Номер 6, страница 229, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §32 - номер 6, страница 229.

Условие.

6. Опишите последовательность своих действий, если вам нужно найти наименьшее и наибольшее значения непрерывной функции $y = f(x)$ на отрезке $[a; b]$.

Решение 6.

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения непрерывной функции $y = f(x)$ на отрезке $[a; b]$, необходимо выполнить следующую последовательность действий, основанную на теореме Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значениях функции на отрезке.

1. Найти производную функции

Первый шаг — найти производную $f'(x)$ данной функции. Необходимо убедиться, что функция $f(x)$ непрерывна на всем отрезке $[a; b]$.

2. Найти критические точки

Критическими точками функции называются внутренние точки ее области определения, в которых производная равна нулю или не существует. Для их нахождения нужно:

• Решить уравнение $f'(x) = 0$. Корни этого уравнения, принадлежащие интервалу $(a, b)$, являются стационарными точками.
• Найти точки из интервала $(a, b)$, в которых производная $f'(x)$ не существует.

Все найденные таким образом точки являются критическими.

3. Вычислить значения функции в ключевых точках

Необходимо рассчитать значения функции в каждой найденной критической точке, которая принадлежит отрезку $[a; b]$, а также на концах этого отрезка. То есть, нужно найти значения:

• $f(a)$ и $f(b)$ (значения на концах отрезка).
• $f(x_1), f(x_2), \dots$ (значения в критических точках $x_1, x_2, \dots$, лежащих внутри отрезка).

4. Сравнить полученные значения

Последний шаг — сравнить все вычисленные значения. Самое большое из них будет являться наибольшим значением функции на отрезке (глобальный максимум), а самое маленькое — наименьшим значением (глобальный минимум).

$y_{наиб} = \max\{f(a), f(b), f(x_1), f(x_2), \dots\}$

$y_{наим} = \min\{f(a), f(b), f(x_1), f(x_2), \dots\}$

Ответ:

Последовательность действий для нахождения наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции $y=f(x)$ на отрезке $[a; b]$:

1. Найти производную функции $f'(x)$.
2. Найти критические точки функции, то есть точки, в которых $f'(x) = 0$ или производная не существует.
3. Выбрать из найденных критических точек те, которые принадлежат отрезку $[a; b]$.
4. Вычислить значения функции $f(x)$ в отобранных критических точках, а также на концах отрезка, т.е. в точках $a$ и $b$.
5. Среди всех полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее. Они и будут являться соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции на отрезке.