Номер 4, страница 249, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §35. ч. 1 - номер 4, страница 249.

4. Какое из приведённых ниже соотношений является тождеством:

a) $\sqrt{a^2 - 2ab + b^2} = a - b;$

б) $\sqrt{a^2 - 2ab + b^2} = b - a;$

в) $\sqrt{a^2 - 2ab + b^2} = |a - b|?$

Чтобы определить, какое из приведённых соотношений является тождеством, проанализируем левую часть выражений: $\sqrt{a^2 - 2ab + b^2}$.

Подкоренное выражение $a^2 - 2ab + b^2$ является полным квадратом разности двух чисел $a$ и $b$. Согласно формуле сокращённого умножения:

$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$

Таким образом, левая часть всех трёх соотношений может быть переписана как $\sqrt{(a - b)^2}$.

По определению арифметического квадратного корня, для любого действительного числа $x$ справедливо равенство $\sqrt{x^2} = |x|$ (модуль числа $x$), поскольку результат извлечения корня должен быть неотрицательным. Применив это правило к нашему выражению, получаем:

$\sqrt{(a - b)^2} = |a - b|$

Теперь рассмотрим каждое из предложенных соотношений, сравнивая его с полученным результатом $|a - b|$.

а) $\sqrt{a^2 - 2ab + b^2} = a - b$

Это равенство можно переписать как $|a - b| = a - b$. По определению модуля, это равенство выполняется только в том случае, когда выражение под модулем неотрицательно, то есть когда $a - b \ge 0$, или $a \ge b$. Если же $a < b$, то равенство неверно.
Например, пусть $a = 3$ и $b = 5$. Тогда $a < b$.
Левая часть: $\sqrt{3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 + 5^2} = \sqrt{9 - 30 + 25} = \sqrt{4} = 2$.
Правая часть: $3 - 5 = -2$.
Поскольку $2 \neq -2$, равенство не выполняется для всех значений $a$ и $b$, следовательно, оно не является тождеством.
Ответ: не является тождеством.

б) $\sqrt{a^2 - 2ab + b^2} = b - a$

Это равенство можно переписать как $|a - b| = b - a$. Заметим, что $b - a = -(a - b)$. Таким образом, получаем $|a - b| = -(a - b)$. По определению модуля, это равенство выполняется только в том случае, когда выражение под модулем неположительно, то есть когда $a - b \le 0$, или $a \le b$. Если же $a > b$, то равенство неверно.
Например, пусть $a = 5$ и $b = 3$. Тогда $a > b$.
Левая часть: $\sqrt{5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 + 3^2} = \sqrt{25 - 30 + 9} = \sqrt{4} = 2$.
Правая часть: $3 - 5 = -2$.
Поскольку $2 \neq -2$, равенство не выполняется для всех значений $a$ и $b$, следовательно, оно не является тождеством.
Ответ: не является тождеством.

в) $\sqrt{a^2 - 2ab + b^2} = |a - b|$

Как было показано ранее, $\sqrt{a^2 - 2ab + b^2} = \sqrt{(a - b)^2}$. По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{x^2} = |x|$. Если мы положим $x = a - b$, то получим тождественное равенство $\sqrt{(a - b)^2} = |a - b|$.
Это равенство справедливо для любых действительных значений $a$ и $b$, независимо от того, какое из них больше.
Проверим на наших предыдущих примерах:
1. Если $a = 3$, $b = 5$: левая часть равна $2$, правая часть $|3 - 5| = |-2| = 2$. Равенство $2 = 2$ верно.
2. Если $a = 5$, $b = 3$: левая часть равна $2$, правая часть $|5 - 3| = |2| = 2$. Равенство $2 = 2$ верно.
Следовательно, это соотношение является тождеством.
Ответ: является тождеством.

Таким образом, единственным тождеством из приведённых является соотношение в).