Номер 13, страница 230, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §32 - номер 13, страница 230.

Условие.

13. Функция $y = f(x)$ непрерывна на интервале $(2; 5)$. Может ли она на этом интервале достигать своего наибольшего и не достигать своего наименьшего значения? Приведите пример.

Решение 6.

Да, такая ситуация возможна. Это связано с тем, что функция рассматривается на открытом интервале $(2; 5)$. Согласно теореме Вейерштрасса, любая непрерывная функция на замкнутом отрезке $[a; b]$ обязательно достигает своих наибольшего и наименьшего значений. Однако для открытого интервала это утверждение не всегда верно. Функция может достигать своего максимума во внутренней точке интервала, в то время как её значения могут лишь стремиться к наименьшему значению (точной нижней грани) на одном из концов интервала, никогда его не достигая.

В качестве примера рассмотрим функцию $f(x) = -(x - 3.5)^2 + 10$ на интервале $(2; 5)$.

Эта функция является квадратичной и, следовательно, непрерывна на всей числовой прямой, включая интервал $(2; 5)$. Её график — парабола с ветвями, направленными вниз. Максимальное значение достигается в вершине параболы. Координата вершины по оси абсцисс $x_0 = 3.5$. Поскольку $2 < 3.5 < 5$, точка максимума находится внутри заданного интервала. Наибольшее значение функции равно $f(3.5) = -(3.5 - 3.5)^2 + 10 = 10$. Таким образом, функция достигает своего наибольшего значения на интервале $(2; 5)$.

Теперь рассмотрим наименьшее значение. Так как максимум находится в точке $x=3.5$, функция убывает по мере приближения $x$ к концам интервала. Найдём предельные значения функции на концах интервала:$\lim_{x \to 2^+} f(x) = -(2 - 3.5)^2 + 10 = -(-1.5)^2 + 10 = -2.25 + 10 = 7.75$.$\lim_{x \to 5^-} f(x) = -(5 - 3.5)^2 + 10 = -(1.5)^2 + 10 = -2.25 + 10 = 7.75$.Множество значений функции на интервале $(2; 5)$ представляет собой полуинтервал $(7.75; 10]$. Точная нижняя грань (инфимум) значений функции равна $7.75$. Однако не существует такого значения $x$ в интервале $(2; 5)$, при котором $f(x) = 7.75$. Значение функции лишь стремится к $7.75$ при $x \to 2^+$ и $x \to 5^-$, но никогда его не достигает. Следовательно, функция не достигает своего наименьшего значения.

Ответ: Да, может. Примером такой функции является $f(x) = -(x - 3.5)^2 + 10$ на интервале $(2; 5)$.