Номер 3, страница 214, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §30. ч. 1 - номер 3, страница 214.

3. Известно, что для функции $y = f(x)$ на интервале $(2; 7)$ выполняется равенство $f'(x) = 0$ и что $f(5) = 3.7$. Вычислите:

а) $f(3)$;

б) $f(\sqrt{45})$;

в) $f(4\frac{1}{3}) - f(8 \sin \frac{\pi}{6})$.

По условию задачи, на интервале $(2; 7)$ производная функции $f'(x) = 0$. Из этого следует, что на данном интервале функция $y = f(x)$ является постоянной (константой). То есть, $f(x) = C$ для любого $x$, принадлежащего интервалу $(2; 7)$, где $C$ — некоторое число.

Нам также известно, что $f(5) = 3,7$. Поскольку точка $x = 5$ принадлежит интервалу $(2; 7)$, мы можем определить значение этой константы: $C = f(5) = 3,7$.

Таким образом, для любого значения аргумента $x$ из интервала $(2; 7)$ значение функции будет равно $3,7$.

а) Требуется вычислить $f(3)$. Аргумент $x = 3$. Проверим, принадлежит ли эта точка интервалу $(2; 7)$. Неравенство $2 < 3 < 7$ является верным, следовательно, точка принадлежит интервалу. Значит, значение функции в этой точке равно константе. $f(3) = 3,7$.
Ответ: 3,7.

б) Требуется вычислить $f(\sqrt{45})$. Аргумент $x = \sqrt{45}$. Оценим его значение, чтобы проверить принадлежность интервалу $(2; 7)$. Мы знаем, что $6^2 = 36$ и $7^2 = 49$. Так как $36 < 45 < 49$, то, извлекая квадратный корень из всех частей неравенства, получаем $\sqrt{36} < \sqrt{45} < \sqrt{49}$, то есть $6 < \sqrt{45} < 7$. Поскольку $2 < 6$, то $2 < \sqrt{45} < 7$, следовательно, точка принадлежит заданному интервалу. Значит, значение функции в этой точке также равно константе. $f(\sqrt{45}) = 3,7$.
Ответ: 3,7.

в) Требуется вычислить разность $f(4\frac{1}{3}) - f(8 \sin\frac{\pi}{6})$. Для этого найдем значение каждого из двух слагаемых.
1. Первый член: $f(4\frac{1}{3})$. Аргумент $x_1 = 4\frac{1}{3}$. Так как $2 < 4\frac{1}{3} < 7$, точка принадлежит интервалу $(2; 7)$. Следовательно, $f(4\frac{1}{3}) = 3,7$.
2. Второй член: $f(8 \sin\frac{\pi}{6})$. Сначала вычислим аргумент функции: $x_2 = 8 \sin\frac{\pi}{6}$. Значение синуса $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, поэтому $x_2 = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$. Так как $2 < 4 < 7$, эта точка также принадлежит интервалу $(2; 7)$. Следовательно, $f(8 \sin\frac{\pi}{6}) = f(4) = 3,7$.
3. Теперь вычислим итоговое выражение: $f(4\frac{1}{3}) - f(8 \sin\frac{\pi}{6}) = 3,7 - 3,7 = 0$.
Ответ: 0.