Страница 213, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

54.4 Карточка лотереи «Спортлото» содержит 49 чисел. В итоге тиража выигрывают какие-то 6 чисел. Какова (в процентах) вероятность того, что на вашей карточке, где отмечены 6 чисел, верно угадано ровно:

а) 0 чисел;

б) 1 число;

в) 2 числа;

г) 3 числа?

Для решения данной задачи используется классическое определение вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных исходов. Формула: $P = \frac{m}{N}$.

Поскольку порядок выпадения чисел не важен, для подсчета исходов мы будем использовать формулу сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Шаг 1: Определение общего числа исходов.

Общее число исходов ($N$) — это количество всех возможных комбинаций по 6 чисел из 49. Это число сочетаний из 49 по 6.

$N = C_{49}^6 = \frac{49!}{6!(49-6)!} = \frac{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 13,983,816$.

Таким образом, существует 13,983,816 возможных комбинаций выигрышных номеров.

Шаг 2: Определение числа благоприятных исходов.

На вашей карточке отмечено 6 чисел. Все 49 чисел можно разделить на две группы: 6 "ваших" чисел и $49 - 6 = 43$ "не ваших" числа. Чтобы угадать ровно $k$ чисел, нужно, чтобы из 6 выпавших выигрышных номеров ровно $k$ были из "ваших" и $6-k$ — из "не ваших".

Число благоприятных исходов ($m_k$) для угадывания $k$ чисел вычисляется по формуле:

$m_k = C_6^k \cdot C_{43}^{6-k}$,

где $C_6^k$ — число способов выбрать $k$ угаданных чисел из 6 отмеченных вами, а $C_{43}^{6-k}$ — число способов выбрать $6-k$ неугаданных чисел из 43 неотмеченных.

Вероятность угадать ровно $k$ чисел: $P(k) = \frac{C_6^k \cdot C_{43}^{6-k}}{C_{49}^6}$.

Теперь рассчитаем вероятности для каждого конкретного случая.

а) 0 чисел;

В этом случае $k=0$. Нам нужно, чтобы все 6 выигрышных чисел были выбраны из 43 "не ваших" чисел, и 0 чисел — из 6 "ваших".

Число благоприятных исходов: $m_0 = C_6^0 \cdot C_{43}^6$.

$C_6^0 = 1$

$C_{43}^6 = \frac{43 \cdot 42 \cdot 41 \cdot 40 \cdot 39 \cdot 38}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 6,096,454$

$m_0 = 1 \cdot 6,096,454 = 6,096,454$.

Вероятность: $P(0) = \frac{6,096,454}{13,983,816} \approx 0.435965$.

В процентах: $0.435965 \cdot 100\% \approx 43.60\%$.

Ответ: $\approx 43.60\%$

б) 1 число;

Здесь $k=1$. Нам нужно, чтобы 1 выигрышное число было из 6 "ваших" и 5 — из 43 "не ваших".

Число благоприятных исходов: $m_1 = C_6^1 \cdot C_{43}^5$.

$C_6^1 = 6$

$C_{43}^5 = \frac{43 \cdot 42 \cdot 41 \cdot 40 \cdot 39}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 962,598$

$m_1 = 6 \cdot 962,598 = 5,775,588$.

Вероятность: $P(1) = \frac{5,775,588}{13,983,816} \approx 0.413019$.

В процентах: $0.413019 \cdot 100\% \approx 41.30\%$.

Ответ: $\approx 41.30\%$

в) 2 числа;

Здесь $k=2$. Нам нужно, чтобы 2 выигрышных числа были из 6 "ваших" и 4 — из 43 "не ваших".

Число благоприятных исходов: $m_2 = C_6^2 \cdot C_{43}^4$.

$C_6^2 = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$

$C_{43}^4 = \frac{43 \cdot 42 \cdot 41 \cdot 40}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 123,410$

$m_2 = 15 \cdot 123,410 = 1,851,150$.

Вероятность: $P(2) = \frac{1,851,150}{13,983,816} \approx 0.132378$.

В процентах: $0.132378 \cdot 100\% \approx 13.24\%$.

Ответ: $\approx 13.24\%$

г) 3 числа?

Здесь $k=3$. Нам нужно, чтобы 3 выигрышных числа были из 6 "ваших" и 3 — из 43 "не ваших".

Число благоприятных исходов: $m_3 = C_6^3 \cdot C_{43}^3$.

$C_6^3 = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$

$C_{43}^3 = \frac{43 \cdot 42 \cdot 41}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 12,341$

$m_3 = 20 \cdot 12,341 = 246,820$.

Вероятность: $P(3) = \frac{246,820}{13,983,816} \approx 0.017650$.

В процентах: $0.017650 \cdot 100\% \approx 1.77\%$.

Ответ: $\approx 1.77\%$

54.6 При подготовке к экзамену один ученик решил 44 задачи из общего списка в 50 задач, а второй ученик решил 26 задач из этого же списка. Известно, что каждую задачу из общего списка задач кто-то из учеников решил. Какова вероятность того, что случайным образом выбранную из списка задачу:

а) решили оба ученика;

б) решил первый, но не решил второй ученик;

в) решил второй, но не решил первый ученик?

Измените в условии общее количество учеников так, чтобы ответы в пунктах а) и б) были одинаковыми.

Пусть $N$ - общее количество задач в списке, $N=50$.
Пусть $A$ - множество задач, решенных первым учеником. По условию, мощность этого множества $|A| = 44$.
Пусть $B$ - множество задач, решенных вторым учеником. Мощность этого множества $|B| = 26$.
Условие "каждую задачу из общего списка задач кто-то из учеников решил" означает, что объединение множеств $A$ и $B$ покрывает все задачи из списка. Следовательно, мощность объединения этих множеств равна общему числу задач: $|A \cup B| = 50$.

Для нахождения количества задач, которые решили оба ученика (мощность пересечения множеств $|A \cap B|$), воспользуемся формулой включений-исключений:
$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$
Подставим известные значения:
$50 = 44 + 26 - |A \cap B|$
$50 = 70 - |A \cap B|$
$|A \cap B| = 70 - 50 = 20$
Таким образом, 20 задач были решены обоими учениками.

а) решили оба ученика;

Вероятность того, что случайно выбранная задача решена обоими учениками, равна отношению числа задач, решенных обоими, к общему числу задач.
$P(A \cap B) = \frac{|A \cap B|}{N} = \frac{20}{50} = \frac{2}{5} = 0.4$
Ответ: $0.4$

б) решил первый, но не решил второй ученик;

Количество задач, которые решил только первый ученик (мощность разности множеств $|A \setminus B|$), можно найти, вычтя из общего числа решенных им задач те, что были решены совместно со вторым.
$|A \setminus B| = |A| - |A \cap B| = 44 - 20 = 24$
Вероятность этого события:
$P(A \setminus B) = \frac{|A \setminus B|}{N} = \frac{24}{50} = \frac{12}{25} = 0.48$
Ответ: $0.48$

в) решил второй, но не решил первый ученик?

Количество задач, которые решил только второй ученик (мощность разности множеств $|B \setminus A|$), вычисляется аналогично.
$|B \setminus A| = |B| - |A \cap B| = 26 - 20 = 6$
Вероятность этого события:
$P(B \setminus A) = \frac{|B \setminus A|}{N} = \frac{6}{50} = \frac{3}{25} = 0.12$
Ответ: $0.12$

Измените в условии общее количество учеников так, чтобы ответы в пунктах а) и б) были одинаковыми.

(Предполагается, что в условии допущена опечатка и имелось в виду "общее количество задач", так как изменение количества учеников при заданных условиях не имеет смысла).
Чтобы ответы в пунктах а) и б) были одинаковыми, вероятности этих событий должны быть равны. Это означает, что и количества благоприятствующих исходов для этих событий должны быть равны:
$|A \cap B| = |A \setminus B|$
Мы знаем, что $|A| = |A \setminus B| + |A \cap B|$. Подставив в это равенство наше новое условие $|A \setminus B| = |A \cap B|$, получим:
$|A| = |A \cap B| + |A \cap B| = 2 \cdot |A \cap B|$
Так как по условию $|A| = 44$, то:
$44 = 2 \cdot |A \cap B|$, откуда следует, что $|A \cap B| = 22$.
Теперь найдем новое общее количество задач $N'$, при котором это условие выполняется. Используем ту же формулу включений-исключений, где $N'$ - это новое значение $|A \cup B|$:
$N' = |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$
Подставим известные и найденные значения:
$N' = 44 + 26 - 22 = 48$
Таким образом, если бы в списке было 48 задач, то количество задач, решенных обоими учениками (22), было бы равно количеству задач, решенных только первым учеником (44 - 22 = 22), и вероятности в пунктах а) и б) были бы одинаковы.
Ответ: Общее количество задач должно быть 48.

54.5 В классе 22 красивых ученика, а умных — 18. Всего в классе 30 учеников, и каждый из них умный или красивый. Какова вероятность того, что случайно вызванный по списку класса ученик:

а) и умный, и красивый;

б) умный, но не красивый;

в) красивый, но не умный?

Измените в условии общее количество учеников так, чтобы ответы в пунктах а) и в) были одинаковыми.

Для решения задачи введем обозначения: $К$ — множество красивых учеников, $У$ — множество умных учеников. По условию, в классе 22 красивых ученика, то есть $N(К) = 22$, и 18 умных, то есть $N(У) = 18$. Всего в классе 30 учеников, и каждый из них либо умный, либо красивый. Это означает, что объединение этих множеств равно всему классу: $N(К \cup У) = 30$.

Для нахождения количества учеников, которые являются и умными, и красивыми ($N(К \cap У)$), воспользуемся формулой включений-исключений:

$N(К \cup У) = N(К) + N(У) - N(К \cap У)$

Подставим известные значения:

$30 = 22 + 18 - N(К \cap У)$

$30 = 40 - N(К \cap У)$

$N(К \cap У) = 40 - 30 = 10$

Итак, в классе 10 учеников, которые и умные, и красивые.

Теперь найдем количество учеников, которые умные, но не красивые ($N(У \setminus К)$) и которые красивые, но не умные ($N(К \setminus У)$):

Количество умных, но не красивых: $N(У \setminus К) = N(У) - N(К \cap У) = 18 - 10 = 8$.

Количество красивых, но не умных: $N(К \setminus У) = N(К) - N(К \cap У) = 22 - 10 = 12$.

Вероятность события вычисляется по классической формуле $P = \frac{m}{n}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $n$ — общее число возможных исходов. В нашей задаче $n = 30$.

а) и умный, и красивый;

Число благоприятных исходов (ученик и умный, и красивый) $m = 10$.

Вероятность: $P = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$

б) умный, но не красивый;

Число благоприятных исходов (ученик умный, но не красивый) $m = 8$.

Вероятность: $P = \frac{8}{30} = \frac{4}{15}$.

Ответ: $\frac{4}{15}$

в) красивый, но не умный?

Число благоприятных исходов (ученик красивый, но не умный) $m = 12$.

Вероятность: $P = \frac{12}{30} = \frac{2}{5}$.

Ответ: $\frac{2}{5}$

Измените в условии общее количество учеников так, чтобы ответы в пунктах а) и в) были одинаковыми.

Чтобы ответы в пунктах а) и в) были одинаковыми, вероятности этих событий должны быть равны. Пусть $N'$ — новое общее количество учеников. Тогда $\frac{N(К \cap У)}{N'} = \frac{N(К \setminus У)}{N'}$. Это равенство выполняется, если число учеников в обеих группах одинаково: $N(К \cap У) = N(К \setminus У)$.

Общее число красивых учеников $N(К)$ складывается из тех, кто красивый и умный, и тех, кто красивый, но не умный: $N(К) = N(К \cap У) + N(К \setminus У)$.

Учитывая, что $N(К \cap У) = N(К \setminus У)$, получаем: $N(К) = N(К \cap У) + N(К \cap У) = 2 \cdot N(К \cap У)$.

Подставим известное количество красивых учеников $N(К) = 22$:

$22 = 2 \cdot N(К \cap У)$

$N(К \cap У) = 11$.

Значит, и умных и красивых учеников должно быть 11, и красивых, но не умных, тоже 11.

Теперь найдем количество умных, но не красивых, учеников. Их общее число $N(У) = 18$ не изменилось:

$N(У \setminus К) = N(У) - N(К \cap У) = 18 - 11 = 7$.

Новое общее количество учеников $N'$ равно сумме учеников во всех трех непересекающихся группах:

$N' = N(К \cap У) + N(К \setminus У) + N(У \setminus К) = 11 + 11 + 7 = 29$.

Проверим: если в классе 29 учеников, то число тех, кто и умный и красивый, будет $22+18-29=11$, а число красивых, но не умных, будет $22-11=11$. Числа равны, значит и вероятности будут равны ($\frac{11}{29}$).

Ответ: 29 учеников.

54.7 Опишите произведение следующих событий A и B:

а) A - у случайным образом составленного квадратного уравнения есть корни; B - дискриминант уравнения отрицателен;

б) A - у случайным образом составленного квадратного уравнения нет корней; B - дискриминант уравнения неположителен;

в) A - случайным образом выбранная функция $y = f(x), x \in R$ возрастает; B - верно неравенство $f(99) < f(100)$;

г) A - случайным образом выбранная числовая последовательность является геометрической прогрессией; B - первые два её члена положительны, а следующие два - отрицательны.

а)

Событие A — «у случайно образом составленного квадратного уравнения есть корни». Это означает, что дискриминант уравнения $D$ неотрицателен, то есть $D \ge 0$.

Событие B — «дискриминант уравнения отрицателен». Это означает, что $D < 0$.

Произведением событий A и B является событие, которое наступает тогда и только тогда, когда наступают оба события A и B одновременно. Для этого необходимо, чтобы дискриминант $D$ одновременно удовлетворял двум условиям: $D \ge 0$ и $D < 0$.

Не существует такого числа, которое было бы одновременно и неотрицательным, и отрицательным. Следовательно, события A и B являются несовместными, и их произведение является невозможным событием.

Ответ: Произведение событий A и B является невозможным событием (событием, которое никогда не происходит).

б)

Событие A — «у случайно образом составленного квадратного уравнения нет корней». Это означает, что дискриминант уравнения $D$ строго отрицателен, то есть $D < 0$.

Событие B — «дискриминант уравнения неположителен». Это означает, что $D$ не является положительным, то есть $D \le 0$.

Произведение событий A и B происходит, когда выполняются оба условия одновременно: $D < 0$ и $D \le 0$.

Если выполняется условие $D < 0$ (событие A), то автоматически выполняется и условие $D \le 0$ (событие B). Таким образом, наступление события A влечет за собой наступление события B. Пересечением (произведением) этих событий будет самое "сильное" условие, то есть $D < 0$, что в точности соответствует событию A.

Ответ: Произведением событий A и B является событие A: «у случайно образом составленного квадратного уравнения нет корней».

в)

Событие A — «случайным образом выбранная функция $y = f(x)$, $x \in \mathbb{R}$ возрастает». По определению, возрастающая функция удовлетворяет условию: для любых $x_1$ и $x_2$ из области определения, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) < f(x_2)$.

Событие B — «верно неравенство $f(99) < f(100)$».

Произведение событий A и B — это событие, при котором функция $f(x)$ является возрастающей, и при этом для нее верно неравенство $f(99) < f(100)$.

Если наступает событие A (функция возрастает), то из определения возрастающей функции следует, что для $x_1 = 99$ и $x_2 = 100$, поскольку $99 < 100$, должно выполняться неравенство $f(99) < f(100)$. Это означает, что наступление события A автоматически влечет за собой наступление события B. Таким образом, событие A является частным случаем события B (или подмножеством). Когда одно событие влечет за собой другое, их произведение совпадает с первым (более частным) событием.

Ответ: Произведением событий A и B является событие A: «случайным образом выбранная функция $y = f(x)$, $x \in \mathbb{R}$ возрастает».

г)

Событие A — «случайным образом выбранная числовая последовательность $\{b_n\}$ является геометрической прогрессией». Это означает, что существует такое число $q$ (знаменатель прогрессии), что для любого натурального $n$ выполняется равенство $b_{n+1} = b_n \cdot q$.

Событие B — «первые два её члена положительны, а следующие два — отрицательны». Это означает, что $b_1 > 0$, $b_2 > 0$, $b_3 < 0$ и $b_4 < 0$.

Произведение событий A и B — это событие, при котором последовательность является геометрической прогрессией и при этом её члены удовлетворяют условиям из события B.

Рассмотрим следствия из одновременного выполнения этих условий.

• Из того, что $b_1 > 0$, $b_2 > 0$ и $b_2 = b_1 \cdot q$, следует, что знаменатель прогрессии $q = \frac{b_2}{b_1}$ должен быть положительным: $q > 0$.
• Из того, что $b_2 > 0$, $b_3 < 0$ и $b_3 = b_2 \cdot q$, следует, что знаменатель прогрессии $q = \frac{b_3}{b_2}$ должен быть отрицательным: $q < 0$.

Таким образом, для одновременного наступления событий A и B требуется, чтобы знаменатель прогрессии $q$ был одновременно и положительным, и отрицательным. Это невозможно.

Следовательно, события A и B несовместны, и их произведение является невозможным событием.

Ответ: Произведение событий A и B является невозможным событием (событием, которое никогда не происходит).