Номер 10, страница 215, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §30. ч. 1 - номер 10, страница 215.

10. Опишите последовательность своих действий, если вам нужно исследовать функцию на монотонность и экстремумы.

Исследование функции на монотонность и экстремумы — это стандартная задача математического анализа, которая выполняется по следующему алгоритму:

1. Нахождение области определения функции.

Первым шагом необходимо определить множество всех значений аргумента $x$, для которых функция $f(x)$ существует (определена). Это важно, так как все дальнейшие исследования проводятся исключительно в пределах области определения $D(f)$. Следует обратить внимание на такие ограничения, как знаменатель дроби (не должен быть равен нулю), подкоренное выражение для корня четной степени (должно быть неотрицательным), аргумент логарифма (должен быть строго положительным) и другие.

Ответ: Определена область $D(f)$, на которой существует функция.

2. Нахождение производной функции.

Для исследования монотонности и поиска экстремумов используется первая производная функции $f'(x)$. Необходимо вычислить эту производную, используя правила и формулы дифференцирования. Также нужно найти область определения производной $D(f')$.

Ответ: Вычислена первая производная функции $f'(x)$ и найдена ее область определения.

3. Нахождение критических точек функции.

Критические точки — это внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует. Эти точки являются "подозрительными" на экстремум. Для их нахождения нужно:

а) Решить уравнение $f'(x) = 0$. Найденные корни являются стационарными точками.

б) Найти точки, в которых производная $f'(x)$ не существует (например, точки, где знаменатель производной обращается в ноль), но сама функция $f(x)$ определена.

Все найденные точки из пунктов а) и б), принадлежащие области определения $D(f)$, являются критическими.

Ответ: Найдены все критические точки функции, то есть точки из области определения, где производная равна нулю или не существует.

4. Определение промежутков монотонности.

Найденные критические точки и точки разрыва функции (если они есть) разбивают область определения $D(f)$ на интервалы. На каждом из этих интервалов производная $f'(x)$ сохраняет свой знак. Для определения знака нужно выбрать любую пробную точку из каждого интервала и вычислить значение производной в этой точке. Далее используется достаточное условие монотонности:

- Если $f'(x) > 0$ на интервале, то функция $f(x)$ на этом интервале строго возрастает (монотонно возрастает).

- Если $f'(x) < 0$ на интервале, то функция $f(x)$ на этом интервале строго убывает (монотонно убывает).

Результаты удобно заносить в таблицу или отмечать на числовой оси.

Ответ: Определены промежутки, на которых функция возрастает ($f'(x) > 0$), и промежутки, на которых она убывает ($f'(x) < 0$).

5. Определение точек экстремума.

Точки экстремума (локального максимума или минимума) находятся среди критических точек. Для их определения нужно проанализировать, как меняется знак производной $f'(x)$ при переходе через критическую точку $x_0$:

- Если при переходе через точку $x_0$ производная меняет знак с плюса (+) на минус (–), то $x_0$ является точкой локального максимума.

- Если при переходе через точку $x_0$ производная меняет знак с минуса (–) на плюс (+), то $x_0$ является точкой локального минимума.

- Если при переходе через точку $x_0$ знак производной не меняется, то в этой точке экстремума нет.

Ответ: Выявлены точки локального максимума и минимума функции на основе анализа смены знака производной в критических точках.

6. Вычисление значений функции в точках экстремума.

Для нахождения самих экстремумов (значений функции в точках экстремума) необходимо подставить найденные абсциссы точек максимума ($x_{max}$) и минимума ($x_{min}$) в исходную функцию $f(x)$. То есть, вычисляются значения $y_{max} = f(x_{max})$ и $y_{min} = f(x_{min})$.

Ответ: Вычислены значения функции в точках экстремума: локальные максимумы и минимумы.

7. Формулировка итогового ответа.

На последнем этапе все полученные результаты систематизируются и записываются в виде окончательного ответа, который обычно включает:

- Промежутки возрастания функции.

- Промежутки убывания функции.

- Точки локального максимума и значения функции в них (максимумы).

- Точки локального минимума и значения функции в них (минимумы).

Ответ: Сформулирован и записан итоговый результат исследования функции: указаны промежутки монотонности, точки экстремумов и экстремумы функции.