Номер 5, страница 215, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §30. ч. 1 - номер 5, страница 215.

5. Начертите график непрерывной кусочной функции так, чтобы у неё было три точки экстремума. Охарактеризуйте каждую из этих точек — точка максимума или минимума.

Для выполнения задания необходимо построить график функции, который является непрерывным (не имеет разрывов) и имеет ровно три точки экстремума (локальных максимумов или минимумов). Для этого можно использовать кусочно-линейную функцию, то есть функцию, график которой состоит из соединенных между собой отрезков прямых. Точки "излома" на таком графике будут являться точками экстремума.

Чтобы получить три экстремума, функция должна трижды сменить направление своего монотонного движения (с возрастания на убывание или наоборот). Например, по схеме: убывание → возрастание → убывание → возрастание. Это даст две точки минимума и одну точку максимума.

Построение графика и определение функции

Зададим функцию $f(x)$ аналитически. Выберем простые целочисленные координаты для точек излома (экстремумов).

• Пусть первая точка экстремума (минимум) будет в $x = -1$.
• Вторая точка экстремума (максимум) будет в $x = 1$.
• Третья точка экстремума (минимум) будет в $x = 3$.

Определим функцию $f(x)$ на четырех интервалах следующим образом:

$f(x) = \begin{cases} -x, & \text{если } x \le -1 \\ x+2, & \text{если } -1 < x \le 1 \\ -x+4, & \text{если } 1 < x \le 3 \\ x-2, & \text{если } x > 3 \end{cases}$

Данная функция непрерывна на всей числовой оси, так как значения функции на стыках интервалов совпадают:

• При $x = -1$: левый предел $-(-1) = 1$, значение в точке $-(-1) = 1$, правый предел $(-1) + 2 = 1$. Все значения равны 1.
• При $x = 1$: левый предел $1+2 = 3$, значение в точке $1+2=3$, правый предел $-1+4 = 3$. Все значения равны 3.
• При $x = 3$: левый предел $-3+4 = 1$, значение в точке $-3+4=1$, правый предел $3-2 = 1$. Все значения равны 1.

График этой функции будет выглядеть следующим образом:

Характеристика точек экстремума

Охарактеризуем каждую из трех точек экстремума, отмеченных на графике.

Точка A(-1, 1)
В окрестности этой точки функция сначала убывает (при $x < -1$ производная $f'(x) = -1 < 0$), а затем возрастает (при $-1 < x < 1$ производная $f'(x) = 1 > 0$). При переходе через точку $x=-1$ производная меняет знак с "минуса" на "плюс". Следовательно, A(-1, 1) — точка локального минимума.

Точка B(1, 3)
В окрестности этой точки функция сначала возрастает (при $-1 < x < 1$ производная $f'(x) = 1 > 0$), а затем убывает (при $1 < x < 3$ производная $f'(x) = -1 < 0$). При переходе через точку $x=1$ производная меняет знак с "плюса" на "минус". Следовательно, B(1, 3) — точка локального максимума.

Точка C(3, 1)
В окрестности этой точки функция сначала убывает (при $1 < x < 3$ производная $f'(x) = -1 < 0$), а затем возрастает (при $x > 3$ производная $f'(x) = 1 > 0$). При переходе через точку $x=3$ производная меняет знак с "минуса" на "плюс". Следовательно, C(3, 1) — точка локального минимума.

Ответ: График непрерывной кусочной функции с тремя точками экстремума представлен выше. Характеристика точек: точка $A(-1, 1)$ является точкой минимума, точка $B(1, 3)$ является точкой максимума, и точка $C(3, 1)$ является точкой минимума.