Страница 215, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

54.12 Случайным образом выбирают одно из решений неравенства $x^2 \le 9$. Найдите вероятность того, что оно является решением неравенства:

а) $x^2 \le 10$;

б) $2x - 3 < 17$;

в) $x^2 \ge 10$;

г) $x^3 + 2x \ge 0$.

Для решения этой задачи мы будем использовать геометрическую вероятность. Сначала определим множество всех возможных исходов, а затем для каждого случая — множество благоприятных исходов. Вероятность будет равна отношению "длин" этих множеств.

Исходное условие состоит в том, что случайным образом выбирается одно из решений неравенства $x^2 \le 9$.

1. Найдём множество решений этого неравенства.$x^2 \le 9$$|x| \le 3$$-3 \le x \le 3$

Таким образом, пространство всех возможных исходов — это отрезок $A = [-3, 3]$ на числовой оси. Длина этого отрезка (мера множества) равна $L = 3 - (-3) = 6$.

Теперь для каждого подпункта найдем множество решений $B$ и пересечение этого множества с отрезком $A$. Длина этого пересечения, $l$, будет мерой благоприятных исходов. Вероятность $P$ будет вычисляться по формуле $P = \frac{l}{L}$.

а) $x^2 \le 10$

Найдём множество решений неравенства $x^2 \le 10$:$|x| \le \sqrt{10}$$-\sqrt{10} \le x \le \sqrt{10}$Множество решений $B_a = [-\sqrt{10}, \sqrt{10}]$.Нам нужно найти пересечение $A \cap B_a = [-3, 3] \cap [-\sqrt{10}, \sqrt{10}]$.Поскольку $3 = \sqrt{9}$, то $3 < \sqrt{10}$ и $-3 > -\sqrt{10}$. Это означает, что отрезок $[-3, 3]$ полностью содержится внутри отрезка $[-\sqrt{10}, \sqrt{10}]$.Следовательно, их пересечение — это сам отрезок $[-3, 3]$.Длина пересечения $l = 3 - (-3) = 6$.Вероятность: $P = \frac{l}{L} = \frac{6}{6} = 1$.

Ответ: $1$

б) $2x - 3 \le 17$

Найдём множество решений неравенства $2x - 3 \le 17$:$2x \le 17 + 3$$2x \le 20$$x \le 10$Множество решений $B_б = (-\infty, 10]$.Нам нужно найти пересечение $A \cap B_б = [-3, 3] \cap (-\infty, 10]$.Все точки отрезка $[-3, 3]$ удовлетворяют условию $x \le 10$.Следовательно, их пересечение — это сам отрезок $[-3, 3]$.Длина пересечения $l = 3 - (-3) = 6$.Вероятность: $P = \frac{l}{L} = \frac{6}{6} = 1$.

Ответ: $1$

в) $x^2 \ge 10$

Найдём множество решений неравенства $x^2 \ge 10$:$|x| \ge \sqrt{10}$$x \le -\sqrt{10}$ или $x \ge \sqrt{10}$Множество решений $B_в = (-\infty, -\sqrt{10}] \cup [\sqrt{10}, \infty)$.Нам нужно найти пересечение $A \cap B_в = [-3, 3] \cap ((-\infty, -\sqrt{10}] \cup [\sqrt{10}, \infty))$.Так как $3 < \sqrt{10}$ и $-3 > -\sqrt{10}$, то у отрезка $[-3, 3]$ и множества $B_в$ нет общих точек.Пересечение является пустым множеством.Длина пересечения $l = 0$.Вероятность: $P = \frac{l}{L} = \frac{0}{6} = 0$.

Ответ: $0$

г) $x^3 + 2x \ge 0$

Найдём множество решений неравенства $x^3 + 2x \ge 0$:$x(x^2 + 2) \ge 0$Выражение в скобках $x^2 + 2$ всегда положительно, так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$.Следовательно, знак всего выражения зависит только от знака $x$. Неравенство равносильно $x \ge 0$.Множество решений $B_г = [0, \infty)$.Нам нужно найти пересечение $A \cap B_г = [-3, 3] \cap [0, \infty)$.Пересечением является отрезок $[0, 3]$.Длина пересечения $l = 3 - 0 = 3$.Вероятность: $P = \frac{l}{L} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

54.14 В прямоугольнике $ABCD$ со сторонами $AB = 2$, $BC = 5$ случайно выбирают точку. Найдите вероятность того, что она расположена:

а) ближе к прямой $AB$, чем к прямой $CD$;

б) ближе к вершине $A$, чем к вершине $C$;

в) ближе к прямой $AB$, чем к прямой $BC$;

г) ближе к вершине $A$, чем к точке пересечения диагоналей.

Для решения задачи используется метод геометрической вероятности. Вероятность события определяется как отношение площади области, благоприятствующей событию, к общей площади фигуры, в которой случайно выбирается точка.

Введем прямоугольную систему координат. Расположим прямоугольник $ABCD$ так, чтобы его вершины имели следующие координаты: $A(0, 0)$, $B(2, 0)$, $C(2, 5)$ и $D(0, 5)$. При таком расположении длины сторон прямоугольника соответствуют условию задачи: $AB = \sqrt{(2-0)^2 + (0-0)^2} = 2$ и $BC = \sqrt{(2-2)^2 + (5-0)^2} = 5$.

Общая площадь прямоугольника, которая представляет собой пространство всех возможных исходов, равна: $S_{ABCD} = AB \cdot BC = 2 \cdot 5 = 10$.

Пусть $M(x, y)$ — случайно выбранная точка внутри прямоугольника, ее координаты удовлетворяют условиям $0 \le x \le 2$ и $0 \le y \le 5$. Прямая $AB$ совпадает с осью абсцисс, ее уравнение $y=0$. Прямая $CD$ параллельна ей и задается уравнением $y=5$.

Расстояние от точки $M(x, y)$ до прямой $AB$ равно $d(M, AB) = y$. Расстояние от точки $M(x, y)$ до прямой $CD$ равно $d(M, CD) = 5-y$.

Условие, что точка $M$ находится ближе к прямой $AB$, чем к прямой $CD$, записывается в виде неравенства: $d(M, AB) < d(M, CD)$ $y < 5-y$ $2y < 5$ $y < 2.5$

Область, точки которой удовлетворяют этому условию, представляет собой прямоугольник, ограниченный прямыми $x=0$, $x=2$, $y=0$ и $y=2.5$. Площадь этой благоприятной области $S_а$ равна: $S_а = 2 \cdot 2.5 = 5$.

Вероятность $P_а$ того, что случайно выбранная точка попадет в эту область, равна: $P_а = \frac{S_а}{S_{ABCD}} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

Координаты вершин: $A(0, 0)$ и $C(2, 5)$. Пусть $M(x, y)$ — случайная точка. Квадрат расстояния от точки $M$ до вершины $A$: $d^2(M, A) = x^2 + y^2$. Квадрат расстояния от точки $M$ до вершины $C$: $d^2(M, C) = (x-2)^2 + (y-5)^2$.

Условие $d(M, A) < d(M, C)$ эквивалентно $d^2(M, A) < d^2(M, C)$: $x^2 + y^2 < (x-2)^2 + (y-5)^2$ $x^2 + y^2 < x^2 - 4x + 4 + y^2 - 10y + 25$ $0 < -4x - 10y + 29$ $4x + 10y < 29$

Множество точек, равноудаленных от $A$ и $C$, образует серединный перпендикуляр к отрезку $AC$. Этот перпендикуляр проходит через середину отрезка $AC$, точка которой $O_{AC}(\frac{0+2}{2}, \frac{0+5}{2}) = (1, 2.5)$ является центром симметрии прямоугольника. Любая прямая, проходящая через центр симметрии прямоугольника, делит его площадь на две равные части.

Следовательно, площадь благоприятной области $S_б$ составляет половину площади всего прямоугольника: $S_б = \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$.

Вероятность $P_б$ равна: $P_б = \frac{S_б}{S_{ABCD}} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

Прямая $AB$ задается уравнением $y=0$, а прямая $BC$ — уравнением $x=2$. Пусть $M(x, y)$ — случайная точка. Расстояние от $M$ до прямой $AB$: $d(M, AB) = y$. Расстояние от $M$ до прямой $BC$: $d(M, BC) = 2-x$.

Условие $d(M, AB) < d(M, BC)$ приводит к неравенству: $y < 2-x$ $x+y < 2$

Благоприятная область — это часть прямоугольника, где $x \ge 0$, $y \ge 0$ и $x+y < 2$. Эта область является прямоугольным треугольником с вершинами в точках $(0, 0)$, $(2, 0)$ и $(0, 2)$. Длины катетов этого треугольника равны 2.

Площадь благоприятной области $S_в$ равна: $S_в = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$.

Вероятность $P_в$ равна: $P_в = \frac{S_в}{S_{ABCD}} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$

Точка пересечения диагоналей $O$ является центром прямоугольника. Найдем ее координаты как середину диагонали $AC$: $O\left(\frac{0+2}{2}, \frac{0+5}{2}\right) = O(1, 2.5)$. Вершина $A$ имеет координаты $(0, 0)$.

Пусть $M(x, y)$ — случайная точка. Условие $d(M, A) < d(M, O)$ эквивалентно $d^2(M, A) < d^2(M, O)$: $x^2 + y^2 < (x-1)^2 + (y-2.5)^2$ $x^2 + y^2 < x^2 - 2x + 1 + y^2 - 5y + 6.25$ $0 < -2x - 5y + 7.25$ $2x + 5y < 7.25$

Благоприятная область — это часть прямоугольника, в которой выполняется данное неравенство. Границей области является прямая $2x + 5y = 7.25$. Найдем точки пересечения этой прямой со сторонами прямоугольника:

• При $x=0$ (сторона $AD$): $5y = 7.25 \implies y = 1.45$. Точка $(0, 1.45)$.
• При $x=2$ (сторона $BC$): $2(2) + 5y = 7.25 \implies 5y = 3.25 \implies y = 0.65$. Точка $(2, 0.65)$.

Таким образом, благоприятная область представляет собой трапецию с вершинами в точках $(0, 0)$, $(2, 0)$, $(2, 0.65)$ и $(0, 1.45)$. Параллельные стороны этой трапеции лежат на прямых $x=0$ и $x=2$, их длины равны $1.45$ и $0.65$. Высота трапеции равна $2$.

Площадь благоприятной области $S_г$ равна: $S_г = \frac{1.45 + 0.65}{2} \cdot 2 = 2.1$.

Вероятность $P_г$ равна: $P_г = \frac{S_г}{S_{ABCD}} = \frac{2.1}{10} = 0.21$.

Ответ: $0.21$

54.16 (Продолжение задачи 54.4.) Карточка лотереи «Спортлото» со-держит 49 чисел. В итоге тиража выигрывают какие-то 6 чисел. Какова (в процентах) вероятность того, что на вашей карточке, где отмечены 6 чисел, верно угадано:

а) хотя бы одно число;

б) не более одного числа;

в) не менее трёх чисел;

г) 4, 5 или 6 чисел?

Для решения этой задачи мы используем классическое определение вероятности и формулу для вычисления числа сочетаний. Условия задачи соответствуют лотерее «6 из 49», где из 49 чисел случайным образом выбираются 6 выигрышных.

Общее число возможных исходов тиража — это количество способов выбрать 6 чисел из 49. Оно равно числу сочетаний из 49 по 6:

$N = C_{49}^6 = \frac{49!}{6!(49-6)!} = \frac{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 13 \, 983 \, 816$.

На нашей карточке отмечено 6 чисел. Мы хотим найти вероятность угадать $k$ чисел из 6 выигрышных. Для этого нужно выбрать $k$ чисел из 6 выигрышных ($C_6^k$ способов) и $6-k$ чисел из оставшихся 43 невыигрышных ($C_{43}^{6-k}$ способов). Число благоприятных исходов для угадывания ровно $k$ чисел равно:

$m_k = C_6^k \cdot C_{43}^{6-k}$

Вероятность угадать ровно $k$ чисел: $P(k) = \frac{m_k}{N} = \frac{C_6^k \cdot C_{43}^{6-k}}{C_{49}^6}$.

a) хотя бы одно число

Вероятность угадать хотя бы одно число — это сумма вероятностей угадать 1, 2, 3, 4, 5 или 6 чисел. Проще найти вероятность противоположного события — не угадать ни одного числа ($k=0$), и вычесть её из 1.

Число способов не угадать ни одного числа (все 6 выбранных нами чисел оказались среди 43 невыигрышных):

$m_0 = C_6^0 \cdot C_{43}^{6} = 1 \cdot \frac{43!}{6!(43-6)!} = 6 \, 096 \, 454$.

Вероятность не угадать ни одного числа:

$P(0) = \frac{m_0}{N} = \frac{6 \, 096 \, 454}{13 \, 983 \, 816} \approx 0.435965$.

Следовательно, вероятность угадать хотя бы одно число равна:

$P(\text{хотя бы 1}) = 1 - P(0) \approx 1 - 0.435965 = 0.564035$.

В процентах: $0.564035 \times 100\% \approx 56.40\%$.

Ответ: Вероятность угадать хотя бы одно число составляет примерно 56.40%.

б) не более одного числа

Это событие означает, что угадано либо 0 чисел, либо 1 число. Вероятность равна сумме вероятностей $P(0)$ и $P(1)$. Вероятность $P(0)$ мы уже знаем.

Найдем вероятность угадать ровно одно число ($k=1$):

$m_1 = C_6^1 \cdot C_{43}^{6-1} = 6 \cdot \frac{43!}{5!(43-5)!} = 6 \cdot 962 \, 598 = 5 \, 775 \, 588$.

$P(1) = \frac{m_1}{N} = \frac{5 \, 775 \, 588}{13 \, 983 \, 816} \approx 0.413019$.

Теперь сложим вероятности:

$P(\text{не более 1}) = P(0) + P(1) \approx 0.435965 + 0.413019 = 0.848984$.

В процентах: $0.848984 \times 100\% \approx 84.90\%$.

Ответ: Вероятность угадать не более одного числа составляет примерно 84.90%.

в) не менее трёх чисел

Это событие означает, что угадано 3, 4, 5 или 6 чисел. Вероятность равна сумме $P(3) + P(4) + P(5) + P(6)$.

Рассчитаем каждую вероятность:

$m_3 = C_6^3 \cdot C_{43}^{3} = 20 \cdot 12 \, 341 = 246 \, 820 \implies P(3) = \frac{246 \, 820}{13 \, 983 \, 816} \approx 0.017650$.

$m_4 = C_6^4 \cdot C_{43}^{2} = 15 \cdot 903 = 13 \, 545 \implies P(4) = \frac{13 \, 545}{13 \, 983 \, 816} \approx 0.0009686$.

$m_5 = C_6^5 \cdot C_{43}^{1} = 6 \cdot 43 = 258 \implies P(5) = \frac{258}{13 \, 983 \, 816} \approx 0.00001845$.

$m_6 = C_6^6 \cdot C_{43}^{0} = 1 \cdot 1 = 1 \implies P(6) = \frac{1}{13 \, 983 \, 816} \approx 0.00000007$.

Суммируем вероятности:

$P(\text{не менее 3}) \approx 0.017650 + 0.0009686 + 0.00001845 + 0.00000007 \approx 0.018637$.

В процентах: $0.018637 \times 100\% \approx 1.86\%$.

Ответ: Вероятность угадать не менее трёх чисел составляет примерно 1.86%.

г) 4, 5 или 6 чисел

Вероятность этого события равна сумме $P(4) + P(5) + P(6)$. Мы уже вычислили эти значения в предыдущем пункте.

$P(4, 5 \text{ или } 6) = P(4) + P(5) + P(6) \approx 0.0009686 + 0.00001845 + 0.00000007 \approx 0.000987$.

В процентах: $0.000987 \times 100\% \approx 0.099\%$.

Ответ: Вероятность угадать 4, 5 или 6 чисел составляет примерно 0.099%.

54.18 Вы находитесь в круглом зале с 10 дверями, из которых какие-то 4 заперты. Вы случайным образом выбираете две двери. Найдите вероятность того, что:

а) вы не сможете выйти из зала;

б) вы сможете выйти из зала, но вернуться через другую дверь уже не сможете;

в) вы сможете через одну дверь выйти, а через другую вернуться в зал;

г) хотя бы через одну дверь вы сможете выйти из зала.

Для решения задачи сначала определим общее число исходов. Всего в зале 10 дверей, из которых 4 заперты, а $10 - 4 = 6$ — не заперты. Мы случайным образом выбираем 2 двери. Общее число способов выбрать 2 двери из 10 равно числу сочетаний $C_{10}^2$. Это общее число всех равновозможных исходов.

$N_{общ} = C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45$.

а) вы не сможете выйти из зала;
Это произойдет, если обе выбранные двери окажутся запертыми. В зале 4 запертые двери. Число способов выбрать 2 запертые двери из 4 (число благоприятных исходов) равно: $N_а = C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$.
Вероятность этого события — это отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов: $P(а) = \frac{N_а}{N_{общ}} = \frac{6}{45} = \frac{2}{15}$.
Ответ: $\frac{2}{15}$

б) вы сможете выйти из зала, но вернуться через другую дверь уже не сможете;
Это условие выполняется, если одна из выбранных дверей не заперта, а другая — заперта. Число способов выбрать 1 из 6 незапертых дверей и 1 из 4 запертых дверей равно произведению соответствующих сочетаний: $N_б = C_6^1 \cdot C_4^1 = 6 \cdot 4 = 24$.
Вероятность этого события равна: $P(б) = \frac{N_б}{N_{общ}} = \frac{24}{45} = \frac{8}{15}$.
Ответ: $\frac{8}{15}$

в) вы сможете через одну дверь выйти, а через другую вернуться в зал;
Это возможно, если обе выбранные двери не заперты. В зале 6 незапертых дверей. Число способов выбрать 2 незапертые двери из 6 равно: $N_в = C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$.
Вероятность этого события равна: $P(в) = \frac{N_в}{N_{общ}} = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$

г) хотя бы через одну дверь вы сможете выйти из зала.
Это событие означает, что по крайней мере одна из выбранных дверей не заперта. Оно является противоположным (дополнительным) к событию из пункта а) "обе двери заперты". Вероятность можно найти, вычтя из единицы вероятность противоположного события: $P(г) = 1 - P(а) = 1 - \frac{2}{15} = \frac{13}{15}$.
Альтернативно, это событие является объединением несовместных событий из пунктов б) ("ровно одна дверь не заперта") и в) ("обе двери не заперты"). Поэтому его вероятность равна сумме их вероятностей: $P(г) = P(б) + P(в) = \frac{8}{15} + \frac{1}{3} = \frac{8}{15} + \frac{5}{15} = \frac{13}{15}$.
Ответ: $\frac{13}{15}$

54.13 Случайным образом выбирают одно из решений неравенства $1 \le |x - 3| \le 5$. Найдите вероятность того, что оно является решением неравенства:

а) $|x| \le 2$;

б) $|x - 6| \le 2$;

в) $|x| \le 1$;

г) $1 \le |x - 6| \le 2$.

Для начала решим исходное неравенство $1 \le |x - 3| \le 5$, чтобы найти множество всех возможных решений (пространство элементарных исходов).

Данное двойное неравенство равносильно системе двух неравенств:

$\begin{cases} |x - 3| \ge 1 \\ |x - 3| \le 5 \end{cases}$

Решим первое неравенство $|x - 3| \ge 1$. Оно распадается на совокупность двух неравенств:

$x - 3 \ge 1$ или $x - 3 \le -1$

$x \ge 4$ или $x \le 2$

Решением является объединение промежутков: $x \in (-\infty, 2] \cup [4, \infty)$.

Решим второе неравенство $|x - 3| \le 5$. Оно равносильно двойному неравенству:

$-5 \le x - 3 \le 5$

Прибавим 3 ко всем частям:

$-2 \le x \le 8$

Решением является отрезок: $x \in [-2, 8]$.

Теперь найдем пересечение решений этих двух неравенств. Обозначим итоговое множество решений как $M$.

$M = ((-\infty, 2] \cup [4, \infty)) \cap [-2, 8] = [-2, 2] \cup [4, 8]$.

Это множество является пространством элементарных исходов. В задачах с геометрической вероятностью мерой такого пространства является его длина. Найдем суммарную длину отрезков, составляющих множество $M$.

Длина отрезка $[-2, 2]$ равна $L_1 = 2 - (-2) = 4$.

Длина отрезка $[4, 8]$ равна $L_2 = 8 - 4 = 4$.

Общая длина множества $M$ равна $L(M) = L_1 + L_2 = 4 + 4 = 8$.

Вероятность события A находится как отношение длины множества благоприятных исходов к общей длине множества всех исходов: $P(A) = \frac{L(\text{благоприятные исходы})}{L(M)}$.

а) Найдем вероятность того, что выбранное число является решением неравенства $|x| \le 2$.

Решим неравенство $|x| \le 2$. Оно равносильно $-2 \le x \le 2$. Множество решений: $A = [-2, 2]$.

Теперь найдем пересечение множества $A$ с множеством $M$. Это будет множество благоприятных исходов.

$A \cap M = [-2, 2] \cap ([-2, 2] \cup [4, 8]) = [-2, 2]$.

Длина этого множества равна $L(A \cap M) = 2 - (-2) = 4$.

Вероятность равна $P_a = \frac{L(A \cap M)}{L(M)} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

б) Найдем вероятность того, что выбранное число является решением неравенства $|x - 6| \le 2$.

Решим неравенство $|x - 6| \le 2$. Оно равносильно $-2 \le x - 6 \le 2$.

Прибавив 6 ко всем частям, получаем $4 \le x \le 8$. Множество решений: $B = [4, 8]$.

Найдем пересечение множества $B$ с множеством $M$.

$B \cap M = [4, 8] \cap ([-2, 2] \cup [4, 8]) = [4, 8]$.

Длина этого множества равна $L(B \cap M) = 8 - 4 = 4$.

Вероятность равна $P_b = \frac{L(B \cap M)}{L(M)} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

в) Найдем вероятность того, что выбранное число является решением неравенства $|x| \le 1$.

Решим неравенство $|x| \le 1$. Оно равносильно $-1 \le x \le 1$. Множество решений: $C = [-1, 1]$.

Найдем пересечение множества $C$ с множеством $M$.

$C \cap M = [-1, 1] \cap ([-2, 2] \cup [4, 8]) = [-1, 1]$.

Длина этого множества равна $L(C \cap M) = 1 - (-1) = 2$.

Вероятность равна $P_c = \frac{L(C \cap M)}{L(M)} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

г) Найдем вероятность того, что выбранное число является решением неравенства $1 \le |x - 6| \le 2$.

Решим неравенство $1 \le |x - 6| \le 2$. Оно равносильно системе:

$\begin{cases} |x - 6| \ge 1 \\ |x - 6| \le 2 \end{cases}$

Решение второго неравенства мы уже нашли в пункте б): $x \in [4, 8]$.

Решим первое неравенство $|x - 6| \ge 1$:

$x - 6 \ge 1$ или $x - 6 \le -1$

$x \ge 7$ или $x \le 5$

Решением является $x \in (-\infty, 5] \cup [7, \infty)$.

Найдем решение системы, пересекая полученные множества: $D = ([-\infty, 5] \cup [7, \infty)) \cap [4, 8] = [4, 5] \cup [7, 8]$.

Теперь найдем пересечение множества $D$ с множеством $M$.

$D \cap M = ([4, 5] \cup [7, 8]) \cap ([-2, 2] \cup [4, 8]) = [4, 5] \cup [7, 8]$.

Длина этого множества равна сумме длин отрезков: $L(D \cap M) = (5 - 4) + (8 - 7) = 1 + 1 = 2$.

Вероятность равна $P_d = \frac{L(D \cap M)}{L(M)} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

54.15 Внутри окружности, описанной около прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8, взята точка. Найдите вероятность того, что она:

а) лежит внутри треугольника;

б) лежит внутри окружности, вписанной в треугольник;

в) лежит вне треугольника;

г) лежит внутри треугольника, но не внутри вписанной в него окружности.

Данная задача относится к геометрической вероятности. Вероятность события определяется как отношение площади благоприятствующей этому событию области к площади всей области, в которой может находиться точка. В нашем случае, общая область — это круг, ограниченный описанной окружностью.

Сначала найдем все необходимые параметры треугольника и окружностей.

Дан прямоугольный треугольник с катетами $a = 6$ и $b = 8$.

1. Найдем гипотенузу $c$ по теореме Пифагора:

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

2. Найдем площадь описанной окружности ($S_{опис}$). Это общая область для вычисления вероятности.

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится на середине гипотенузы, а ее радиус $R$ равен половине гипотенузы:

$R = \frac{c}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

Площадь описанной окружности: $S_{опис} = \pi R^2 = \pi \cdot 5^2 = 25\pi$.

3. Найдем площадь треугольника ($S_{\triangle}$).

$S_{\triangle} = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$.

4. Найдем площадь вписанной окружности ($S_{впис}$).

Радиус $r$ окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, вычисляется по формуле $r = \frac{a+b-c}{2}$:

$r = \frac{6+8-10}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Площадь вписанной окружности: $S_{впис} = \pi r^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$.

Теперь можем найти вероятности для каждого случая.

а) лежит внутри треугольника

Вероятность того, что точка лежит внутри треугольника, равна отношению площади треугольника к площади описанной окружности.

$P_a = \frac{S_{\triangle}}{S_{опис}} = \frac{24}{25\pi}$.

Ответ: $\frac{24}{25\pi}$.

б) лежит внутри окружности, вписанной в треугольник

Вероятность того, что точка лежит внутри вписанной окружности, равна отношению площади вписанной окружности к площади описанной окружности.

$P_б = \frac{S_{впис}}{S_{опис}} = \frac{4\pi}{25\pi} = \frac{4}{25}$.

Ответ: $\frac{4}{25}$.

в) лежит вне треугольника

Событие "точка лежит вне треугольника" является противоположным событию "точка лежит внутри треугольника". Площадь этой области равна разности площадей описанной окружности и треугольника.

$P_в = \frac{S_{опис} - S_{\triangle}}{S_{опис}} = \frac{25\pi - 24}{25\pi} = 1 - \frac{24}{25\pi}$.

Ответ: $\frac{25\pi - 24}{25\pi}$.

г) лежит внутри треугольника, но не внутри вписанной в него окружности

Площадь искомой области равна разности площадей треугольника и вписанной в него окружности.

$S_{иск} = S_{\triangle} - S_{впис} = 24 - 4\pi$.

Вероятность этого события равна отношению этой площади к площади описанной окружности.

$P_г = \frac{S_{\triangle} - S_{впис}}{S_{опис}} = \frac{24 - 4\pi}{25\pi}$.

Ответ: $\frac{24 - 4\pi}{25\pi}$.

54.17 Из чисел 1, 2, 3, 4, 5 одновременно выбирают три. Найдите вероятность того, что:

а) существует прямоугольный треугольник с такими сторонами;

б) существует треугольник с такими сторонами;

в) их произведение оканчивается на ноль;

г) их сумма меньше 10.

Для решения задачи сначала определим общее число возможных исходов. Нам нужно выбрать 3 числа из 5 данных чисел {1, 2, 3, 4, 5}. Поскольку порядок выбора не важен, мы используем формулу для числа сочетаний:

$N = C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

где $n=5$ (всего чисел), а $k=3$ (выбираем чисел).

$N = C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$

Таким образом, существует 10 различных способов выбрать три числа из пяти. Перечислим все возможные комбинации (исходы):

• {1, 2, 3}
• {1, 2, 4}
• {1, 2, 5}
• {1, 3, 4}
• {1, 3, 5}
• {1, 4, 5}
• {2, 3, 4}
• {2, 3, 5}
• {2, 4, 5}
• {3, 4, 5}

Теперь найдем вероятность для каждого из предложенных событий. Вероятность события $A$ вычисляется по формуле $P(A) = \frac{M}{N}$, где $M$ — число благоприятных исходов, а $N$ — общее число исходов.

а) существует прямоугольный треугольник с такими сторонами;

Для того чтобы из трех отрезков $a, b, c$ (где $c$ — наибольший) можно было составить прямоугольный треугольник, должно выполняться условие теоремы Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$. Проверим все 10 комбинаций:

• {1, 2, 3}: $1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5 \neq 3^2=9$
• {1, 2, 4}: $1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5 \neq 4^2=16$
• {1, 2, 5}: $1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5 \neq 5^2=25$
• {1, 3, 4}: $1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10 \neq 4^2=16$
• {1, 3, 5}: $1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10 \neq 5^2=25$
• {1, 4, 5}: $1^2 + 4^2 = 1 + 16 = 17 \neq 5^2=25$
• {2, 3, 4}: $2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13 \neq 4^2=16$
• {2, 3, 5}: $2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13 \neq 5^2=25$
• {2, 4, 5}: $2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20 \neq 5^2=25$
• {3, 4, 5}: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$. Это благоприятный исход.

Таким образом, существует только одна комбинация, удовлетворяющая условию. Число благоприятных исходов $M_a = 1$.

Вероятность равна: $P(a) = \frac{M_a}{N} = \frac{1}{10}$.

Ответ: $\frac{1}{10}$

б) существует треугольник с такими сторонами;

Для существования треугольника со сторонами $a, b, c$ (где $c$ — наибольшая сторона) должно выполняться неравенство треугольника: $a + b > c$. Проверим все комбинации:

• {1, 2, 3}: $1 + 2 = 3$. Не выполняется ($3 \ngtr 3$).
• {1, 2, 4}: $1 + 2 = 3 < 4$. Не выполняется.
• {1, 2, 5}: $1 + 2 = 3 < 5$. Не выполняется.
• {1, 3, 4}: $1 + 3 = 4$. Не выполняется ($4 \ngtr 4$).
• {1, 3, 5}: $1 + 3 = 4 < 5$. Не выполняется.
• {1, 4, 5}: $1 + 4 = 5$. Не выполняется ($5 \ngtr 5$).
• {2, 3, 4}: $2 + 3 = 5 > 4$. Выполняется.
• {2, 3, 5}: $2 + 3 = 5$. Не выполняется ($5 \ngtr 5$).
• {2, 4, 5}: $2 + 4 = 6 > 5$. Выполняется.
• {3, 4, 5}: $3 + 4 = 7 > 5$. Выполняется.

Существует 3 комбинации, из которых можно составить треугольник. Число благоприятных исходов $M_b = 3$.

Вероятность равна: $P(б) = \frac{M_b}{N} = \frac{3}{10}$.

Ответ: $\frac{3}{10}$

в) их произведение оканчивается на ноль;

Произведение целых чисел оканчивается на ноль, если оно делится на 10. Для этого в разложении произведения на простые множители должны присутствовать и 2, и 5. В нашем наборе чисел {1, 2, 3, 4, 5} множитель 5 дает только число 5, а множитель 2 дают числа 2 и 4. Таким образом, в выбранной тройке чисел должны быть число 5 и хотя бы одно четное число (2 или 4).

Найдем комбинации, содержащие 5 и хотя бы одно четное число:

• {1, 2, 5}: $1 \cdot 2 \cdot 5 = 10$. Оканчивается на 0.
• {1, 3, 5}: $1 \cdot 3 \cdot 5 = 15$.
• {1, 4, 5}: $1 \cdot 4 \cdot 5 = 20$. Оканчивается на 0.
• {2, 3, 5}: $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$. Оканчивается на 0.
• {2, 4, 5}: $2 \cdot 4 \cdot 5 = 40$. Оканчивается на 0.
• {3, 4, 5}: $3 \cdot 4 \cdot 5 = 60$. Оканчивается на 0.

Остальные комбинации не содержат число 5, поэтому их произведение не может оканчиваться на 0.

Всего 5 благоприятных исходов. Число благоприятных исходов $M_в = 5$.

Вероятность равна: $P(в) = \frac{M_в}{N} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

г) их сумма меньше 10.

Проверим сумму чисел в каждой из 10 комбинаций:

• {1, 2, 3}: $1 + 2 + 3 = 6 < 10$. Подходит.
• {1, 2, 4}: $1 + 2 + 4 = 7 < 10$. Подходит.
• {1, 2, 5}: $1 + 2 + 5 = 8 < 10$. Подходит.
• {1, 3, 4}: $1 + 3 + 4 = 8 < 10$. Подходит.
• {1, 3, 5}: $1 + 3 + 5 = 9 < 10$. Подходит.
• {1, 4, 5}: $1 + 4 + 5 = 10$. Не подходит.
• {2, 3, 4}: $2 + 3 + 4 = 9 < 10$. Подходит.
• {2, 3, 5}: $2 + 3 + 5 = 10$. Не подходит.
• {2, 4, 5}: $2 + 4 + 5 = 11 > 10$. Не подходит.
• {3, 4, 5}: $3 + 4 + 5 = 12 > 10$. Не подходит.

Всего 6 комбинаций, удовлетворяющих условию. Число благоприятных исходов $M_г = 6$.

Вероятность равна: $P(г) = \frac{M_г}{N} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$

5. Начертите график непрерывной кусочной функции так, чтобы у неё было три точки экстремума. Охарактеризуйте каждую из этих точек — точка максимума или минимума.

Для выполнения задания необходимо построить график функции, который является непрерывным (не имеет разрывов) и имеет ровно три точки экстремума (локальных максимумов или минимумов). Для этого можно использовать кусочно-линейную функцию, то есть функцию, график которой состоит из соединенных между собой отрезков прямых. Точки "излома" на таком графике будут являться точками экстремума.

Чтобы получить три экстремума, функция должна трижды сменить направление своего монотонного движения (с возрастания на убывание или наоборот). Например, по схеме: убывание → возрастание → убывание → возрастание. Это даст две точки минимума и одну точку максимума.

Построение графика и определение функции

Зададим функцию $f(x)$ аналитически. Выберем простые целочисленные координаты для точек излома (экстремумов).

• Пусть первая точка экстремума (минимум) будет в $x = -1$.
• Вторая точка экстремума (максимум) будет в $x = 1$.
• Третья точка экстремума (минимум) будет в $x = 3$.

Определим функцию $f(x)$ на четырех интервалах следующим образом:

$f(x) = \begin{cases} -x, & \text{если } x \le -1 \\ x+2, & \text{если } -1 < x \le 1 \\ -x+4, & \text{если } 1 < x \le 3 \\ x-2, & \text{если } x > 3 \end{cases}$

Данная функция непрерывна на всей числовой оси, так как значения функции на стыках интервалов совпадают:

• При $x = -1$: левый предел $-(-1) = 1$, значение в точке $-(-1) = 1$, правый предел $(-1) + 2 = 1$. Все значения равны 1.
• При $x = 1$: левый предел $1+2 = 3$, значение в точке $1+2=3$, правый предел $-1+4 = 3$. Все значения равны 3.
• При $x = 3$: левый предел $-3+4 = 1$, значение в точке $-3+4=1$, правый предел $3-2 = 1$. Все значения равны 1.

График этой функции будет выглядеть следующим образом:

Характеристика точек экстремума

Охарактеризуем каждую из трех точек экстремума, отмеченных на графике.

Точка A(-1, 1)
В окрестности этой точки функция сначала убывает (при $x < -1$ производная $f'(x) = -1 < 0$), а затем возрастает (при $-1 < x < 1$ производная $f'(x) = 1 > 0$). При переходе через точку $x=-1$ производная меняет знак с "минуса" на "плюс". Следовательно, A(-1, 1) — точка локального минимума.

Точка B(1, 3)
В окрестности этой точки функция сначала возрастает (при $-1 < x < 1$ производная $f'(x) = 1 > 0$), а затем убывает (при $1 < x < 3$ производная $f'(x) = -1 < 0$). При переходе через точку $x=1$ производная меняет знак с "плюса" на "минус". Следовательно, B(1, 3) — точка локального максимума.

Точка C(3, 1)
В окрестности этой точки функция сначала убывает (при $1 < x < 3$ производная $f'(x) = -1 < 0$), а затем возрастает (при $x > 3$ производная $f'(x) = 1 > 0$). При переходе через точку $x=3$ производная меняет знак с "минуса" на "плюс". Следовательно, C(3, 1) — точка локального минимума.

Ответ: График непрерывной кусочной функции с тремя точками экстремума представлен выше. Характеристика точек: точка $A(-1, 1)$ является точкой минимума, точка $B(1, 3)$ является точкой максимума, и точка $C(3, 1)$ является точкой минимума.

6. Начертите график непрерывной функции, у которой точка $x = 1$ является критической, но не является точкой экстремума.

Чтобы решить данную задачу, необходимо сначала определить условия, которым должен удовлетворять график.

1. Функция должна быть непрерывной. Это означает, что ее график должен быть сплошной линией, без разрывов.

2. Точка $x=1$ должна быть критической. Согласно определению, точка $x_0$ является критической для функции $f(x)$, если она принадлежит области определения функции и в этой точке производная либо равна нулю ($f'(x_0)=0$), либо не существует.

3. Точка $x=1$ не должна быть точкой экстремума. Точка является точкой экстремума (локального минимума или максимума), если при переходе через нее производная функции меняет свой знак. Следовательно, для отсутствия экстремума знак производной в окрестности точки $x=1$ должен оставаться неизменным (например, быть положительным и слева, и справа от точки).

Рассмотрим функцию, которая удовлетворяет всем этим требованиям. Классическим примером такой функции является кубическая парабола. Возьмем функцию $y = (x-1)^3$.

Проверим ее на соответствие условиям:

• Непрерывность: Функция $y = (x-1)^3$ является многочленом, а все многочлены непрерывны на всей числовой оси, включая точку $x=1$.
• Критическая точка: Найдем производную функции: $y' = ((x-1)^3)' = 3(x-1)^2$. При $x=1$ производная обращается в ноль: $y'(1) = 3(1-1)^2 = 0$. Это означает, что $x=1$ является критической точкой.
• Отсутствие экстремума: Исследуем знак производной $y' = 3(x-1)^2$ вблизи точки $x=1$. Выражение $(x-1)^2$ всегда больше или равно нулю. Таким образом, производная $y' \ge 0$ при любых $x$. Слева от точки $x=1$ (например, при $x=0$) производная положительна, и справа (например, при $x=2$) она также положительна. Так как производная не меняет знак при переходе через $x=1$, эта точка не является точкой экстремума. В этой точке функция возрастает, имеет горизонтальную касательную, и продолжает возрастать.

Ниже представлен график функции $y=(x-1)^3$.

Ответ: Примером функции, удовлетворяющей заданным условиям, является $y=(x-1)^3$. Эта функция непрерывна, имеет критическую точку $x=1$ (поскольку $y'(1)=0$), но эта точка не является точкой экстремума, так как функция возрастает на всей области определения. График этой функции представлен выше.

7. Начертите график непрерывной функции, у которой точка $x = 1$ является стационарной, но не является точкой экстремума.

Для решения задачи необходимо построить график функции, которая удовлетворяет трём условиям:
1. Функция $y=f(x)$ должна быть непрерывной. Это означает, что её график можно начертить, не отрывая карандаш от бумаги.
2. Точка $x=1$ должна быть стационарной. Стационарная точка — это точка, в которой производная функции равна нулю, то есть $f'(1) = 0$. Геометрически это означает, что касательная к графику в этой точке горизонтальна.
3. Точка $x=1$ не должна быть точкой экстремума (локального максимума или минимума). Это означает, что при переходе через точку $x=1$ производная $f'(x)$ не меняет свой знак. То есть функция продолжает возрастать (если она возрастала до этой точки) или убывать (если убывала).

Таким условиям удовлетворяют, например, функции вида $y = a(x-x_0)^n+b$, где $n$ — нечетное число больше 1, а $x_0$ — абсцисса стационарной точки.

Рассмотрим в качестве примера простейшую такую функцию, у которой стационарная точка находится в $x=1$:
$y = (x-1)^3$.

Проверим, удовлетворяет ли она заданным условиям.

1. Непрерывность.
Функция $y=(x-1)^3$ является многочленом (кубической функцией), а все многочлены непрерывны на всей числовой оси $(-\infty; +\infty)$.

2. Наличие стационарной точки в $x=1$.
Найдем производную функции:
$y' = ((x-1)^3)' = 3(x-1)^2 \cdot (x-1)' = 3(x-1)^2$.
Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:
$3(x-1)^2 = 0 \implies x-1=0 \implies x=1$.
Таким образом, точка $x=1$ является единственной стационарной точкой функции.

3. Отсутствие экстремума в точке $x=1$.
Исследуем знак производной $y' = 3(x-1)^2$ в окрестности точки $x=1$.
Выражение $(x-1)^2$ неотрицательно при любом значении $x$ (оно равно нулю только при $x=1$ и положительно во всех остальных случаях).
- Слева от точки $x=1$ (например, при $x=0$): $y'(0) = 3(0-1)^2 = 3 > 0$. Функция возрастает.
- Справа от точки $x=1$ (например, при $x=2$): $y'(2) = 3(2-1)^2 = 3 > 0$. Функция возрастает.
Поскольку производная не меняет знак при переходе через точку $x=1$, эта точка не является точкой экстремума. Такая точка называется точкой перегиба с горизонтальной касательной.

Построение графика.
Для построения графика найдем координаты нескольких точек:
- При $x=1, y = (1-1)^3 = 0$. Точка перегиба — $(1, 0)$.
- При $x=0, y = (0-1)^3 = -1$. Точка — $(0, -1)$.
- При $x=2, y = (2-1)^3 = 1$. Точка — $(2, 1)$.
- При $x=-0.5, y = (-0.5-1)^3 = -3.375$. Точка — $(-0.5, -3.375)$.
- При $x=2.5, y = (2.5-1)^3 = 3.375$. Точка — $(2.5, 3.375)$.
График функции — кубическая парабола, смещенная на 1 единицу вправо по оси $Ox$.

Ответ:
График функции $y=(x-1)^3$ является примером непрерывной функции, у которой точка $x=1$ — стационарная, но не является точкой экстремума. В точке $(1,0)$ касательная к графику горизонтальна, при этом функция возрастает на всей области определения.

8. Сформулируйте теорему о необходимых условиях экстремума.

Теорема о необходимых условиях экстремума (Теорема Ферма)

Если функция $f(x)$ определена в некоторой окрестности точки $x_0$, дифференцируема в этой точке и имеет в ней локальный экстремум (то есть локальный максимум или локальный минимум), то её производная в этой точке равна нулю: $$f'(x_0) = 0$$

Пояснения к теореме

• Локальный экстремум: Точка $x_0$ называется точкой локального максимума, если существует такая окрестность $U(x_0)$ точки $x_0$, что для всех $x \in U(x_0)$ выполняется неравенство $f(x) \le f(x_0)$. Аналогично, $x_0$ — точка локального минимума, если для всех $x \in U(x_0)$ выполняется $f(x) \ge f(x_0)$.
• Необходимое, но не достаточное условие: Теорема утверждает, что равенство производной нулю является необходимым условием для существования экстремума у дифференцируемой функции. Это означает, что если в точке дифференцируемости есть экстремум, то производная там обязательно ноль. Однако обратное неверно: если производная равна нулю, это еще не гарантирует наличие экстремума. Например, для функции $f(x) = x^3$ в точке $x_0 = 0$ производная $f'(0) = 3 \cdot 0^2 = 0$, но в этой точке нет экстремума (это точка перегиба).
• Критические точки: Точки из области определения функции, в которых её производная равна нулю или не существует, называются критическими точками. Теорема Ферма говорит о том, что экстремумы следует искать именно среди критических точек функции. Точки, где производная равна нулю, также называют стационарными.

Доказательство

Пусть для определённости точка $x_0$ является точкой локального максимума. Это значит, что существует такая $\delta$-окрестность точки $x_0$, то есть интервал $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$, что для любого $x$ из этого интервала выполняется неравенство $f(x) \le f(x_0)$, или, что то же самое, $f(x) - f(x_0) \le 0$.

По условию, функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x_0$, то есть существует её производная, которая определяется как предел: $$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$ Поскольку предел существует, он равен как правостороннему, так и левостороннему пределу.

1. Рассмотрим приращение аргумента $\Delta x > 0$ (так, чтобы $x_0 + \Delta x$ оставалось в $\delta$-окрестности). Тогда знаменатель в дроби $\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$ положителен. Числитель $f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \le 0$. Следовательно, вся дробь не положительна: $$\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \le 0$$ При переходе к пределу при $\Delta x \to 0^+$ (справа) знак нестрогого неравенства сохраняется, поэтому правосторонняя производная $f'_+(x_0) \le 0$.

2. Рассмотрим приращение аргумента $\Delta x < 0$. Тогда знаменатель в дроби отрицателен. Числитель $f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \le 0$. Следовательно, вся дробь не отрицательна (как отношение двух не положительных/отрицательных чисел): $$\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \ge 0$$ При переходе к пределу при $\Delta x \to 0^-$ (слева) знак нестрогого неравенства также сохраняется, поэтому левосторонняя производная $f'_{-}(x_0) \ge 0$.

Так как функция дифференцируема в точке $x_0$, её левосторонняя и правосторонняя производные равны производной: $f'(x_0) = f'_{-}(x_0) = f'_+(x_0)$. Из полученных неравенств $f'(x_0) \le 0$ и $f'(x_0) \ge 0$ следует, что возможно только одно: $$f'(x_0) = 0$$

Доказательство для случая локального минимума проводится аналогично, но знаки неравенств для отношения приращений будут обратными.

Геометрический смысл

Геометрический смысл производной $f'(x_0)$ — это тангенс угла наклона касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$. Условие $f'(x_0) = 0$ означает, что тангенс угла наклона равен нулю, а значит, и сам угол наклона равен нулю. Таким образом, касательная к графику функции в точке экстремума (если она существует) параллельна оси абсцисс (то есть горизонтальна).

Замечания

Важно помнить, что теорема говорит об экстремумах во внутренних точках области определения, где функция дифференцируема. Экстремум может достигаться также:

• В точках, где производная не существует. Классический пример — функция $f(x)=|x|$, которая имеет минимум в точке $x_0=0$, но производная в этой точке не определена.
• На концах отрезка, на котором рассматривается функция.

Поэтому при поиске всех точек экстремума функции на отрезке $[a,b]$ необходимо проверять стационарные точки (где $f'(x)=0$), точки, где $f'(x)$ не существует, и концы отрезка $x=a$ и $x=b$.

Ответ: Теорема о необходимых условиях экстремума (также известная как теорема Ферма) утверждает, что если функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x_0$ и имеет в этой точке локальный экстремум (максимум или минимум), то её производная в этой точке должна быть равна нулю, то есть $f'(x_0) = 0$.

9. Сформулируйте теорему о достаточных условиях экстремума.

Теорема о достаточных условиях экстремума позволяет определить характер критической точки функции (является ли она точкой минимума, максимума или ни тем, ни другим), основываясь на поведении ее производных. Существует несколько формулировок, использующих производные разных порядков.

Первое достаточное условие (по знаку первой производной)

Пусть функция $f(x)$ непрерывна в некоторой окрестности точки $x_0$ и дифференцируема в проколотой окрестности этой точки (то есть в окрестности, из которой удалена сама точка $x_0$). Пусть $x_0$ — критическая точка функции $f(x)$ (то есть $f'(x_0) = 0$ или $f'(x_0)$ не существует).

• Если при переходе через точку $x_0$ (при возрастании $x$) производная $f'(x)$ меняет свой знак с плюса на минус, то есть $f'(x) > 0$ для $x < x_0$ и $f'(x) < 0$ для $x > x_0$, то в точке $x_0$ функция $f(x)$ имеет локальный максимум.
• Если при переходе через точку $x_0$ производная $f'(x)$ меняет свой знак с минуса на плюс, то есть $f'(x) < 0$ для $x < x_0$ и $f'(x) > 0$ для $x > x_0$, то в точке $x_0$ функция $f(x)$ имеет локальный минимум.
• Если при переходе через точку $x_0$ производная $f'(x)$ не меняет знака, то в точке $x_0$ экстремума нет.

Ответ: Если в критической точке $x_0$ производная $f'(x)$ меняет знак с «+» на «−», то это точка максимума. Если с «−» на «+» — точка минимума. Если знак не меняется, экстремума нет.

Второе достаточное условие (по знаку второй производной)

Пусть функция $f(x)$ дважды дифференцируема в окрестности стационарной точки $x_0$ (то есть в точке, где первая производная равна нулю, $f'(x_0) = 0$).

• Если вторая производная в этой точке отрицательна, $f''(x_0) < 0$, то $x_0$ является точкой локального максимума.
• Если вторая производная в этой точке положительна, $f''(x_0) > 0$, то $x_0$ является точкой локального минимума.

Примечание: Если $f''(x_0) = 0$, то данное условие не позволяет сделать вывод о наличии или отсутствии экстремума. В этом случае требуется дополнительное исследование, например, с помощью первого достаточного условия или производных более высоких порядков.

Ответ: Если в стационарной точке $x_0$ выполнено условие $f''(x_0) < 0$, то это точка максимума. Если $f''(x_0) > 0$ — точка минимума. Если $f''(x_0) = 0$, признак не работает.

Общее достаточное условие (с использованием производных высших порядков)

Пусть функция $f(x)$ имеет в точке $x_0$ и ее окрестности непрерывные производные до $n$-го порядка включительно ($n \ge 2$), и пусть выполняются следующие условия:

$f'(x_0) = f''(x_0) = \dots = f^{(n-1)}(x_0) = 0$, но $f^{(n)}(x_0) \neq 0$.

Тогда:

• Если $n$ — четное число, то в точке $x_0$ функция имеет локальный экстремум. Это будет локальный минимум, если $f^{(n)}(x_0) > 0$, и локальный максимум, если $f^{(n)}(x_0) < 0$.
• Если $n$ — нечетное число, то в точке $x_0$ экстремума нет (в этой точке находится перегиб графика функции).

Ответ: Если первая отличная от нуля производная в точке $x_0$ имеет четный порядок $n$, то в этой точке есть экстремум (минимум при $f^{(n)}(x_0) > 0$ и максимум при $f^{(n)}(x_0) < 0$). Если порядок $n$ нечетный, экстремума нет.

10. Опишите последовательность своих действий, если вам нужно исследовать функцию на монотонность и экстремумы.

Исследование функции на монотонность и экстремумы — это стандартная задача математического анализа, которая выполняется по следующему алгоритму:

1. Нахождение области определения функции.

Первым шагом необходимо определить множество всех значений аргумента $x$, для которых функция $f(x)$ существует (определена). Это важно, так как все дальнейшие исследования проводятся исключительно в пределах области определения $D(f)$. Следует обратить внимание на такие ограничения, как знаменатель дроби (не должен быть равен нулю), подкоренное выражение для корня четной степени (должно быть неотрицательным), аргумент логарифма (должен быть строго положительным) и другие.

Ответ: Определена область $D(f)$, на которой существует функция.

2. Нахождение производной функции.

Для исследования монотонности и поиска экстремумов используется первая производная функции $f'(x)$. Необходимо вычислить эту производную, используя правила и формулы дифференцирования. Также нужно найти область определения производной $D(f')$.

Ответ: Вычислена первая производная функции $f'(x)$ и найдена ее область определения.

3. Нахождение критических точек функции.

Критические точки — это внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует. Эти точки являются "подозрительными" на экстремум. Для их нахождения нужно:

а) Решить уравнение $f'(x) = 0$. Найденные корни являются стационарными точками.

б) Найти точки, в которых производная $f'(x)$ не существует (например, точки, где знаменатель производной обращается в ноль), но сама функция $f(x)$ определена.

Все найденные точки из пунктов а) и б), принадлежащие области определения $D(f)$, являются критическими.

Ответ: Найдены все критические точки функции, то есть точки из области определения, где производная равна нулю или не существует.

4. Определение промежутков монотонности.

Найденные критические точки и точки разрыва функции (если они есть) разбивают область определения $D(f)$ на интервалы. На каждом из этих интервалов производная $f'(x)$ сохраняет свой знак. Для определения знака нужно выбрать любую пробную точку из каждого интервала и вычислить значение производной в этой точке. Далее используется достаточное условие монотонности:

- Если $f'(x) > 0$ на интервале, то функция $f(x)$ на этом интервале строго возрастает (монотонно возрастает).

- Если $f'(x) < 0$ на интервале, то функция $f(x)$ на этом интервале строго убывает (монотонно убывает).

Результаты удобно заносить в таблицу или отмечать на числовой оси.

Ответ: Определены промежутки, на которых функция возрастает ($f'(x) > 0$), и промежутки, на которых она убывает ($f'(x) < 0$).

5. Определение точек экстремума.

Точки экстремума (локального максимума или минимума) находятся среди критических точек. Для их определения нужно проанализировать, как меняется знак производной $f'(x)$ при переходе через критическую точку $x_0$:

- Если при переходе через точку $x_0$ производная меняет знак с плюса (+) на минус (–), то $x_0$ является точкой локального максимума.

- Если при переходе через точку $x_0$ производная меняет знак с минуса (–) на плюс (+), то $x_0$ является точкой локального минимума.

- Если при переходе через точку $x_0$ знак производной не меняется, то в этой точке экстремума нет.

Ответ: Выявлены точки локального максимума и минимума функции на основе анализа смены знака производной в критических точках.

6. Вычисление значений функции в точках экстремума.

Для нахождения самих экстремумов (значений функции в точках экстремума) необходимо подставить найденные абсциссы точек максимума ($x_{max}$) и минимума ($x_{min}$) в исходную функцию $f(x)$. То есть, вычисляются значения $y_{max} = f(x_{max})$ и $y_{min} = f(x_{min})$.

Ответ: Вычислены значения функции в точках экстремума: локальные максимумы и минимумы.

7. Формулировка итогового ответа.

На последнем этапе все полученные результаты систематизируются и записываются в виде окончательного ответа, который обычно включает:

- Промежутки возрастания функции.

- Промежутки убывания функции.

- Точки локального максимума и значения функции в них (максимумы).

- Точки локального минимума и значения функции в них (минимумы).

Ответ: Сформулирован и записан итоговый результат исследования функции: указаны промежутки монотонности, точки экстремумов и экстремумы функции.

11. Исследуйте на монотонность и экстремумы функцию

$y = \begin{cases} x^2, & x \le 1, \\ 2-x, & x > 1. \end{cases}$

Нужно ли в данном случае прибегать к помощи производной?

Исследуйте на монотонность и экстремумы функцию

Данная функция является кусочно-заданной. Исследуем ее поведение на каждом из двух промежутков, а также в точке их стыка.

1. На промежутке $(-\infty, 1]$ функция задана формулой $y = x^2$. Это стандартная парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх.
По свойствам параболы $y=x^2$:

• на промежутке $(-\infty, 0]$ функция убывает;
• на промежутке $[0, 1]$ функция возрастает.

Поскольку в точке $x=0$ убывание сменяется возрастанием, эта точка является точкой локального минимума.

2. На промежутке $(1, \infty)$ функция задана формулой $y = 2-x$. Это линейная функция, её график — прямая с угловым коэффициентом $k=-1$. Так как $k < 0$, функция является убывающей на всей своей области определения, в том числе и на промежутке $(1, \infty)$.

3. Проверим поведение функции в точке "стыка" $x=1$. Для этого найдем значение функции в этой точке и ее предел справа:
Значение функции в точке $x=1$ (согласно первой части определения): $y(1) = 1^2 = 1$.
Предел функции при $x \to 1$ справа (согласно второй части определения): $\lim_{x \to 1^+} (2-x) = 2-1 = 1$.
Так как значение функции в точке $x=1$ совпадает с ее пределом справа, функция непрерывна.
Мы установили, что на промежутке $[0, 1]$ функция возрастает, а на промежутке $(1, \infty)$ — убывает. Следовательно, в точке $x=1$ возрастание сменяется убыванием, и эта точка является точкой локального максимума.

Соберем все результаты вместе:

Промежутки монотонности:

• Функция возрастает на промежутке $[0, 1]$.
• Функция убывает на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[1, \infty)$.

Точки экстремума:

• $x=0$ — точка локального минимума. Значение в точке минимума: $y_{min} = y(0) = 0$.
• $x=1$ — точка локального максимума. Значение в точке максимума: $y_{max} = y(1) = 1$.

Ответ: функция возрастает на $[0, 1]$, убывает на $(-\infty, 0] \cup [1, \infty)$; $x_{min}=0, y_{min}=0$; $x_{max}=1, y_{max}=1$.

Нужно ли в данном случае прибегать к помощи производной?

Нет, в данном случае использовать аппарат производных не обязательно. Функция состоит из частей хорошо известных элементарных функций: параболы $y=x^2$ и прямой $y=2-x$. Их свойства монотонности и положения экстремумов (для параболы) известны из школьного курса математики. Анализ поведения функции можно полностью провести, основываясь на этих базовых знаниях и исследовании поведения функции в точке "склейки" $x=1$.

Хотя исследование с помощью производной также приведет к правильному результату, оно не является необходимым для этой конкретной задачи. Нахождение производной: $y' = \begin{cases} 2x, & x < 1 \\ -1, & x > 1 \end{cases}$ показало бы, что критические точки — это $x=0$ (где $y'=0$) и $x=1$ (где производная не существует), что подтверждает полученные ранее выводы.

Ответ: Нет, не нужно, так как исследование можно провести на основе свойств графиков элементарных функций.