Номер 14, страница 230, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §32 - номер 14, страница 230.

Условие.

14. Начертите график непрерывной на интервале $(2; 5)$ функции, которая имеет внутри интервала одну критическую и две стационарные точки, но не достигает на этом интервале ни своего наименьшего, ни своего наибольшего значения.

Решение 6.

Для построения графика функции, удовлетворяющей заданным условиям, необходимо последовательно реализовать каждое требование.

1. Непрерывность на интервале $(2; 5)$. Это означает, что график функции должен быть единой сплошной линией на всем промежутке от $x=2$ до $x=5$, без каких-либо разрывов.
2. Одна критическая и две стационарные точки.
   • Стационарная точка — это точка, в которой производная функции равна нулю, то есть $f'(x) = 0$. На графике это соответствует точке с горизонтальной касательной (локальный минимум или максимум). По условию, таких точек должно быть две.
   • Критическая точка — это точка из области определения функции, в которой производная равна нулю или не существует. Так как в условии уже упомянуты две стационарные точки (где производная равна нулю), то под "одной критической точкой" имеется в виду точка, где производная не существует. Графически это может быть точка "излома" (угловая точка) или "остриё" (касп).
   • Таким образом, на графике внутри интервала $(2; 5)$ должны быть три особые точки: две с горизонтальной касательной и одна с изломом.
3. Функция не достигает ни своего наименьшего, ни своего наибольшего значения. Для непрерывной функции на открытом интервале это возможно, если на границах интервала значения функции стремятся к бесконечности. Если функция уходит в $+\infty$ на одной из границ, у нее не будет наибольшего значения. Если она уходит в $-\infty$ на другой границе, у нее не будет наименьшего значения.

Исходя из этого, можно предложить следующий план построения графика:

1. Чтобы функция не достигала экстремальных значений, зададим ей вертикальные асимптоты на границах интервала: $\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$ и $\lim_{x \to 5^-} f(x) = -\infty$.
2. Выберем три точки внутри интервала $(2; 5)$, например, $x=3$, $x=3.5$ и $x=4$.
3. В точках $x=3$ и $x=4$ расположим стационарные точки: в $x=3$ — локальный минимум, а в $x=4$ — локальный максимум. В этих точках касательная к графику будет горизонтальной.
4. В точке $x=3.5$ расположим критическую точку, где производная не существует. Это будет излом на графике.
5. Соединим все участки плавной непрерывной линией:
   • На интервале $(2; 3)$ функция убывает от $+\infty$ до локального минимума.
   • На интервале $(3; 4)$ функция возрастает от локального минимума к локальному максимуму, проходя через точку излома при $x=3.5$.
   • На интервале $(4; 5)$ функция убывает от локального максимума к $-\infty$.

Ниже представлен график, построенный в соответствии с этим планом.

На данном графике:

• Точка A (при $x=3$) — стационарная точка, являющаяся локальным минимумом ($f'(3)=0$).
• Точка B (при $x=3.5$) — критическая точка, где график имеет излом, а производная не существует.
• Точка C (при $x=4$) — стационарная точка, являющаяся локальным максимумом ($f'(4)=0$).

Ответ: Представленный график и его описание являются решением задачи. Он изображает непрерывную на интервале $(2; 5)$ функцию, которая имеет две стационарные точки (A и C) и одну критическую точку (B), но не достигает на этом интервале ни своего наименьшего, ни своего наибольшего значения благодаря наличию вертикальных асимптот на границах интервала.