Номер 2, страница 232, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Темы исследовательских работ к главе 5. ч. 1 - номер 2, страница 232.

объема продукции.

2. Как циркулем и линейкой провести касательную к параболе (эллипсу).

Построение касательной к параболе

Для построения касательной к параболе в заданной точке P на ней, необходимо сначала определить ключевые элементы параболы: ее ось симметрии и вершину. Предполагается, что дана кривая параболы и точка P на ней.

Этап 1: Нахождение оси симметрии и вершины параболы

1. Проведите две произвольные параллельные хорды в параболе. Это можно сделать, проведя одну прямую, пересекающую параболу в двух точках (хорда), а затем вторую прямую, параллельную первой.
2. С помощью циркуля и линейки найдите середины этих двух хорд.
3. Проведите прямую через эти две середины. Эта прямая будет параллельна оси симметрии параболы.
4. Проведите хорду, перпендикулярную этой прямой.
5. Найдите середину этой перпендикулярной хорды.
6. Прямая, проходящая через эту середину и параллельная прямой из шага 3, является осью симметрии параболы.
7. Точка пересечения оси симметрии с параболой является ее вершиной. Обозначим ее V.

Этап 2: Построение касательной в точке P

Построение основано на свойстве параболы: подкасательная (проекция отрезка касательной от точки касания до пересечения с осью симметрии) на эту ось делится вершиной пополам.

1. Из точки касания P опустите перпендикуляр на найденную ось симметрии. Обозначим основание этого перпендикуляра как N.
2. На оси симметрии отложите от вершины V отрезок VT, равный отрезку VN, в сторону, противоположную точке N. Это делается циркулем, установив его в точку V с радиусом VN и проведя дугу до пересечения с осью.
3. Проведите прямую через точки T и P.

Полученная прямая TP является искомой касательной к параболе в точке P.

Ответ: Прямая, построенная согласно вышеописанному алгоритму, является касательной к параболе в заданной точке P.

---

Построение касательной к эллипсу

Для построения касательной к эллипсу в заданной точке P на нем, необходимо сначала определить его фокусы. Предполагается, что дан эллипс и точка P на нем.

Этап 1: Нахождение центра, осей и фокусов эллипса

1. Найдите центр эллипса O. Для этого проведите две пары параллельных хорд. Прямые, соединяющие середины хорд в каждой паре, пересекутся в центре O.
2. Проведите через центр O окружность, пересекающую эллипс в четырех точках. Эти точки образуют прямоугольник, оси симметрии которого являются осями эллипса. Проведите эти оси.
3. Большая ось пересекает эллипс в вершинах A и A', а малая ось — в вершинах B и B'. Длина большой полуоси $a = OA$.
4. Для нахождения фокусов $F_1$ и $F_2$ установите циркуль в одну из вершин на малой оси (например, B) и проведите дугу радиусом, равным большой полуоси ($a$). Точки пересечения этой дуги с большой осью и будут фокусами.

Этап 2: Построение касательной в точке P

Построение основано на оптическом (отражательном) свойстве эллипса. Касательная к эллипсу в точке P является биссектрисой внешнего угла $\angle F_1PF_2$.

1. Соедините точку касания P с обоими фокусами $F_1$ и $F_2$, получив отрезки $PF_1$ и $PF_2$.
2. Продлите один из этих отрезков, например $F_1P$, за точку P (т.е. постройте луч $F_1P$).
3. Постройте биссектрису угла, образованного лучом $PF_2$ и продолжением отрезка $F_1P$ за точку P. Этот угол является внешним для треугольника $\triangle F_1PF_2$.
4. Для построения биссектрисы: установите циркуль в точку P и проведите дугу, пересекающую луч $PF_2$ в точке R и продолжение луча $F_1P$ в точке S. Затем с центрами в R и S проведите две дуги одинакового (и достаточного) радиуса до их пересечения. Прямая, проходящая через P и точку пересечения этих дуг, и есть искомая биссектриса.

Эта построенная прямая является касательной к эллипсу в точке P.

Ответ: Прямая, являющаяся биссектрисой внешнего угла при точке касания P треугольника, образованного этой точкой и фокусами эллипса ($\triangle F_1PF_2$), является касательной к эллипсу в данной точке.