Номер 3, страница 281, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §39 - номер 3, страница 281.

Условие.

3. Чему равен $\lim_{x \to -\infty} a^x$, если $a > 1$?

Решение 6.

Для нахождения предела $\lim_{x \to -\infty} a^x$ при условии $a > 1$, мы можем выполнить замену переменной.

Пусть $y = -x$. Из этого следует, что $x = -y$. Когда $x$ стремится к минус бесконечности ($x \to -\infty$), новая переменная $y$ будет стремиться к плюс бесконечности ($y \to +\infty$).

Теперь мы можем переписать исходный предел с новой переменной $y$: $$ \lim_{x \to -\infty} a^x = \lim_{y \to +\infty} a^{-y} $$

Используя свойство степеней $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, мы получаем: $$ \lim_{y \to +\infty} a^{-y} = \lim_{y \to +\infty} \frac{1}{a^y} $$

Рассмотрим знаменатель дроби. Так как по условию основание степени $a > 1$, то при $y \to +\infty$ значение выражения $a^y$ неограниченно возрастает, то есть $\lim_{y \to +\infty} a^y = +\infty$.

Таким образом, мы имеем предел от дроби, в которой числитель — константа (1), а знаменатель стремится к бесконечности. Такой предел равен нулю. $$ \lim_{y \to +\infty} \frac{1}{a^y} = \frac{1}{+\infty} = 0 $$

Это также можно понять, рассмотрев график показательной функции $f(x) = a^x$ при $a > 1$. График этой функции проходит через точку $(0, 1)$ и является возрастающим. При движении влево по оси $x$ (т.е. при $x \to -\infty$), график функции асимптотически приближается к оси абсцисс (линии $y=0$), но не пересекает её. Следовательно, предел функции при $x \to -\infty$ равен 0.

Ответ: 0