Номер 4, страница 229, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §32 - номер 4, страница 229.

Условие.

4. Может ли быть так, что непрерывная на отрезке функция достигает своего наименьшего значения внутри, а наибольшего — на одном из концов отрезка? Приведите пример.

Решение 6.

Да, такая ситуация возможна. Согласно теореме Вейерштрасса, любая непрерывная на отрезке функция достигает на нём своих наибольшего и наименьшего значений. Эти значения могут достигаться как на концах отрезка, так и во внутренних точках (точках экстремума). Ситуация, описанная в вопросе, возникнет, если точка глобального минимума окажется внутри отрезка, а значение функции на одном из концов будет больше, чем на другом конце и во всех точках локальных максимумов внутри отрезка.

Приведите пример.

Рассмотрим функцию $f(x) = (x-1)^2$ на отрезке $[0, 3]$.

1. Непрерывность. Данная функция является многочленом (квадратичной функцией), поэтому она непрерывна на всей числовой прямой, и в частности на отрезке $[0, 3]$.

2. Нахождение наименьшего и наибольшего значений. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке, необходимо найти её значения в критических точках, принадлежащих этому отрезку, и на его концах, а затем выбрать из них наибольшее и наименьшее.

Найдем производную функции: $f'(x) = ((x-1)^2)' = 2(x-1)$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $2(x-1) = 0 \implies x = 1$.

Критическая точка $x=1$ принадлежит отрезку $[0, 3]$ и является его внутренней точкой.

Теперь вычислим значения функции в найденной критической точке и на концах отрезка:

• Значение в критической точке: $f(1) = (1-1)^2 = 0$.
• Значения на концах отрезка: $f(0) = (0-1)^2 = 1$ и $f(3) = (3-1)^2 = 4$.

Сравнивая полученные значения $\{0, 1, 4\}$, мы видим, что:

• Наименьшее значение функции на отрезке $[0, 3]$ равно $0$. Оно достигается в точке $x=1$, которая находится внутри отрезка.
• Наибольшее значение функции на отрезке $[0, 3]$ равно $4$. Оно достигается в точке $x=3$, которая является концом отрезка.

Таким образом, данный пример полностью удовлетворяет условиям задачи.

Ответ: Да, может. Например, функция $f(x) = (x-1)^2$ на отрезке $[0, 3]$.