Номер 3, страница 232, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 1
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Темы исследовательских работ к главе 5. ч. 1 - номер 3, страница 232.
№3 (с. 232)
Условие. №3 (с. 232)
скриншот условия

3. Дифференцирование функции $y = f(g(x))$.
Решение 6. №3 (с. 232)
Функция вида $y = f(g(x))$ называется сложной или композицией функций. В этой записи $g(x)$ — это внутренняя функция, а $f$ — это внешняя функция. Для нахождения производной такой функции используется правило дифференцирования сложной функции, также известное как цепное правило (chain rule).
Теорема о производной сложной функции:
Если функция $u = g(x)$ имеет производную в точке $x_0$, а функция $y = f(u)$ имеет производную в соответствующей точке $u_0 = g(x_0)$, то сложная функция $y = f(g(x))$ также имеет производную в точке $x_0$, которая вычисляется по формуле:
$y'(x) = (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
Иными словами, производная сложной функции равна произведению производной внешней функции по её аргументу (где аргументом выступает внутренняя функция) на производную внутренней функции по независимой переменной $x$.
В обозначениях Лейбница это правило выглядит очень наглядно. Если положить $u = g(x)$, то $y = f(u)$. Тогда:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$
Алгоритм нахождения производной сложной функции:
- Определить, какая функция является внешней ($f$), а какая — внутренней ($g$).
- Найти производную внешней функции $f'(u)$, оставив её аргумент без изменений (то есть, $g(x)$).
- Найти производную внутренней функции $g'(x)$.
- Перемножить результаты, полученные на шагах 2 и 3.
Рассмотрим на примерах.
Пример 1: Найти производную функции $y = \sin(x^3)$.
Решение:
1. Внешняя функция: $f(u) = \sin(u)$. Внутренняя функция: $g(x) = x^3$.
2. Находим производную внешней функции: $f'(u) = (\sin(u))' = \cos(u)$. Подставляем вместо $u$ нашу внутреннюю функцию $g(x)$: $f'(g(x)) = \cos(x^3)$.
3. Находим производную внутренней функции: $g'(x) = (x^3)' = 3x^2$.
4. Перемножаем результаты: $y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \cos(x^3) \cdot 3x^2$.
Ответ: $y' = 3x^2\cos(x^3)$
Пример 2: Найти производную функции $y = (5x^2 - 4x + 1)^7$.
Решение:
1. Внешняя функция (степенная): $f(u) = u^7$. Внутренняя функция (многочлен): $g(x) = 5x^2 - 4x + 1$.
2. Производная внешней функции: $f'(u) = 7u^6$. Применительно к нашей функции: $f'(g(x)) = 7(5x^2 - 4x + 1)^6$.
3. Производная внутренней функции: $g'(x) = (5x^2 - 4x + 1)' = 10x - 4$.
4. Перемножаем: $y' = 7(5x^2 - 4x + 1)^6 \cdot (10x - 4)$.
Ответ: $y' = 7(10x - 4)(5x^2 - 4x + 1)^6$
Пример 3: Найти производную функции $y = \ln(\cos(x))$.
Решение:
1. Внешняя функция: $f(u) = \ln(u)$. Внутренняя функция: $g(x) = \cos(x)$.
2. Производная внешней функции: $f'(u) = \frac{1}{u}$. Применительно к нашей функции: $f'(g(x)) = \frac{1}{\cos(x)}$.
3. Производная внутренней функции: $g'(x) = (\cos(x))' = -\sin(x)$.
4. Перемножаем: $y' = \frac{1}{\cos(x)} \cdot (-\sin(x)) = -\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = -\tan(x)$.
Ответ: $y' = -\tan(x)$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 3 расположенного на странице 232 для 1-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №3 (с. 232), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 1-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.