Страница 249, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

4. Какое из приведённых ниже соотношений является тождеством:

a) $\sqrt{a^2 - 2ab + b^2} = a - b;$

б) $\sqrt{a^2 - 2ab + b^2} = b - a;$

в) $\sqrt{a^2 - 2ab + b^2} = |a - b|?$

Чтобы определить, какое из приведённых соотношений является тождеством, проанализируем левую часть выражений: $\sqrt{a^2 - 2ab + b^2}$.

Подкоренное выражение $a^2 - 2ab + b^2$ является полным квадратом разности двух чисел $a$ и $b$. Согласно формуле сокращённого умножения:

$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$

Таким образом, левая часть всех трёх соотношений может быть переписана как $\sqrt{(a - b)^2}$.

По определению арифметического квадратного корня, для любого действительного числа $x$ справедливо равенство $\sqrt{x^2} = |x|$ (модуль числа $x$), поскольку результат извлечения корня должен быть неотрицательным. Применив это правило к нашему выражению, получаем:

$\sqrt{(a - b)^2} = |a - b|$

Теперь рассмотрим каждое из предложенных соотношений, сравнивая его с полученным результатом $|a - b|$.

а) $\sqrt{a^2 - 2ab + b^2} = a - b$

Это равенство можно переписать как $|a - b| = a - b$. По определению модуля, это равенство выполняется только в том случае, когда выражение под модулем неотрицательно, то есть когда $a - b \ge 0$, или $a \ge b$. Если же $a < b$, то равенство неверно.
Например, пусть $a = 3$ и $b = 5$. Тогда $a < b$.
Левая часть: $\sqrt{3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 + 5^2} = \sqrt{9 - 30 + 25} = \sqrt{4} = 2$.
Правая часть: $3 - 5 = -2$.
Поскольку $2 \neq -2$, равенство не выполняется для всех значений $a$ и $b$, следовательно, оно не является тождеством.
Ответ: не является тождеством.

б) $\sqrt{a^2 - 2ab + b^2} = b - a$

Это равенство можно переписать как $|a - b| = b - a$. Заметим, что $b - a = -(a - b)$. Таким образом, получаем $|a - b| = -(a - b)$. По определению модуля, это равенство выполняется только в том случае, когда выражение под модулем неположительно, то есть когда $a - b \le 0$, или $a \le b$. Если же $a > b$, то равенство неверно.
Например, пусть $a = 5$ и $b = 3$. Тогда $a > b$.
Левая часть: $\sqrt{5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 + 3^2} = \sqrt{25 - 30 + 9} = \sqrt{4} = 2$.
Правая часть: $3 - 5 = -2$.
Поскольку $2 \neq -2$, равенство не выполняется для всех значений $a$ и $b$, следовательно, оно не является тождеством.
Ответ: не является тождеством.

в) $\sqrt{a^2 - 2ab + b^2} = |a - b|$

Как было показано ранее, $\sqrt{a^2 - 2ab + b^2} = \sqrt{(a - b)^2}$. По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{x^2} = |x|$. Если мы положим $x = a - b$, то получим тождественное равенство $\sqrt{(a - b)^2} = |a - b|$.
Это равенство справедливо для любых действительных значений $a$ и $b$, независимо от того, какое из них больше.
Проверим на наших предыдущих примерах:
1. Если $a = 3$, $b = 5$: левая часть равна $2$, правая часть $|3 - 5| = |-2| = 2$. Равенство $2 = 2$ верно.
2. Если $a = 5$, $b = 3$: левая часть равна $2$, правая часть $|5 - 3| = |2| = 2$. Равенство $2 = 2$ верно.
Следовательно, это соотношение является тождеством.
Ответ: является тождеством.

Таким образом, единственным тождеством из приведённых является соотношение в).

5. Дано соотношение $\sqrt[6]{a \cdot b} = \sqrt[6]{a} \cdot \sqrt[6]{b}$. Приведите пример, когда оно является верным равенством, и пример, когда не является. Как должна выглядеть правая часть соотношения при $ab > 0$, чтобы оно было верным равенством?

Проанализируем данное соотношение $\sqrt[6]{a \cdot b} = \sqrt[6]{a} \cdot \sqrt[6]{b}$.

Корень четной степени (в данном случае 6-й степени) определен только для неотрицательных подкоренных выражений. Это называется арифметическим корнем.

• Левая часть, $\sqrt[6]{a \cdot b}$, определена при условии $a \cdot b \ge 0$. Это означает, что $a$ и $b$ имеют одинаковый знак, либо одно из них (или оба) равно нулю.
• Правая часть, $\sqrt[6]{a} \cdot \sqrt[6]{b}$, определена только тогда, когда оба подкоренных выражения неотрицательны, то есть $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Различие в областях определения левой и правой частей является причиной того, что равенство не всегда является верным.

Пример, когда оно является верным равенством

Равенство будет верным, если выполняются условия для определения правой части, то есть $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Возьмем, к примеру, $a = 64$ и $b = 1$. Оба числа положительны.

Подставим значения в левую часть:

$\sqrt[6]{a \cdot b} = \sqrt[6]{64 \cdot 1} = \sqrt[6]{64} = 2$.

Подставим значения в правую часть:

$\sqrt[6]{a} \cdot \sqrt[6]{b} = \sqrt[6]{64} \cdot \sqrt[6]{1} = 2 \cdot 1 = 2$.

Так как $2 = 2$, левая и правая части равны. Следовательно, для $a=64, b=1$ равенство является верным.

Ответ: Пример верного равенства: $a = 64, b = 1$.

Пример, когда не является

Равенство не будет верным, если левая часть определена, а правая — нет. Это происходит, когда $a \cdot b \ge 0$, но при этом $a$ и $b$ отрицательны.

Возьмем, к примеру, $a = -2$ и $b = -32$.

Подставим значения в левую часть:

$\sqrt[6]{a \cdot b} = \sqrt[6]{(-2) \cdot (-32)} = \sqrt[6]{64} = 2$.

Левая часть определена и равна 2.

Теперь подставим значения в правую часть:

$\sqrt[6]{a} \cdot \sqrt[6]{b} = \sqrt[6]{-2} \cdot \sqrt[6]{-32}$.

Выражения $\sqrt[6]{-2}$ и $\sqrt[6]{-32}$ не определены в области действительных чисел, так как нельзя извлечь корень четной степени из отрицательного числа. Следовательно, вся правая часть не определена.

Поскольку левая часть равна 2, а правая не определена, равенство не является верным.

Ответ: Пример неверного равенства: $a = -2, b = -32$.

Как должна выглядеть правая часть соотношения при $ab > 0$, чтобы оно было верным равенством?

Условие $ab > 0$ означает, что числа $a$ и $b$ имеют одинаковый знак (оба положительные или оба отрицательные).

Рассмотрим оба случая:

1. Если $a > 0$ и $b > 0$, то исходное равенство $\sqrt[6]{ab} = \sqrt[6]{a} \cdot \sqrt[6]{b}$ является верным. В этом случае $|a|=a$ и $|b|=b$.
2. Если $a < 0$ и $b < 0$, то левая часть равна $\sqrt[6]{ab}$. Поскольку $a$ и $b$ отрицательны, то $ab = (-a) \cdot (-b) = |a| \cdot |b|$. Таким образом, $\sqrt[6]{ab} = \sqrt[6]{|a| \cdot |b|}$. Так как $|a| > 0$ и $|b| > 0$, мы можем применить свойство корня для положительных чисел: $\sqrt[6]{|a| \cdot |b|} = \sqrt[6]{|a|} \cdot \sqrt[6]{|b|}$.

Чтобы объединить оба случая в одну формулу, которая будет верна при любом знаке $a$ и $b$ (лишь бы их произведение было положительным), нужно использовать модуль. Правильное тождество, верное для любых $a$ и $b$ таких, что $ab > 0$, выглядит так:

$\sqrt[6]{ab} = \sqrt[6]{|a|} \cdot \sqrt[6]{|b|}$

Таким образом, чтобы соотношение было верным равенством при $ab > 0$, его правая часть должна выглядеть как произведение корней из модулей этих чисел.

Ответ: Правая часть должна иметь вид $\sqrt[6]{|a|} \cdot \sqrt[6]{|b|}$.

6. Какие из указанных ниже соотношений являются верными, а какие — нет ($a \ge 0$):

а) $\sqrt[3]{\sqrt[5]{a}} = \sqrt[15]{a};$

б) $\sqrt[3]{\sqrt[5]{a}} = \sqrt[8]{a};$

в) $\sqrt[5]{\sqrt{a}} = \sqrt[6]{a};$

г) $\sqrt[5]{\sqrt{a}} = \sqrt[7]{a};$

д) $\sqrt[5]{\sqrt{a}} = \sqrt[10]{a}?$

Для проверки верности данных соотношений необходимо использовать свойство корня из корня: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$, где $a \ge 0$, а $m$ и $n$ — натуральные числа, большие или равные 2. Согласно этому свойству, при извлечении корня из корня их показатели перемножаются.

а) $\sqrt[3]{\sqrt[5]{a}} = \sqrt[15]{a}$

Преобразуем левую часть равенства, используя указанное свойство: $\sqrt[3]{\sqrt[5]{a}} = \sqrt[3 \cdot 5]{a} = \sqrt[15]{a}$.

Полученное выражение в точности совпадает с правой частью равенства. Следовательно, данное соотношение является верным.

Ответ: верно.

б) $\sqrt[3]{\sqrt[5]{a}} = \sqrt[8]{a}$

Преобразуем левую часть равенства: $\sqrt[3]{\sqrt[5]{a}} = \sqrt[3 \cdot 5]{a} = \sqrt[15]{a}$.

Сравниваем полученный результат с правой частью исходного равенства: $\sqrt[15]{a} \neq \sqrt[8]{a}$ (для $a \neq 0$ и $a \neq 1$). В данном случае показатели корней были ошибочно сложены ($3+5=8$), а не перемножены. Следовательно, соотношение неверно.

Ответ: неверно.

в) $\sqrt[5]{\sqrt{a}} = \sqrt[6]{a}$

Следует помнить, что запись $\sqrt{a}$ означает квадратный корень, то есть корень второй степени: $\sqrt[2]{a}$. Преобразуем левую часть: $\sqrt[5]{\sqrt{a}} = \sqrt[5]{\sqrt[2]{a}} = \sqrt[5 \cdot 2]{a} = \sqrt[10]{a}$.

Сравниваем результат с правой частью: $\sqrt[10]{a} \neq \sqrt[6]{a}$. Соотношение неверно.

Ответ: неверно.

г) $\sqrt[5]{\sqrt{a}} = \sqrt[7]{a}$

Преобразуем левую часть, учитывая, что $\sqrt{a} = \sqrt[2]{a}$: $\sqrt[5]{\sqrt{a}} = \sqrt[5]{\sqrt[2]{a}} = \sqrt[5 \cdot 2]{a} = \sqrt[10]{a}$.

Сравниваем результат с правой частью: $\sqrt[10]{a} \neq \sqrt[7]{a}$. Как и в пункте б), здесь была допущена ошибка — сложение показателей корней ($5+2=7$) вместо их умножения. Соотношение неверно.

Ответ: неверно.

д) $\sqrt[5]{\sqrt{a}} = \sqrt[10]{a}$

Преобразуем левую часть равенства, где $\sqrt{a} = \sqrt[2]{a}$: $\sqrt[5]{\sqrt{a}} = \sqrt[5]{\sqrt[2]{a}} = \sqrt[5 \cdot 2]{a} = \sqrt[10]{a}$.

Полученное выражение совпадает с правой частью равенства. Следовательно, соотношение является верным.

Ответ: верно.

7. Какие из указанных ниже соотношений являются верными, а какие – нет:

a) $ \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a} = \sqrt[7]{a} $;

б) $ \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a} = \sqrt[12]{a} $;

в) $ \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a} = \sqrt[12]{a^7} $?

Для проверки верности представленных соотношений необходимо выполнить умножение корней в левой части каждого равенства. Основное правило при умножении корней с разными показателями — привести их к общему показателю, который является наименьшим общим кратным (НОК) исходных показателей.

Во всех трех случаях нам нужно найти произведение $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a}$.

1. Показатели корней — 3 и 4. Найдем их наименьшее общее кратное: НОК(3, 4) = 12. Это будет новый, общий показатель корня.

2. Приведем каждый корень к новому показателю. Для этого нужно показатель корня и показатель степени подкоренного выражения домножить на одно и то же число.

Для $\sqrt[3]{a} = \sqrt[3]{a^1}$ мы домножаем показатель корня (3) и показатель степени подкоренного выражения (1) на $12 / 3 = 4$:

$\sqrt[3]{a} = \sqrt[3 \cdot 4]{a^{1 \cdot 4}} = \sqrt[12]{a^4}$

Для $\sqrt[4]{a} = \sqrt[4]{a^1}$ мы домножаем показатель корня (4) и показатель степени подкоренного выражения (1) на $12 / 4 = 3$:

$\sqrt[4]{a} = \sqrt[4 \cdot 3]{a^{1 \cdot 3}} = \sqrt[12]{a^3}$

3. Теперь перемножим корни с одинаковым показателем:

$\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a} = \sqrt[12]{a^4} \cdot \sqrt[12]{a^3} = \sqrt[12]{a^4 \cdot a^3} = \sqrt[12]{a^{4+3}} = \sqrt[12]{a^7}$

Таким образом, правильный результат умножения $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a}$ это $\sqrt[12]{a^7}$. Теперь сравним этот результат с правыми частями каждого из предложенных соотношений.

а) $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a} = \sqrt[7]{a}$

Мы получили, что левая часть равна $\sqrt[12]{a^7}$. Правая часть равна $\sqrt[7]{a}$.

Равенство $\sqrt[12]{a^7} = \sqrt[7]{a}$ неверно, так как ни показатели корней, ни показатели степеней подкоренных выражений не совпадают. Если представить их в виде степеней: $a^{7/12} = a^{1/7}$, что неверно, так как $7/12 \neq 1/7$. Следовательно, соотношение не является верным.

Ответ: неверно.

б) $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a} = \sqrt[12]{a}$

Левая часть равна $\sqrt[12]{a^7}$. Правая часть равна $\sqrt[12]{a}$.

Равенство $\sqrt[12]{a^7} = \sqrt[12]{a}$ неверно, так как подкоренные выражения $a^7$ и $a$ в общем случае не равны. Следовательно, соотношение не является верным.

Ответ: неверно.

в) $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a} = \sqrt[12]{a^7}$

Левая часть, как мы вычислили, равна $\sqrt[12]{a^7}$. Правая часть также равна $\sqrt[12]{a^7}$.

Поскольку левая и правая части равенства совпадают ($\sqrt[12]{a^7} = \sqrt[12]{a^7}$), данное соотношение является верным.

Ответ: верно.

8. Дано соотношение $\sqrt[6]{a^2} = \sqrt[3]{a}$. Приведите пример, когда оно является верным равенством, и пример, когда не является. Как должна выглядеть правая часть соотношения, чтобы оно было верным равенством?

Пример, когда соотношение является верным равенством

Данное соотношение $\sqrt[6]{a^2} = \sqrt[3]{a}$ является верным, когда переменная $a$ принимает неотрицательные значения, то есть $a \ge 0$.

В качестве примера возьмем $a = 8$.

Подставим это значение в левую часть равенства:

$\sqrt[6]{8^2} = \sqrt[6]{64} = 2$.

Теперь подставим это значение в правую часть равенства:

$\sqrt[3]{8} = 2$.

Поскольку левая и правая части равны ($2 = 2$), при $a=8$ соотношение является верным равенством.

Ответ: Примером может служить $a = 8$.

Пример, когда соотношение не является верным равенством

Данное соотношение не является верным, когда переменная $a$ принимает отрицательные значения, то есть $a < 0$.

В качестве примера возьмем $a = -8$.

Подставим это значение в левую часть:

$\sqrt[6]{(-8)^2} = \sqrt[6]{64} = 2$.

По определению, корень четной степени (в данном случае 6-й) из неотрицательного числа ($(-8)^2 = 64$) есть число неотрицательное.

Теперь подставим это значение в правую часть:

$\sqrt[3]{-8} = -2$.

Корень нечетной степени (в данном случае 3-й) из отрицательного числа есть число отрицательное.

Поскольку левая и правая части не равны ($2 \neq -2$), при $a=-8$ соотношение не является верным равенством.

Ответ: Примером может служить $a = -8$.

Как должна выглядеть правая часть соотношения, чтобы оно было верным равенством

Проанализируем левую часть соотношения $\sqrt[6]{a^2}$. Ее можно преобразовать, используя свойство корней $\sqrt[nk]{b^{mk}} = \sqrt[n]{|b|^m}$ для четного $k$. В нашем случае $n=3, m=1, k=2$:

$\sqrt[6]{a^2} = \sqrt[3 \cdot 2]{a^{1 \cdot 2}} = \sqrt[3]{|a|}$.

Это преобразование показывает, что левая часть тождественно равна $\sqrt[3]{|a|}$ для любого действительного числа $a$.

Исходное равенство $\sqrt[6]{a^2} = \sqrt[3]{a}$ эквивалентно равенству $\sqrt[3]{|a|} = \sqrt[3]{a}$. Это верно только в том случае, если $|a| = a$, что выполняется для всех $a \ge 0$.

Чтобы исходное соотношение было верным для всех действительных чисел $a$, его правая часть должна быть тождественно равна его левой части. Следовательно, правую часть $\sqrt[3]{a}$ необходимо заменить на $\sqrt[3]{|a|}$.

Ответ: Правая часть соотношения должна иметь вид $\sqrt[3]{|a|}$.