Номер 1, страница 232, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Темы исследовательских работ к главе 5 - номер 1, страница 232.

Условие.

1. Производная в экономике. Производительность как производная объёма продукции.

Решение 6.

Производная в экономике

Производная является одним из фундаментальных понятий в математическом анализе, которое находит широкое применение в экономике для анализа предельных (маржинальных) величин. Экономические процессы часто описываются функциями, и производная позволяет определить скорость изменения одной экономической величины по отношению к другой. Этот подход называется предельным анализом.

Ключевые экономические понятия, использующие производную:

• Предельные издержки (Marginal Cost, MC): Если функция $C(q)$ описывает общие издержки производства $q$ единиц продукции, то предельные издержки представляют собой дополнительные затраты на производство еще одной единицы продукции. Они вычисляются как производная функции общих издержек:
  $MC(q) = C'(q) = \frac{dC}{dq}$
  Это значение показывает, насколько примерно возрастут общие издержки при увеличении объема выпуска на одну единицу.
• Предельный доход (Marginal Revenue, MR): Если функция $R(q)$ описывает общий доход (выручку) от продажи $q$ единиц продукции, то предельный доход — это дополнительный доход, полученный от продажи еще одной единицы продукции. Он вычисляется как производная функции общего дохода:
  $MR(q) = R'(q) = \frac{dR}{dq}$
• Предельная прибыль (Marginal Profit, MP): Прибыль $P(q)$ является разницей между доходом и издержками: $P(q) = R(q) - C(q)$. Предельная прибыль показывает изменение прибыли при производстве и продаже одной дополнительной единицы продукции. Фирма достигает максимальной прибыли, когда предельная прибыль равна нулю, то есть когда предельный доход равен предельным издержкам:
  $P'(q) = 0 \implies R'(q) - C'(q) = 0 \implies MR(q) = MC(q)$
• Эластичность функции: Эластичность показывает, на сколько процентов изменится одна переменная (например, объем спроса) при изменении другой переменной (например, цены) на 1%. Эластичность спроса по цене вычисляется с использованием производной:
  $E_p(q) = \frac{p}{q} \cdot \frac{dq}{dp}$, где $q(p)$ — функция спроса от цены $p$.

Таким образом, производная в экономике — это мощный инструмент для анализа динамики экономических показателей, принятия оптимальных решений и прогнозирования.

Ответ: В экономике производная используется для определения предельных величин, таких как предельные издержки, предельный доход и предельная прибыль. Она показывает скорость изменения одной экономической величины относительно другой и является основой для оптимизации деятельности фирмы, например, для нахождения объема производства, при котором прибыль максимальна.

Производительность как производная объёма продукции

Производительность труда характеризует эффективность использования трудовых ресурсов. В динамическом контексте производительность в конкретный момент времени можно рассматривать как скорость производства продукции. Если объем произведенной продукции $Q$ является функцией времени $t$, то есть $Q = Q(t)$, то производительность труда в момент времени $t$ будет равна производной этой функции по времени.

Математически это выражается следующей формулой:
$P(t) = Q'(t) = \frac{dQ}{dt}$

Здесь $P(t)$ — это мгновенная производительность труда в момент времени $t$. Она измеряется в единицах продукции в единицу времени (например, штук в час, тонн в смену).

Рассмотрим пример. Пусть объем продукции, произведенный бригадой за $t$ часов рабочего дня, описывается функцией $Q(t) = -0.5t^3 + 5t^2 + 20t$, где $0 \le t \le 8$.

Чтобы найти производительность труда в любой момент времени $t$, нужно взять производную от функции $Q(t)$:
$P(t) = Q'(t) = (-0.5t^3 + 5t^2 + 20t)' = -1.5t^2 + 10t + 20$

С помощью этой формулы можно определить производительность в конкретные моменты времени:

• В начале рабочего дня ($t=0$): $P(0) = -1.5(0)^2 + 10(0) + 20 = 20$ ед./час.
• Через два часа после начала работы ($t=2$): $P(2) = -1.5(2)^2 + 10(2) + 20 = -6 + 20 + 20 = 34$ ед./час.

Также с помощью производной можно найти момент времени, когда производительность труда будет максимальной. Для этого нужно найти производную от функции производительности $P(t)$ и приравнять ее к нулю:
$P'(t) = (-1.5t^2 + 10t + 20)' = -3t + 10$
$-3t + 10 = 0 \implies t = \frac{10}{3} \approx 3.33$ часа.

Это означает, что максимальная производительность достигается примерно через 3 часа 20 минут после начала смены.

Ответ: Производительность труда в определенный момент времени представляет собой скорость изменения объема выпускаемой продукции. Если объем продукции задан как функция времени $Q(t)$, то производительность $P(t)$ является ее производной по времени: $P(t) = Q'(t)$.