Номер 3, страница 232, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Темы исследовательских работ к главе 5 - номер 3, страница 232.

Условие.

3. Дифференцирование функции $y = f(g(x))$.

Решение 6.

Функция вида $y = f(g(x))$ называется сложной или композицией функций. В этой записи $g(x)$ — это внутренняя функция, а $f$ — это внешняя функция. Для нахождения производной такой функции используется правило дифференцирования сложной функции, также известное как цепное правило (chain rule).

Теорема о производной сложной функции:

Если функция $u = g(x)$ имеет производную в точке $x_0$, а функция $y = f(u)$ имеет производную в соответствующей точке $u_0 = g(x_0)$, то сложная функция $y = f(g(x))$ также имеет производную в точке $x_0$, которая вычисляется по формуле:

$y'(x) = (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Иными словами, производная сложной функции равна произведению производной внешней функции по её аргументу (где аргументом выступает внутренняя функция) на производную внутренней функции по независимой переменной $x$.

В обозначениях Лейбница это правило выглядит очень наглядно. Если положить $u = g(x)$, то $y = f(u)$. Тогда:

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

Алгоритм нахождения производной сложной функции:

1. Определить, какая функция является внешней ($f$), а какая — внутренней ($g$).
2. Найти производную внешней функции $f'(u)$, оставив её аргумент без изменений (то есть, $g(x)$).
3. Найти производную внутренней функции $g'(x)$.
4. Перемножить результаты, полученные на шагах 2 и 3.

Рассмотрим на примерах.

Пример 1: Найти производную функции $y = \sin(x^3)$.

Решение:

1. Внешняя функция: $f(u) = \sin(u)$. Внутренняя функция: $g(x) = x^3$.

2. Находим производную внешней функции: $f'(u) = (\sin(u))' = \cos(u)$. Подставляем вместо $u$ нашу внутреннюю функцию $g(x)$: $f'(g(x)) = \cos(x^3)$.

3. Находим производную внутренней функции: $g'(x) = (x^3)' = 3x^2$.

4. Перемножаем результаты: $y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \cos(x^3) \cdot 3x^2$.

Ответ: $y' = 3x^2\cos(x^3)$

Пример 2: Найти производную функции $y = (5x^2 - 4x + 1)^7$.

Решение:

1. Внешняя функция (степенная): $f(u) = u^7$. Внутренняя функция (многочлен): $g(x) = 5x^2 - 4x + 1$.

2. Производная внешней функции: $f'(u) = 7u^6$. Применительно к нашей функции: $f'(g(x)) = 7(5x^2 - 4x + 1)^6$.

3. Производная внутренней функции: $g'(x) = (5x^2 - 4x + 1)' = 10x - 4$.

4. Перемножаем: $y' = 7(5x^2 - 4x + 1)^6 \cdot (10x - 4)$.

Ответ: $y' = 7(10x - 4)(5x^2 - 4x + 1)^6$

Пример 3: Найти производную функции $y = \ln(\cos(x))$.

Решение:

1. Внешняя функция: $f(u) = \ln(u)$. Внутренняя функция: $g(x) = \cos(x)$.

2. Производная внешней функции: $f'(u) = \frac{1}{u}$. Применительно к нашей функции: $f'(g(x)) = \frac{1}{\cos(x)}$.

3. Производная внутренней функции: $g'(x) = (\cos(x))' = -\sin(x)$.

4. Перемножаем: $y' = \frac{1}{\cos(x)} \cdot (-\sin(x)) = -\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = -\tan(x)$.

Ответ: $y' = -\tan(x)$