Номер 54.20, страница 216, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§54. Случайные события и их вероятности. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. ч. 2 - номер 54.20, страница 216.

54.20 Вероятность $P(A + B)$ суммы двух независимых событий $A$ и $B$ равна 0,9. Найдите, чему равна вероятность $P(B)$ события $B$, если известно, что вероятность $P(A)$ события $A$ равна:

a) 0,1;

б) 0,5;

в) 0,8;

г) 0,89.

Для решения задачи воспользуемся формулой вероятности суммы двух независимых событий A и B:

$P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A \cdot B)$

Так как события A и B независимы, то вероятность их совместного наступления равна произведению их вероятностей:

$P(A \cdot B) = P(A) \cdot P(B)$

Подставив это в первую формулу, получим:

$P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A) \cdot P(B)$

Из этой формулы нам нужно выразить $P(B)$.

$P(A + B) - P(A) = P(B) - P(A) \cdot P(B)$

$P(A + B) - P(A) = P(B) \cdot (1 - P(A))$

$P(B) = \frac{P(A + B) - P(A)}{1 - P(A)}$

По условию задачи $P(A + B) = 0,9$. Теперь найдем $P(B)$ для каждого случая.

а) если $P(A) = 0,1$:
Подставляем известные значения в выведенную формулу:
$P(B) = \frac{0,9 - 0,1}{1 - 0,1} = \frac{0,8}{0,9} = \frac{8}{9}$
Ответ: $\frac{8}{9}$

б) если $P(A) = 0,5$:
Подставляем известные значения в формулу:
$P(B) = \frac{0,9 - 0,5}{1 - 0,5} = \frac{0,4}{0,5} = 0,8$
Ответ: 0,8

в) если $P(A) = 0,8$:
Подставляем известные значения в формулу:
$P(B) = \frac{0,9 - 0,8}{1 - 0,8} = \frac{0,1}{0,2} = 0,5$
Ответ: 0,5

г) если $P(A) = 0,89$:
Подставляем известные значения в формулу:
$P(B) = \frac{0,9 - 0,89}{1 - 0,89} = \frac{0,01}{0,11} = \frac{1}{11}$
Ответ: $\frac{1}{11}$