Страница 216, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

54.20 Вероятность $P(A + B)$ суммы двух независимых событий $A$ и $B$ равна 0,9. Найдите, чему равна вероятность $P(B)$ события $B$, если известно, что вероятность $P(A)$ события $A$ равна:

a) 0,1;

б) 0,5;

в) 0,8;

г) 0,89.

Для решения задачи воспользуемся формулой вероятности суммы двух независимых событий A и B:

$P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A \cdot B)$

Так как события A и B независимы, то вероятность их совместного наступления равна произведению их вероятностей:

$P(A \cdot B) = P(A) \cdot P(B)$

Подставив это в первую формулу, получим:

$P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A) \cdot P(B)$

Из этой формулы нам нужно выразить $P(B)$.

$P(A + B) - P(A) = P(B) - P(A) \cdot P(B)$

$P(A + B) - P(A) = P(B) \cdot (1 - P(A))$

$P(B) = \frac{P(A + B) - P(A)}{1 - P(A)}$

По условию задачи $P(A + B) = 0,9$. Теперь найдем $P(B)$ для каждого случая.

а) если $P(A) = 0,1$:
Подставляем известные значения в выведенную формулу:
$P(B) = \frac{0,9 - 0,1}{1 - 0,1} = \frac{0,8}{0,9} = \frac{8}{9}$
Ответ: $\frac{8}{9}$

б) если $P(A) = 0,5$:
Подставляем известные значения в формулу:
$P(B) = \frac{0,9 - 0,5}{1 - 0,5} = \frac{0,4}{0,5} = 0,8$
Ответ: 0,8

в) если $P(A) = 0,8$:
Подставляем известные значения в формулу:
$P(B) = \frac{0,9 - 0,8}{1 - 0,8} = \frac{0,1}{0,2} = 0,5$
Ответ: 0,5

г) если $P(A) = 0,89$:
Подставляем известные значения в формулу:
$P(B) = \frac{0,9 - 0,89}{1 - 0,89} = \frac{0,01}{0,11} = \frac{1}{11}$
Ответ: $\frac{1}{11}$

54.22 Вероятность того, что стрелок поразит мишень при одном выстреле, равна 0,4. Стрелок независимо производит 5 выстрелов.

а) Заполните таблицу распределения вероятностей $P_5(k)$ того, что из 5 выстрелов будет ровно $k$ попаданий:

Число попаданий, $k$

$P_5(k) = C_5^k \cdot 0,4^k \cdot 0,6^{5-k}$

б) Найдите вероятность того, что стрелок ни разу не промажет.

в) Найдите вероятность того, что стрелок поразит мишень не менее двух раз.

г) Каково наиболее вероятное число попаданий в мишень?

Данная задача описывается схемой Бернулли, где проводится серия из $n=5$ независимых испытаний (выстрелов). Вероятность «успеха» (попадания) в каждом испытании постоянна и равна $p=0,4$. Вероятность «неудачи» (промаха) равна $q = 1 - p = 1 - 0,4 = 0,6$. Вероятность того, что в $n$ испытаниях произойдет ровно $k$ успехов, вычисляется по формуле Бернулли: $P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$. В нашем случае формула имеет вид: $P_5(k) = C_5^k \cdot (0,4)^k \cdot (0,6)^{5-k}$.

а) Заполните таблицу распределения вероятностей $P_5(k)$ того, что из 5 выстрелов будет ровно k попаданий:

Рассчитаем вероятности для каждого возможного значения $k$ от 0 до 5. Для этого нам понадобятся биномиальные коэффициенты $C_5^k$: $C_5^0 = 1$; $C_5^1 = 5$; $C_5^2 = 10$; $C_5^3 = 10$; $C_5^4 = 5$; $C_5^5 = 1$.

• При $k=0$: $P_5(0) = C_5^0 \cdot (0,4)^0 \cdot (0,6)^5 = 1 \cdot 1 \cdot 0,07776 = 0,07776$
• При $k=1$: $P_5(1) = C_5^1 \cdot (0,4)^1 \cdot (0,6)^4 = 5 \cdot 0,4 \cdot 0,1296 = 0,2592$
• При $k=2$: $P_5(2) = C_5^2 \cdot (0,4)^2 \cdot (0,6)^3 = 10 \cdot 0,16 \cdot 0,216 = 0,3456$
• При $k=3$: $P_5(3) = C_5^3 \cdot (0,4)^3 \cdot (0,6)^2 = 10 \cdot 0,064 \cdot 0,36 = 0,2304$
• При $k=4$: $P_5(4) = C_5^4 \cdot (0,4)^4 \cdot (0,6)^1 = 5 \cdot 0,0256 \cdot 0,6 = 0,0768$
• При $k=5$: $P_5(5) = C_5^5 \cdot (0,4)^5 \cdot (0,6)^0 = 1 \cdot 0,01024 \cdot 1 = 0,01024$

Заполненная таблица распределения вероятностей:

Ответ: Таблица заполнена выше.

б) Найдите вероятность того, что стрелок ни разу не промажет.

Событие «стрелок ни разу не промажет» означает, что все 5 выстрелов были успешными, то есть число попаданий $k=5$. Вероятность этого события была рассчитана в пункте а). $P_5(5) = 0,01024$.

Ответ: 0,01024.

в) Найдите вероятность того, что стрелок поразит мишень не менее двух раз.

Событие «стрелок поразит мишень не менее двух раз» означает, что число попаданий $k$ будет 2, 3, 4 или 5. Вероятность этого события равна сумме вероятностей $P_5(2)$, $P_5(3)$, $P_5(4)$ и $P_5(5)$. $P(k \ge 2) = P_5(2) + P_5(3) + P_5(4) + P_5(5)$. Используя значения из таблицы: $P(k \ge 2) = 0,3456 + 0,2304 + 0,0768 + 0,01024 = 0,66304$. Эту же вероятность можно найти через противоположное событие (число попаданий меньше 2, то есть 0 или 1): $P(k \ge 2) = 1 - P(k < 2) = 1 - (P_5(0) + P_5(1)) = 1 - (0,07776 + 0,2592) = 1 - 0,33696 = 0,66304$.

Ответ: 0,66304.

г) Каково наиболее вероятное число попаданий в мишень?

Наиболее вероятное число попаданий — это значение $k$, для которого вероятность $P_5(k)$ максимальна. Сравнивая вероятности, вычисленные в пункте а), находим максимальное значение: $P_5(0)=0,07776$; $P_5(1)=0,2592$; $P_5(2)=0,3456$; $P_5(3)=0,2304$; $P_5(4)=0,0768$; $P_5(5)=0,01024$. Максимальная вероятность — $P_5(2) = 0,3456$. Следовательно, наиболее вероятное число попаданий равно 2.

Ответ: 2.

54.19 У каждого из туристов есть или тугрики, или евро. У 100 туристов есть только тугрики, у 38 туристов есть только евро, а у 31 % туристов есть обе валюты.

а) Сколько туристов имеют только одну валюту?

б) Сколько всего туристов?

в) Сколько туристов имеют тугрики?

г) Сколько туристов имеют евро?

а) Сколько туристов имеют только одну валюту?
Чтобы найти количество туристов, имеющих только одну валюту, нужно сложить число туристов, у которых есть только тугрики, с числом туристов, у которых есть только евро.
Согласно условию, у 100 туристов есть только тугрики, а у 38 туристов — только евро.
Следовательно, количество туристов с одной валютой равно: $100 + 38 = 138$.
Ответ: 138

б) Сколько всего туристов?
Пусть $N$ — общее количество туристов. Все туристы делятся на три группы: те, у кого только тугрики; те, у кого только евро; и те, у кого обе валюты.
Из пункта (а) мы знаем, что туристов, имеющих только одну валюту, 138.
По условию, 31% туристов имеют обе валюты. Значит, туристы, имеющие только одну валюту, составляют оставшуюся часть: $100\% - 31\% = 69\%$.
Таким образом, 138 туристов составляют 69% от общего числа туристов. Чтобы найти общее число туристов $N$, составим пропорцию:
$0.69 \cdot N = 138$
$N = \frac{138}{0.69} = \frac{13800}{69} = 200$
Всего 200 туристов.
Ответ: 200

в) Сколько туристов имеют тугрики?
Тугрики имеют те туристы, у которых есть только тугрики, и те, у которых есть обе валюты.
Количество туристов, у которых есть только тугрики, равно 100.
Количество туристов, у которых есть обе валюты, составляет 31% от общего числа туристов. Ранее мы выяснили, что всего туристов 200.
Найдем это количество: $200 \cdot 0.31 = 62$ туриста.
Теперь сложим эти два значения, чтобы найти общее число туристов с тугриками: $100 + 62 = 162$.
Ответ: 162

г) Сколько туристов имеют евро?
Евро имеют те туристы, у которых есть только евро, и те, у которых есть обе валюты.
Количество туристов, у которых есть только евро, равно 38.
Количество туристов, у которых есть обе валюты, мы уже рассчитали в предыдущем пункте — их 62.
Сложим эти два значения, чтобы найти общее число туристов с евро: $38 + 62 = 100$.
Ответ: 100

54.21 Два стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в мишень. Вероятность попадания в мишень одного из них равна 0,5. Найти вероятность попадания в мишень другого стрелка, если известно, что:

а) вероятность того, что мишень будет поражена дважды, равна 0,4;

б) вероятность того, что мишень не будет поражена ни разу, равна 0,45;

в) вероятность того, что мишень будет поражена хотя бы один раз, равна 0,8;

г) вероятность того, что мишень будет поражена хотя бы один раз, равна 0,999.

Пусть $p_1$ — вероятность попадания в мишень первого стрелка, а $p_2$ — вероятность попадания второго стрелка. По условию, вероятность попадания одного из них равна 0,5. Пусть это будет первый стрелок, тогда $p_1 = 0,5$. Нам нужно найти $p_2$.

События, заключающиеся в попадании каждого из стрелков, являются независимыми.

а) вероятность того, что мишень будет поражена дважды, равна 0,4;
Событие "мишень поражена дважды" означает, что оба стрелка попали в цель. Вероятность этого события для независимых выстрелов равна произведению вероятностей попадания каждого стрелка.
$P(\text{оба попали}) = p_1 \cdot p_2$
Согласно условию, эта вероятность равна 0,4:
$p_1 \cdot p_2 = 0,4$
Подставляем известное значение $p_1 = 0,5$:
$0,5 \cdot p_2 = 0,4$
Отсюда находим $p_2$:
$p_2 = \frac{0,4}{0,5} = 0,8$
Ответ: 0,8.

б) вероятность того, что мишень не будет поражена ни разу, равна 0,45;
Событие "мишень не поражена ни разу" означает, что оба стрелка промахнулись. Вероятность промаха для первого стрелка равна $q_1 = 1 - p_1 = 1 - 0,5 = 0,5$. Вероятность промаха для второго стрелка равна $q_2 = 1 - p_2$.
Вероятность того, что оба промахнутся, равна произведению вероятностей их промахов, так как выстрелы независимы:
$P(\text{оба промахнулись}) = q_1 \cdot q_2 = (1 - p_1) \cdot (1 - p_2)$
По условию, эта вероятность равна 0,45:
$(1 - p_1) \cdot (1 - p_2) = 0,45$
Подставляем $1 - p_1 = 0,5$:
$0,5 \cdot (1 - p_2) = 0,45$
$1 - p_2 = \frac{0,45}{0,5} = 0,9$
$p_2 = 1 - 0,9 = 0,1$
Ответ: 0,1.

в) вероятность того, что мишень будет поражена хотя бы один раз, равна 0,8;
Событие "мишень поражена хотя бы один раз" является противоположным (дополнительным) событию "мишень не поражена ни разу". Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.
$P(\text{хотя бы одно попадание}) = 1 - P(\text{оба промахнулись})$
$P(\text{оба промахнулись}) = (1 - p_1) \cdot (1 - p_2)$
По условию, $P(\text{хотя бы одно попадание}) = 0,8$.
Следовательно, $P(\text{оба промахнулись}) = 1 - 0,8 = 0,2$.
$(1 - p_1) \cdot (1 - p_2) = 0,2$
Подставляем $1 - p_1 = 0,5$:
$0,5 \cdot (1 - p_2) = 0,2$
$1 - p_2 = \frac{0,2}{0,5} = 0,4$
$p_2 = 1 - 0,4 = 0,6$
Ответ: 0,6.

г) вероятность того, что мишень будет поражена хотя бы один раз, равна 0,999.
Решение аналогично пункту в). Событие "мишень поражена хотя бы один раз" противоположно событию "оба промахнулись".
$P(\text{хотя бы одно попадание}) = 1 - P(\text{оба промахнулись})$
По условию, $P(\text{хотя бы одно попадание}) = 0,999$.
Значит, вероятность того, что оба промахнутся, равна:
$P(\text{оба промахнулись}) = 1 - 0,999 = 0,001$
$P(\text{оба промахнулись}) = (1 - p_1) \cdot (1 - p_2)$
$(1 - p_1) \cdot (1 - p_2) = 0,001$
Подставляем $1 - p_1 = 0,5$:
$0,5 \cdot (1 - p_2) = 0,001$
$1 - p_2 = \frac{0,001}{0,5} = 0,002$
$p_2 = 1 - 0,002 = 0,998$
Ответ: 0,998.