Номер 5, страница 267, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §38. ч. 1 - номер 5, страница 267.

5. Найдите производную для каждой из указанных ниже функций:

$ y = x^{\frac{2}{3}} $, $ y = x^{\frac{3}{2}} $, $ y = x^{-0.6} $, $ y = x^{11} $, $ y = x^{-11} $, $ y = x^{-\frac{16}{7}} $, $ y = x^{2.7} $,

$ y = x^{0.11} $, $ y = \sqrt[3]{x} $, $ y = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} $.

Для нахождения производной каждой из указанных функций используется правило дифференцирования степенной функции. Для любой функции вида $y = x^n$, ее производная $y'$ находится по формуле:

$$(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$$

Применим эту формулу к каждой из заданных функций.

$y = x^{\frac{2}{3}}$

В данном случае показатель степени $n = \frac{2}{3}$. Применяем формулу производной степенной функции:
$y' = (x^{\frac{2}{3}})' = \frac{2}{3} \cdot x^{\frac{2}{3} - 1} = \frac{2}{3} \cdot x^{\frac{2}{3} - \frac{3}{3}} = \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}$.
Результат также можно представить в виде корня: $y' = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$.
Ответ: $y' = \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}$.

$y = x^{\frac{3}{2}}$

Здесь показатель степени $n = \frac{3}{2}$. Находим производную:
$y' = (x^{\frac{3}{2}})' = \frac{3}{2} \cdot x^{\frac{3}{2} - 1} = \frac{3}{2} \cdot x^{\frac{3}{2} - \frac{2}{2}} = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}$.
Результат также можно представить в виде корня: $y' = \frac{3}{2}\sqrt{x}$.
Ответ: $y' = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}$.

$y = x^{-0,6}$

Показатель степени $n = -0,6$. Дифференцируем функцию:
$y' = (x^{-0,6})' = -0,6 \cdot x^{-0,6 - 1} = -0,6x^{-1,6}$.
Ответ: $y' = -0,6x^{-1,6}$.

$y = x^{11}$

Показатель степени $n = 11$. Находим производную:
$y' = (x^{11})' = 11 \cdot x^{11 - 1} = 11x^{10}$.
Ответ: $y' = 11x^{10}$.

$y = x^{-11}$

Показатель степени $n = -11$. Находим производную:
$y' = (x^{-11})' = -11 \cdot x^{-11 - 1} = -11x^{-12}$.
Ответ: $y' = -11x^{-12}$.

$y = x^{-2\frac{2}{7}}$

Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $-2\frac{2}{7} = -\frac{2 \cdot 7 + 2}{7} = -\frac{16}{7}$. Таким образом, функция имеет вид $y = x^{-\frac{16}{7}}$.
Показатель степени $n = -\frac{16}{7}$. Находим производную:
$y' = (x^{-\frac{16}{7}})' = -\frac{16}{7} \cdot x^{-\frac{16}{7} - 1} = -\frac{16}{7} \cdot x^{-\frac{16}{7} - \frac{7}{7}} = -\frac{16}{7}x^{-\frac{23}{7}}$.
Ответ: $y' = -\frac{16}{7}x^{-\frac{23}{7}}$.

$y = x^{2,7}$

Показатель степени $n = 2,7$. Дифференцируем функцию:
$y' = (x^{2,7})' = 2,7 \cdot x^{2,7 - 1} = 2,7x^{1,7}$.
Ответ: $y' = 2,7x^{1,7}$.

$y = x^{0,11}$

Показатель степени $n = 0,11$. Находим производную:
$y' = (x^{0,11})' = 0,11 \cdot x^{0,11 - 1} = 0,11x^{-0,89}$.
Ответ: $y' = 0,11x^{-0,89}$.

$y = \sqrt[3]{x}$

Сначала представим функцию в виде степени: $y = x^{\frac{1}{3}}$.
Показатель степени $n = \frac{1}{3}$. Находим производную:
$y' = (x^{\frac{1}{3}})' = \frac{1}{3} \cdot x^{\frac{1}{3} - 1} = \frac{1}{3} \cdot x^{\frac{1}{3} - \frac{3}{3}} = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}$.
Результат можно записать обратно в виде корня: $y' = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.
Ответ: $y' = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}$.

$y = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$

Представим функцию в виде степени: $y = \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} = x^{-\frac{1}{3}}$.
Показатель степени $n = -\frac{1}{3}$. Находим производную:
$y' = (x^{-\frac{1}{3}})' = -\frac{1}{3} \cdot x^{-\frac{1}{3} - 1} = -\frac{1}{3} \cdot x^{-\frac{1}{3} - \frac{3}{3}} = -\frac{1}{3}x^{-\frac{4}{3}}$.
Результат можно записать обратно в виде корня: $y' = -\frac{1}{3\sqrt[3]{x^4}} = -\frac{1}{3x\sqrt[3]{x}}$.
Ответ: $y' = -\frac{1}{3}x^{-\frac{4}{3}}$.