Номер 54.15, страница 215, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§54. Случайные события и их вероятности. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. ч. 2 - номер 54.15, страница 215.

54.15 Внутри окружности, описанной около прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8, взята точка. Найдите вероятность того, что она:

а) лежит внутри треугольника;

б) лежит внутри окружности, вписанной в треугольник;

в) лежит вне треугольника;

г) лежит внутри треугольника, но не внутри вписанной в него окружности.

Данная задача относится к геометрической вероятности. Вероятность события определяется как отношение площади благоприятствующей этому событию области к площади всей области, в которой может находиться точка. В нашем случае, общая область — это круг, ограниченный описанной окружностью.

Сначала найдем все необходимые параметры треугольника и окружностей.

Дан прямоугольный треугольник с катетами $a = 6$ и $b = 8$.

1. Найдем гипотенузу $c$ по теореме Пифагора:

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

2. Найдем площадь описанной окружности ($S_{опис}$). Это общая область для вычисления вероятности.

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится на середине гипотенузы, а ее радиус $R$ равен половине гипотенузы:

$R = \frac{c}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

Площадь описанной окружности: $S_{опис} = \pi R^2 = \pi \cdot 5^2 = 25\pi$.

3. Найдем площадь треугольника ($S_{\triangle}$).

$S_{\triangle} = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$.

4. Найдем площадь вписанной окружности ($S_{впис}$).

Радиус $r$ окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, вычисляется по формуле $r = \frac{a+b-c}{2}$:

$r = \frac{6+8-10}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Площадь вписанной окружности: $S_{впис} = \pi r^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$.

Теперь можем найти вероятности для каждого случая.

а) лежит внутри треугольника

Вероятность того, что точка лежит внутри треугольника, равна отношению площади треугольника к площади описанной окружности.

$P_a = \frac{S_{\triangle}}{S_{опис}} = \frac{24}{25\pi}$.

Ответ: $\frac{24}{25\pi}$.

б) лежит внутри окружности, вписанной в треугольник

Вероятность того, что точка лежит внутри вписанной окружности, равна отношению площади вписанной окружности к площади описанной окружности.

$P_б = \frac{S_{впис}}{S_{опис}} = \frac{4\pi}{25\pi} = \frac{4}{25}$.

Ответ: $\frac{4}{25}$.

в) лежит вне треугольника

Событие "точка лежит вне треугольника" является противоположным событию "точка лежит внутри треугольника". Площадь этой области равна разности площадей описанной окружности и треугольника.

$P_в = \frac{S_{опис} - S_{\triangle}}{S_{опис}} = \frac{25\pi - 24}{25\pi} = 1 - \frac{24}{25\pi}$.

Ответ: $\frac{25\pi - 24}{25\pi}$.

г) лежит внутри треугольника, но не внутри вписанной в него окружности

Площадь искомой области равна разности площадей треугольника и вписанной в него окружности.

$S_{иск} = S_{\triangle} - S_{впис} = 24 - 4\pi$.

Вероятность этого события равна отношению этой площади к площади описанной окружности.

$P_г = \frac{S_{\triangle} - S_{впис}}{S_{опис}} = \frac{24 - 4\pi}{25\pi}$.

Ответ: $\frac{24 - 4\pi}{25\pi}$.