Страница 206, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

51.5 Для заданного события назовите противоположное:

a) мою новую соседку по парте зовут или Таня, или Аня;

б) явка на выборы была от 40 % до 47 % включительно;

в) из пяти выстрелов в цель попали хотя бы два;

г) на контрольной я не решил одну или две задачи из пяти.

а) Исходное событие A: «мою новую соседку по парте зовут или Таня, или Аня».

Противоположное событие, обозначаемое $\bar{A}$, заключается в том, что исходное событие A не происходит. Если имя соседки — не Таня и не Аня, то событие A не наступит. Следовательно, противоположным событием будет утверждение, что имя соседки не является ни одним из перечисленных.

Ответ: мою новую соседку по парте зовут не Таня и не Аня.

б) Исходное событие B: «явка на выборы была от 40% до 47% включительно».

Пусть $x$ — это явка на выборы в процентах. Тогда событие B можно описать математически как двойное неравенство: $40 \le x \le 47$. Противоположное событие $\bar{B}$ означает, что явка $x$ находится вне этого диапазона. Учитывая, что явка не может быть меньше 0% и больше 100%, противоположное событие описывается совокупностью неравенств: $0 \le x < 40$ или $47 < x \le 100$.

Словесно это означает, что явка была либо меньше 40%, либо больше 47%.

Ответ: явка на выборы была меньше 40% или больше 47%.

в) Исходное событие C: «из пяти выстрелов в цель попали хотя бы два».

Пусть $k$ — количество попаданий в цель из пяти выстрелов. Множество возможных значений для $k$ — это $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$. Выражение «хотя бы два» означает «два или больше», то есть $k \ge 2$. Таким образом, событие C наступает, если $k \in \{2, 3, 4, 5\}$.

Противоположное событие $\bar{C}$ наступает, когда $k$ не принадлежит этому множеству. Это значит, что $k < 2$. Таким образом, для противоположного события количество попаданий $k$ может быть 0 или 1.

Это можно сформулировать как «в цель попали менее двух раз» или «в цель попали не более одного раза».

Ответ: из пяти выстрелов в цель попали не более одного раза.

г) Исходное событие D: «на контрольной я не решил одну или две задачи из пяти».

Пусть $n$ — количество нерешенных задач из пяти. Общее число задач — 5, поэтому $n$ может принимать значения из множества $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$.

Исходное событие D означает, что число нерешенных задач равно 1 или 2, то есть $n \in \{1, 2\}$.

Противоположное событие $\bar{D}$ означает, что число нерешенных задач не равно ни 1, ни 2. Следовательно, для события $\bar{D}$ число нерешенных задач $n$ должно принадлежать множеству $\{0, 3, 4, 5\}$.

Распишем эти случаи:

• $n=0$: не решено 0 задач, то есть решены все задачи.
• $n=3$: не решено 3 задачи.
• $n=4$: не решено 4 задачи.
• $n=5$: не решено 5 задач, то есть не решено ни одной задачи из пяти.

Объединив эти случаи, получаем формулировку противоположного события.

Ответ: на контрольной я решил все задачи, или не решил три, четыре или все пять задач.

51.7 Ученик случайным образом выбрал произвольное трёхзначное натуральное число, начинающееся с единицы. Найдите вероятность того, что:

а) это число нечётное;

б) среди цифр этого числа есть 3;

в) это число не является кубом целого числа;

г) сумма его цифр больше 3.

Для решения задачи сначала определим общее число возможных исходов. Мы выбираем трёхзначное натуральное число, начинающееся с единицы. Такие числа имеют вид $1xy$, где $x$ и $y$ — это цифры от 0 до 9.
Первая цифра фиксирована (1).
Вторая цифра $x$ может быть любой из 10 цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
Третья цифра $y$ также может быть любой из 10 цифр.
Следовательно, общее количество таких чисел (размер пространства элементарных исходов) равно $N = 1 \cdot 10 \cdot 10 = 100$. Эти числа находятся в диапазоне от 100 до 199.

а) это число нечётное;

Число является нечётным, если его последняя цифра нечётная. В нашем случае это цифра $y$.
Нечётные цифры — это 1, 3, 5, 7, 9. Всего 5 вариантов.
Первая цифра — 1 (1 вариант).
Вторая цифра $x$ может быть любой из 10 цифр.
Третья цифра $y$ должна быть одной из 5 нечётных цифр.
Количество благоприятных исходов (нечётных чисел) $m_a$ равно: $m_a = 1 \cdot 10 \cdot 5 = 50$.
Вероятность $P(A)$ того, что выбранное число нечётное, равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов: $P(A) = \frac{m_a}{N} = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

б) среди цифр этого числа есть 3;

Пусть событие B заключается в том, что среди цифр числа есть цифра 3. Проще найти вероятность противоположного события B' — что среди цифр числа нет цифры 3.
Число имеет вид $1xy$. Первая цифра 1, она не равна 3.
Для события B' вторая цифра $x$ не должна быть 3. У нас есть 9 вариантов для $x$ (0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
Третья цифра $y$ также не должна быть 3. У нас есть 9 вариантов для $y$.
Количество чисел, в которых нет цифры 3, равно: $m_{B'} = 1 \cdot 9 \cdot 9 = 81$.
Вероятность события B' равна: $P(B') = \frac{m_{B'}}{N} = \frac{81}{100}$.
Вероятность искомого события B равна $P(B) = 1 - P(B')$. $P(B) = 1 - \frac{81}{100} = \frac{19}{100}$.
Ответ: $\frac{19}{100}$

в) это число не является кубом целого числа;

Пусть событие C заключается в том, что число не является кубом целого числа. Рассмотрим противоположное событие C' — число является кубом целого числа.
Нам нужно найти, сколько чисел в диапазоне от 100 до 199 являются кубами целых чисел.
Проверим кубы целых чисел:
$4^3 = 64$ (меньше 100)
$5^3 = 125$ (находится в нашем диапазоне)
$6^3 = 216$ (больше 199)
Таким образом, только одно число, 125, является кубом целого числа в заданном диапазоне.
Число благоприятных исходов для события C' равно $m_{C'} = 1$.
Вероятность события C' равна: $P(C') = \frac{m_{C'}}{N} = \frac{1}{100}$.
Вероятность искомого события C равна $P(C) = 1 - P(C')$. $P(C) = 1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}$.
Ответ: $\frac{99}{100}$

г) сумма его цифр больше 3.

Пусть событие D заключается в том, что сумма цифр числа больше 3. Число имеет вид $1xy$, сумма его цифр $S = 1+x+y$. Условие: $S > 3$.
Рассмотрим противоположное событие D' — сумма цифр не больше 3, то есть $S \le 3$.
$1+x+y \le 3$, что эквивалентно $x+y \le 2$.
Найдём количество пар цифр $(x, y)$, удовлетворяющих этому условию:
1. Сумма $x+y = 0$: Это возможно только если $x=0, y=0$. Получаем число 100. (1 исход)
2. Сумма $x+y = 1$: Это возможно для пар $(0, 1)$ и $(1, 0)$. Получаем числа 101 и 110. (2 исхода)
3. Сумма $x+y = 2$: Это возможно для пар $(0, 2)$, $(1, 1)$ и $(2, 0)$. Получаем числа 102, 111 и 120. (3 исхода)
Общее количество чисел, у которых сумма цифр не больше 3, равно $m_{D'} = 1 + 2 + 3 = 6$.
Вероятность события D' равна: $P(D') = \frac{m_{D'}}{N} = \frac{6}{100}$.
Тогда вероятность искомого события D (сумма цифр больше 3) равна $P(D) = 1 - P(D')$. $P(D) = 1 - \frac{6}{100} = \frac{94}{100} = \frac{47}{50}$.
Ответ: $\frac{47}{50}$

51.6 Назовите событие, для которого противоположным является следующее событие:

а) на контрольной работе больше половины учащихся класса получили пятёрки;

б) все семь пулек в тире у меня попали мимо цели;

в) в нашем классе — все и умные, и красивые;

г) в кошельке у меня есть или три рубля одной монетой, или три доллара одной купюрой.

Для решения этой задачи нужно для каждого утверждения (события) сформулировать противоположное ему утверждение (противоположное событие). Противоположное событие, обозначаемое как $\bar{A}$ для события $A$, происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие $A$.

а) Исходное событие $A$: «на контрольной работе больше половины учащихся класса получили пятёрки».
Пусть $N$ — общее число учащихся в классе, а $k$ — число учащихся, получивших пятёрки. Тогда событие $A$ можно записать в виде неравенства $k > \frac{N}{2}$.
Противоположное событие $\bar{A}$ означает, что утверждение $A$ ложно. То есть, неверно, что число получивших пятёрки больше половины. Это значит, что число получивших пятёрки не больше половины, то есть меньше или равно половине: $k \le \frac{N}{2}$.
Словесно это формулируется как: «на контрольной работе не больше половины (то есть половина или меньше половины) учащихся класса получили пятёрки».
Ответ: на контрольной работе не больше половины учащихся класса получили пятёрки.

б) Исходное событие $B$: «все семь пулек в тире у меня попали мимо цели».
Это означает, что количество попаданий равно нулю.
Противоположное событие $\bar{B}$ означает, что неверно, что все семь пулек попали мимо цели. Это эквивалентно тому, что хотя бы одна пулька попала в цель. Количество попаданий может быть 1, 2, 3, 4, 5, 6 или 7.
Следовательно, противоположное событие — это «хотя бы одна из семи пулек попала в цель».
Ответ: хотя бы одна из семи пулек в тире у меня попала в цель.

в) Исходное событие $C$: «в нашем классе — все и умные, и красивые».
Это означает, что каждый ученик в классе обладает обоими качествами: он и умный, и красивый.
Противоположное событие $\bar{C}$ означает, что неверно, что все ученики обладают обоими качествами. Это значит, что в классе есть хотя бы один ученик, который не обладает обоими качествами одновременно. То есть, он может быть не умным, или не красивым, или ни тем, ни другим.
Формально, если $U$ — свойство «быть умным», а $K$ — свойство «быть красивым», то событие $C$ — это «для всех учеников $x$ выполняется $(U(x) \text{ и } K(x))$». Противоположное событие $\bar{C}$ — это «существует хотя бы один ученик $x$, для которого не выполняется $(U(x) \text{ и } K(x))$». По закону де Моргана, это эквивалентно «существует хотя бы один ученик $x$, для которого выполняется $(\text{не } U(x) \text{ или не } K(x))$».
Следовательно, противоположное событие: «в нашем классе есть хотя бы один ученик, который или не умный, или не красивый».
Ответ: в нашем классе есть хотя бы один ученик, который не является одновременно и умным, и красивым (альтернативная формулировка: который или не умный, или не красивый).

г) Исходное событие $D$: «в кошельке у меня есть или три рубля одной монетой, или три доллара одной купюрой».
Это событие является объединением (логическим «ИЛИ») двух событий:
$D_1$: «в кошельке есть три рубля одной монетой».
$D_2$: «в кошельке есть три доллара одной купюрой».
Событие $D$ можно записать как $D_1 \cup D_2$ (или $D_1 \lor D_2$). Оно происходит, если выполнено хотя бы одно из событий $D_1$ или $D_2$.
Противоположное событие $\bar{D}$ происходит, когда не происходит ни $D_1$, ни $D_2$. То есть, в кошельке нет трёх рублей одной монетой, и при этом в нём нет трёх долларов одной купюрой.
Формально, по закону де Моргана, противоположное событие для $D_1 \lor D_2$ — это $\neg D_1 \land \neg D_2$.
Следовательно, противоположное событие: «в кошельке у меня нет ни трёх рублей одной монетой, ни трёх долларов одной купюрой».
Ответ: в кошельке у меня нет ни трёх рублей одной монетой, ни трёх долларов одной купюрой.

51.8 Игральную кость бросили дважды. Найдите вероятность того, что:

а) среди выпавших чисел нет ни одной пятёрки;

б) среди выпавших чисел есть или пятёрка, или шестёрка;

в) сумма выпавших чисел меньше 11;

г) произведение выпавших чисел меньше 25.

При бросании стандартной шестигранной игральной кости дважды существует $6 \times 6 = 36$ равновозможных исходов. Каждый исход представляет собой упорядоченную пару чисел $(x, y)$, где $x$ — результат первого броска, а $y$ — результат второго. Общее число всех возможных исходов $N = 36$.

а) среди выпавших чисел нет ни одной пятёрки;

Для выполнения этого условия на первом кубике не должна выпасть пятёрка, что оставляет 5 возможных исходов (1, 2, 3, 4, 6). Аналогично, на втором кубике также 5 возможных исходов. Число благоприятных исходов $m$ находим по правилу произведения:

$m = 5 \times 5 = 25$

Вероятность $P$ этого события — это отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P = \frac{m}{N} = \frac{25}{36}$

Ответ: $\frac{25}{36}$

б) среди выпавших чисел есть или пятёрка, или шестёрка;

Проще найти вероятность противоположного события: "среди выпавших чисел нет ни пятёрки, ни шестёрки". В этом случае на каждом кубике могут выпасть только числа из набора {1, 2, 3, 4}.

Для первого броска есть 4 варианта, и для второго броска также 4 варианта. Число исходов, благоприятных для противоположного события, равно:

$m_{\text{прот}} = 4 \times 4 = 16$

Вероятность противоположного события:

$P_{\text{прот}} = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}$

Вероятность искомого события равна разности единицы и вероятности противоположного события:

$P = 1 - P_{\text{прот}} = 1 - \frac{16}{36} = \frac{36 - 16}{36} = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}$

Ответ: $\frac{5}{9}$

в) сумма выпавших чисел меньше 11;

Рассмотрим противоположное событие: "сумма выпавших чисел больше или равна 11". Перечислим исходы, благоприятные для этого события. Сумма может быть равна 11 или 12.

Сумма равна 11 для пар (5, 6) и (6, 5) — это 2 исхода.

Сумма равна 12 для пары (6, 6) — это 1 исход.

Общее число исходов, благоприятных для противоположного события: $m_{\text{прот}} = 2 + 1 = 3$.

Вероятность противоположного события:

$P_{\text{прот}} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$

Вероятность искомого события (сумма меньше 11) равна:

$P = 1 - P_{\text{прот}} = 1 - \frac{3}{36} = \frac{33}{36} = \frac{11}{12}$

Ответ: $\frac{11}{12}$

г) произведение выпавших чисел меньше 25.

Рассмотрим противоположное событие: "произведение выпавших чисел больше или равно 25". Перечислим исходы, благоприятные для этого события. Чтобы произведение было не меньше 25, оба множителя должны быть достаточно большими. Проверим возможные пары. Если один из множителей 4 или меньше, максимальное произведение будет $4 \times 6 = 24$, что меньше 25. Следовательно, оба числа должны быть 5 или 6. Пары, удовлетворяющие условию: (5, 5) с произведением 25; (5, 6) с произведением 30; (6, 5) с произведением 30; (6, 6) с произведением 36.

Всего исходов, благоприятных для противоположного события, $m_{\text{прот}} = 4$.

Вероятность противоположного события:

$P_{\text{прот}} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$

Вероятность искомого события (произведение меньше 25) равна:

$P = 1 - P_{\text{прот}} = 1 - \frac{4}{36} = \frac{32}{36} = \frac{8}{9}$

Ответ: $\frac{8}{9}$

51.4 Составили множество всех чисел вида $x = 2^a 5^b$, где $a, b \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ (совпадения допускаются). Из этого множества случайным образом выбрали одно число. Какова вероятность того, что оно будет:

а) больше 1;

б) меньше 20;

в) нечётным;

г) не оканчиваться нулём?

Сначала определим общее количество возможных чисел в множестве. Числа имеют вид $x = 2^a 5^b$, где показатели степеней $a$ и $b$ выбираются из множества $\{0, 1, 2, 3, 4\}$. Поскольку для показателя $a$ есть 5 возможных значений и для показателя $b$ также 5 возможных значений, общее количество различных пар $(a, b)$ по правилу произведения равно $5 \times 5 = 25$. Согласно основной теореме арифметики о единственности разложения на простые множители, каждая пара $(a, b)$ создает уникальное число $x$. Таким образом, в множестве 25 различных чисел. Это общее число равновероятных исходов $N=25$.

а) больше 1;

Число $x = 2^a 5^b$ равно 1 только в одном случае: когда $a=0$ и $b=0$, так как $2^0 5^0 = 1 \times 1 = 1$. Во всех остальных случаях, когда хотя бы один из показателей $a$ или $b$ отличен от нуля, число $x$ будет больше 1. Количество таких случаев (благоприятных исходов) равно общему числу исходов минус один случай, когда число равно 1.$m = N - 1 = 25 - 1 = 24$.Вероятность того, что случайно выбранное число будет больше 1, равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:$P = \frac{m}{N} = \frac{24}{25}$.
Ответ: $\frac{24}{25}$

б) меньше 20;

Нам нужно найти количество чисел $x = 2^a 5^b$, которые меньше 20. Переберем возможные значения $b$ и для каждого найдем подходящие значения $a$ из множества $\{0, 1, 2, 3, 4\}$.
- Если $b=0$, то $x = 2^a$. Проверяем значения $a$: $2^0=1<20$, $2^1=2<20$, $2^2=4<20$, $2^3=8<20$, $2^4=16<20$. Все 5 значений для $a$ подходят. (5 чисел)
- Если $b=1$, то $x = 5 \cdot 2^a$. Проверяем значения $a$: $5 \cdot 2^0 = 5<20$, $5 \cdot 2^1 = 10<20$. При $a=2$ получаем $x=20$, что не меньше 20. Значит, подходят 2 значения для $a$. (2 числа)
- Если $b=2$, то $x = 25 \cdot 2^a$. Наименьшее такое число при $a=0$ равно 25, что уже больше 20. Здесь нет подходящих исходов.
- При $b=3$ и $b=4$ числа будут еще больше, так что они тоже не подходят.
Общее количество благоприятных исходов $m = 5 + 2 = 7$.Вероятность того, что случайно выбранное число будет меньше 20, равна:$P = \frac{m}{N} = \frac{7}{25}$.
Ответ: $\frac{7}{25}$

в) нечётным;

Число является нечётным, если оно не делится на 2. В разложении числа $x = 2^a 5^b$ на простые множители двойка присутствует в степени $a$. Чтобы число было нечётным, в его разложении не должно быть множителя 2, что соответствует условию $a=0$. При этом показатель $b$ может принимать любое из 5-ти возможных значений: $\{0, 1, 2, 3, 4\}$.Следовательно, количество благоприятных исходов $m=5$. Это числа $5^0=1$, $5^1=5$, $5^2=25$, $5^3=125$, $5^4=625$.Вероятность того, что случайно выбранное число будет нечётным, равна:$P = \frac{m}{N} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{5}$

г) не оканчиваться нулём?

Число оканчивается нулём, если оно делится на 10. Так как $10 = 2 \times 5$, число $x = 2^a 5^b$ оканчивается нулём, если в его разложении есть и множитель 2, и множитель 5. Это означает, что оба показателя $a$ и $b$ должны быть больше нуля, то есть $a \ge 1$ и $b \ge 1$.Нас интересует событие, когда число не оканчивается нулём. Это происходит, когда оно не делится на 10, то есть когда хотя бы один из показателей $a$ или $b$ равен нулю ($a=0$ или $b=0$).Посчитаем количество таких исходов, используя правило сложения для несовместных событий:
- Случаи, когда $a=0$. Показатель $b$ может быть любым (5 вариантов).
- Случаи, когда $b=0$. Показатель $a$ может быть любым (5 вариантов).
Случай, когда $a=0$ и $b=0$ (число 1), был посчитан в обеих группах, поэтому, чтобы избежать двойного счета, используем формулу включений-исключений.Количество благоприятных исходов $m = (\text{число случаев с } a=0) + (\text{число случаев с } b=0) - (\text{число случаев с } a=0 \text{ и } b=0) = 5 + 5 - 1 = 9$.Вероятность того, что случайно выбранное число не будет оканчиваться нулём, равна:$P = \frac{m}{N} = \frac{9}{25}$.
Ответ: $\frac{9}{25}$