Номер 4, страница 259, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §37 - номер 4, страница 259.

Условие.

4. Какова область допустимых значений переменной в выражении $(a+1)^{-\frac{1}{5}}$?

Решение 6.

Область допустимых значений (ОДЗ) переменной — это множество всех значений переменной, при которых данное выражение имеет смысл.

Рассмотрим выражение $(a+1)^{-\frac{1}{5}}$.

Для нахождения ОДЗ преобразуем данное выражение. Воспользуемся свойствами степени:

1. Свойство степени с отрицательным показателем: $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$. Применив его, получим:

$(a+1)^{-\frac{1}{5}} = \frac{1}{(a+1)^{\frac{1}{5}}}$

2. Свойство степени с дробным показателем: $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m}$. Преобразуем знаменатель:

$(a+1)^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{a+1}$

Таким образом, исходное выражение можно записать в виде:

$\frac{1}{\sqrt[5]{a+1}}$

Теперь проанализируем получившееся выражение. Существует два основных ограничения, которые нужно проверить:

• Подкоренное выражение для корня четной степени должно быть неотрицательным. В нашем случае корень пятой степени, то есть нечетной. Корень нечетной степени определен для любого действительного числа, поэтому выражение $a+1$ может быть как положительным, так и отрицательным, и равным нулю. На этом этапе ограничений нет.
• Знаменатель дроби не должен быть равен нулю. В нашем случае знаменатель — это $\sqrt[5]{a+1}$. Следовательно, должно выполняться условие:

$\sqrt[5]{a+1} \neq 0$

Чтобы решить это неравенство, возведем обе его части в пятую степень:

$(\sqrt[5]{a+1})^5 \neq 0^5$

$a+1 \neq 0$

$a \neq -1$

Это единственное ограничение для переменной $a$. Таким образом, область допустимых значений — это все действительные числа, кроме $-1$.

Ответ: $a \in (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.