Номер 6, страница 249, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §35. ч. 1 - номер 6, страница 249.

6. Какие из указанных ниже соотношений являются верными, а какие — нет ($a \ge 0$):

а) $\sqrt[3]{\sqrt[5]{a}} = \sqrt[15]{a};$

б) $\sqrt[3]{\sqrt[5]{a}} = \sqrt[8]{a};$

в) $\sqrt[5]{\sqrt{a}} = \sqrt[6]{a};$

г) $\sqrt[5]{\sqrt{a}} = \sqrt[7]{a};$

д) $\sqrt[5]{\sqrt{a}} = \sqrt[10]{a}?$

Для проверки верности данных соотношений необходимо использовать свойство корня из корня: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$, где $a \ge 0$, а $m$ и $n$ — натуральные числа, большие или равные 2. Согласно этому свойству, при извлечении корня из корня их показатели перемножаются.

а) $\sqrt[3]{\sqrt[5]{a}} = \sqrt[15]{a}$

Преобразуем левую часть равенства, используя указанное свойство: $\sqrt[3]{\sqrt[5]{a}} = \sqrt[3 \cdot 5]{a} = \sqrt[15]{a}$.

Полученное выражение в точности совпадает с правой частью равенства. Следовательно, данное соотношение является верным.

Ответ: верно.

б) $\sqrt[3]{\sqrt[5]{a}} = \sqrt[8]{a}$

Преобразуем левую часть равенства: $\sqrt[3]{\sqrt[5]{a}} = \sqrt[3 \cdot 5]{a} = \sqrt[15]{a}$.

Сравниваем полученный результат с правой частью исходного равенства: $\sqrt[15]{a} \neq \sqrt[8]{a}$ (для $a \neq 0$ и $a \neq 1$). В данном случае показатели корней были ошибочно сложены ($3+5=8$), а не перемножены. Следовательно, соотношение неверно.

Ответ: неверно.

в) $\sqrt[5]{\sqrt{a}} = \sqrt[6]{a}$

Следует помнить, что запись $\sqrt{a}$ означает квадратный корень, то есть корень второй степени: $\sqrt[2]{a}$. Преобразуем левую часть: $\sqrt[5]{\sqrt{a}} = \sqrt[5]{\sqrt[2]{a}} = \sqrt[5 \cdot 2]{a} = \sqrt[10]{a}$.

Сравниваем результат с правой частью: $\sqrt[10]{a} \neq \sqrt[6]{a}$. Соотношение неверно.

Ответ: неверно.

г) $\sqrt[5]{\sqrt{a}} = \sqrt[7]{a}$

Преобразуем левую часть, учитывая, что $\sqrt{a} = \sqrt[2]{a}$: $\sqrt[5]{\sqrt{a}} = \sqrt[5]{\sqrt[2]{a}} = \sqrt[5 \cdot 2]{a} = \sqrt[10]{a}$.

Сравниваем результат с правой частью: $\sqrt[10]{a} \neq \sqrt[7]{a}$. Как и в пункте б), здесь была допущена ошибка — сложение показателей корней ($5+2=7$) вместо их умножения. Соотношение неверно.

Ответ: неверно.

д) $\sqrt[5]{\sqrt{a}} = \sqrt[10]{a}$

Преобразуем левую часть равенства, где $\sqrt{a} = \sqrt[2]{a}$: $\sqrt[5]{\sqrt{a}} = \sqrt[5]{\sqrt[2]{a}} = \sqrt[5 \cdot 2]{a} = \sqrt[10]{a}$.

Полученное выражение совпадает с правой частью равенства. Следовательно, соотношение является верным.

Ответ: верно.