремится к 0. Таким образом, график функции приближается к прямой $y=0$.
Ответ: $y=0$.

б) Для функции $y = (0,3)^x$, мы можем представить её в виде $y = (0,3)^x + 0$. Здесь постоянное слагаемое $b=0$. Поскольку основание $a=0,3$ находится в интервале $(0, 1)$, при $x \to +\infty$, значение $(0,3)^x$ стремится к 0. Таким образом, график функции приближается к прямой $y=0$.
Ответ: $y=0$.

в) Для функции $y = 3^x + 2$, постоянное слагаемое $b=2$. Поскольку основание $a=3 > 1$, при $x \to -\infty$, значение $3^x$ стремится к 0. Таким образом, график функции приближается к прямой $y = 0 + 2 = 2$.
Ответ: $y=2$.

г) Для функции $y = (\frac{2}{3})^x - 1$, постоянное слагаемое $b=-1$. Поскольку основание $a=\frac{2}{3}$ находится в интервале $(0, 1)$, при $x \to +\infty$, значение $(\frac{2}{3})^x$ стремится к 0. Таким образом, график функции приближается к прямой $y = 0 - 1 = -1$.
Ответ: $y=-1$.

д) Для функции $y = 4,3^x - 3$, постоянное слагаемое $b=-3$. Поскольку основание $a=4,3 > 1$, при $x \to -\infty$, значение $4,3^x$ стремится к 0. Таким образом, график функции приближается к прямой $y = 0 - 3 = -3$.
Ответ: $y=-3$.

е) Для функции $y = 0,5^x + 7$, постоянное слагаемое $b=7$. Поскольку основание $a=0,5$ находится в интервале $(0, 1)$, при $x \to +\infty$, значение $0,5^x$ стремится к 0. Таким образом, график функции приближается к прямой $y = 0 + 7 = 7$.
Ответ: $y=7$.