Номер 3, страница 243, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §34 - номер 3, страница 243.

Условие.

3. Если $n$ — чётное натуральное число, то что вы можете сказать о чётности или нечётности функции $y = \sqrt[n]{x}$?

Решение 6.

Для того чтобы определить, является ли функция чётной, нечётной или ни той, ни другой, необходимо в первую очередь рассмотреть её область определения, а затем проверить выполнение соответствующих равенств.

Функция $f(x)$ называется чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Функция $f(x)$ называется нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Важным условием для чётности или нечётности является симметричность области определения $D(f)$ относительно точки $x=0$. Это означает, что если точка $x$ принадлежит $D(f)$, то и точка $-x$ также должна принадлежать $D(f)$.

Рассмотрим заданную функцию $y = \sqrt[n]{x}$, где по условию $n$ — чётное натуральное число (например, $n=2, 4, 6, \dots$).

Найдём область определения этой функции. Арифметический корень чётной степени в области действительных чисел определён только для неотрицательных подкоренных выражений. Следовательно, для функции $y = \sqrt[n]{x}$ с чётным $n$ должно выполняться условие $x \ge 0$.

Таким образом, область определения функции — это промежуток $D(y) = [0, +\infty)$.

Проверим эту область определения на симметричность. Она не является симметричной относительно точки $x=0$. Например, значение $x=1$ принадлежит области определения, но противоположное ему значение $x=-1$ не принадлежит ей.

Поскольку основное требование для исследования на чётность/нечётность — симметричность области определения — не выполняется, функция не может быть ни чётной, ни нечётной. Такие функции называют функциями общего вида.

Ответ: Если $n$ — чётное натуральное число, то функция $y = \sqrt[n]{x}$ не является ни чётной, ни нечётной, так как её область определения $D(y) = [0, +\infty)$ несимметрична относительно начала координат.