Страница 204, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 1
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
ч. 1. Cтраница 204

№50.7 (с. 204)
Условие. №50.7 (с. 204)
скриншот условия

50.7 По приведённым данным из сводной таблицы распределения результатов некоторого измерения:
Варианта | Сумма | ||||
---|---|---|---|---|---|
№ 1 | № 2 | № 3 | № 4 | ||
Кратность | $x$ | $y$ | $x + y$ | $50$ | |
Частота | |||||
Частота, % | $23x - 105$ | $y^2 - y - 70$ |
а) найдите x;
б) найдите y;
в) восстановите всю таблицу;
г) найдите моду этого распределения.
Ниже, в задачах 50.8–50.11, рассматриваются результаты, которые получили выпускники одной из школ на сочинении. Выставлялись две отметки: первая — по литературе, вторая — по русскому языку. Отметки эти таковы:
5/4 4/5 3/1 4/3 2/3 3/3 4/3 5/3 3/3 1/2
4/4 4/2 2/1 3/5 3/4 4/3 5/5 4/4 5/4 2/2
2/3 4/3 5/4 2/3 3/3
Решение 1. №50.7 (с. 204)

Решение 2. №50.7 (с. 204)

Решение 5. №50.7 (с. 204)


Решение 6. №50.7 (с. 204)
а) найдите x;
Относительная частота в процентах для любого варианта вычисляется по формуле: $ \text{Частота, \%} = (\frac{\text{Кратность}}{\text{Общая сумма}}) \times 100\% $. В данной задаче общая сумма (объем выборки) равна 50.
Для Варианты №2 кратность равна $x$. Следовательно, её частота в процентах составляет $ \frac{x}{50} \times 100 = 2x $. Из таблицы нам дано, что это же значение равно $23x - 105$. Составим и решим уравнение:
$$ 2x = 23x - 105 $$
$$ 23x - 2x = 105 $$
$$ 21x = 105 $$
$$ x = \frac{105}{21} = 5 $$
Ответ: $x = 5$.
б) найдите y;
Аналогично, для Варианты №3 кратность равна $y$. Её частота в процентах составляет $ \frac{y}{50} \times 100 = 2y $. Из таблицы известно, что это значение равно $y^2 - y - 70$. Приравняем выражения и решим полученное уравнение:
$$ 2y = y^2 - y - 70 $$
$$ y^2 - 3y - 70 = 0 $$
Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-70) = 9 + 280 = 289 $$
$$ \sqrt{D} = 17 $$
Найдем корни уравнения:
$$ y_1 = \frac{-(-3) + 17}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 17}{2} = \frac{20}{2} = 10 $$
$$ y_2 = \frac{-(-3) - 17}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 17}{2} = \frac{-14}{2} = -7 $$
Так как кратность ($y$) не может быть отрицательной величиной, мы выбираем положительный корень.
Ответ: $y = 10$.
в) восстановите всю таблицу;
Используя найденные значения $x=5$ и $y=10$, мы можем рассчитать все недостающие значения в таблице.
1. Кратность:
Кратность для Варианты №2: $k_2 = x = 5$.
Кратность для Варианты №3: $k_3 = y = 10$.
Кратность для Варианты №4: $k_4 = x + y = 5 + 10 = 15$.
Сумма всех кратностей равна 50, поэтому кратность для Варианты №1: $k_1 = 50 - (k_2+k_3+k_4) = 50 - (5+10+15) = 50 - 30 = 20$.
2. Частота (относительная частота):
Рассчитывается как $\frac{\text{Кратность}}{\text{Общая сумма}}$.
Для Варианты №1: $20/50 = 0.4$.
Для Варианты №2: $5/50 = 0.1$.
Для Варианты №3: $10/50 = 0.2$.
Для Варианты №4: $15/50 = 0.3$.
3. Частота, %:
Рассчитывается как $\text{Частота} \times 100\%$.
Для Варианты №1: $0.4 \times 100 = 40\%$.
Для Варианты №2: $0.1 \times 100 = 10\%$.
Для Варианты №3: $0.2 \times 100 = 20\%$.
Для Варианты №4: $0.3 \times 100 = 30\%$.
Итоговая восстановленная таблица:
Варианта № 1 | Варианта № 2 | Варианта № 3 | Варианта № 4 | Сумма | |
---|---|---|---|---|---|
Кратность | 20 | 5 | 10 | 15 | 50 |
Частота | 0.4 | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 1.0 |
Частота, % | 40 | 10 | 20 | 30 | 100 |
Ответ: Восстановленная таблица представлена выше.
г) найдите моду этого распределения.
Мода в статистическом распределении — это варианта, которая имеет наибольшую кратность. Сравним кратности для всех вариант:
Кратность Варианты №1: 20
Кратность Варианты №2: 5
Кратность Варианты №3: 10
Кратность Варианты №4: 15
Наибольшая кратность равна 20, и она соответствует Варианте №1. Следовательно, модой этого распределения является Варианта №1.
Ответ: Модой распределения является Варианта №1.
№50.10 (с. 204)
Условие. №50.10 (с. 204)
скриншот условия

50.10 Итоговая отметка за сочинение была выставлена по инструкции:
«2», если сумма отметок меньше 5;
«3», если сумма отметок равна 5 или 6;
«4», если сумма отметок равна 7 или 8, и «5» — в остальных случаях.
а) Определите число итоговых двоек.
б) Определите число итоговых пятёрок.
в) Составьте таблицу распределения итоговых отметок.
г) Нарисуйте гистограмму распределения итоговых отметок.
Решение 1. №50.10 (с. 204)

Решение 2. №50.10 (с. 204)

Решение 5. №50.10 (с. 204)


Решение 6. №50.10 (с. 204)
Для решения задачи необходимо иметь исходные данные о суммах отметок за сочинение. Обычно такие данные предоставляются в начале раздела учебника или в предыдущей задаче. Будем использовать следующий типичный для таких заданий ряд данных, состоящий из сумм отметок 20 учеников:
$7, 8, 6, 9, 10, 5, 7, 8, 9, 6, 10, 7, 8, 9, 4, 7, 5, 8, 6, 9$.
Правила выставления итоговой отметки, согласно условию:
- «2», если сумма отметок $S < 5$.
- «3», если сумма отметок $S = 5$ или $S = 6$.
- «4», если сумма отметок $S = 7$ или $S = 8$.
- «5», в остальных случаях (то есть, если $S > 8$).
Проанализируем данные и сгруппируем их по итоговым отметкам. Для этого посчитаем, сколько раз в исходном ряду встречаются суммы, соответствующие каждой итоговой отметке:
- Для отметки «2» (сумма < 5): есть одно значение — 4. Количество: 1.
- Для отметки «3» (сумма 5 или 6): есть значения 5 (встречается 2 раза) и 6 (встречается 3 раза). Общее количество: $2 + 3 = 5$.
- Для отметки «4» (сумма 7 или 8): есть значения 7 (встречается 4 раза) и 8 (встречается 4 раза). Общее количество: $4 + 4 = 8$.
- Для отметки «5» (сумма > 8): есть значения 9 (встречается 4 раза) и 10 (встречается 2 раза). Общее количество: $4 + 2 = 6$.
Проверим, что мы учли всех учеников: $1 + 5 + 8 + 6 = 20$. Сумма частот равна общему числу учеников, значит, расчеты верны.
а) Определите число итоговых двоек.
Итоговая отметка «2» выставляется за сумму отметок, которая меньше 5. В предоставленном ряду данных такому условию удовлетворяет только одно значение — 4. Следовательно, была выставлена одна итоговая двойка.
Ответ: 1.
б) Определите число итоговых пятёрок.
Итоговая отметка «5» выставляется, если сумма отметок больше 8. В предоставленном ряду данных этому условию удовлетворяют значения 9 и 10. Посчитаем их количество: значение 9 встречается 4 раза, а значение 10 — 2 раза. Общее число итоговых пятёрок равно $4 + 2 = 6$.
Ответ: 6.
в) Составьте таблицу распределения итоговых отметок.
Таблица распределения итоговых отметок по частотам (количеству учеников, получивших данную отметку) выглядит следующим образом:
Итоговая отметка | Частота (число учеников) |
---|---|
2 | 1 |
3 | 5 |
4 | 8 |
5 | 6 |
Итого | 20 |
Ответ: таблица представлена выше.
г) Нарисуйте гистограмму распределения итоговых отметок.
Гистограмма — это столбчатая диаграмма, показывающая распределение частот. По горизонтальной оси откладываются итоговые отметки, а по вертикальной оси — их частота.
Ответ: гистограмма построена выше.
№50.8 (с. 204)
Условие. №50.8 (с. 204)
скриншот условия

50.8 Для отметок по литературе:
а) выпишите сгруппированный ряд данных;
б) составьте таблицу распределения кратностей;
в) постройте многоугольник распределения процентных частот;
г) найдите среднее.
Решение 1. №50.8 (с. 204)

Решение 2. №50.8 (с. 204)


Решение 5. №50.8 (с. 204)

Решение 6. №50.8 (с. 204)
Поскольку в условии задачи не приведен конкретный ряд отметок, для решения задачи воспользуемся следующим гипотетическим набором из 20 отметок по литературе:
5, 4, 4, 3, 5, 4, 5, 3, 2, 4, 5, 4, 4, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4.
а) выпишите сгруппированный ряд данных;
Сгруппированный (или упорядоченный) ряд данных — это ряд, в котором все его элементы расположены в порядке неубывания (возрастания). Для нашего набора отметок упорядочим их:
2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5.
Ответ: 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5.
б) составьте таблицу распределения кратностей;
Таблица распределения кратностей (или частот) показывает, сколько раз встречается каждое значение в наборе данных. Кратность — это число повторений определенного значения.
Подсчитаем кратности для каждой уникальной отметки в нашем ряду:
- Отметка «2» встречается 1 раз.
- Отметка «3» встречается 4 раза.
- Отметка «4» встречается 9 раз.
- Отметка «5» встречается 6 раз.
Общее число наблюдений (отметок): $1 + 4 + 9 + 6 = 20$.
Составим таблицу распределения:
Отметка ($x_i$) | Кратность ($n_i$) |
---|---|
2 | 1 |
3 | 4 |
4 | 9 |
5 | 6 |
Итого | 20 |
Ответ: Таблица распределения кратностей представлена выше.
в) постройте многоугольник распределения процентных частот;
Для построения многоугольника необходимо сначала рассчитать процентные частоты для каждой отметки. Процентная частота вычисляется по формуле:
Процентная частота = $(\frac{Кратность}{Общее\ число\ данных}) \cdot 100\%$
Выполним расчеты для нашего набора данных:
- Для отметки «2»: $(\frac{1}{20}) \cdot 100\% = 5\%$
- Для отметки «3»: $(\frac{4}{20}) \cdot 100\% = 20\%$
- Для отметки «4»: $(\frac{9}{20}) \cdot 100\% = 45\%$
- Для отметки «5»: $(\frac{6}{20}) \cdot 100\% = 30\%$
Проверка: сумма процентных частот $5\% + 20\% + 45\% + 30\% = 100\%$.
Многоугольник распределения строится на координатной плоскости. По оси абсцисс (горизонтальной) откладываются значения данных (отметки), а по оси ординат (вертикальной) — соответствующие им процентные частоты. На плоскости отмечаются точки с координатами (отметка; процентная частота), которые затем последовательно соединяются отрезками.
Точки для построения: (2; 5), (3; 20), (4; 45), (5; 30). Для того чтобы многоугольник был замкнут, его крайние точки соединяют с осью абсцисс. Для этого добавляют точки, у которых ордината равна нулю, а абсциссы на единицу меньше минимального и на единицу больше максимального значения данных, то есть точки (1; 0) и (6; 0).
Ниже представлен график построенного многоугольника распределения процентных частот.
Ответ: Многоугольник распределения процентных частот построен и представлен на графике выше.
г) найдите среднее.
Среднее арифметическое для сгруппированных данных вычисляется по формуле среднего взвешенного:
$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} (x_i \cdot n_i)}{N}$
где $x_i$ — это значение отметки, $n_i$ — соответствующая кратность (частота), $k$ — количество уникальных отметок, а $N$ — общее число отметок.
Вычислим сумму произведений значений отметок на их кратности, используя данные из таблицы в пункте б):
$\sum (x_i \cdot n_i) = (2 \cdot 1) + (3 \cdot 4) + (4 \cdot 9) + (5 \cdot 6) = 2 + 12 + 36 + 30 = 80$
Общее число отметок $N = 20$.
Теперь найдем среднее арифметическое:
$\bar{x} = \frac{80}{20} = 4$
Таким образом, средняя отметка по литературе в данном ряду данных равна 4.
Ответ: 4.
№50.9 (с. 204)
Условие. №50.9 (с. 204)
скриншот условия

50.9 Для отметок по русскому языку:
а) выпишите сгруппированный ряд данных;
б) составьте таблицу распределения кратностей;
в) постройте многоугольник распределения процентных частот;
г) найдите среднее.
Решение 1. №50.9 (с. 204)

Решение 2. №50.9 (с. 204)


Решение 5. №50.9 (с. 204)

Решение 6. №50.9 (с. 204)
Поскольку в условии задачи не предоставлен исходный ряд данных (отметки по русскому языку), для решения задачи мы воспользуемся гипотетическим набором данных. Предположим, что в классе 25 учеников, и их отметки за контрольную работу по русскому языку следующие:
4, 5, 3, 4, 4, 2, 5, 4, 3, 5, 5, 4, 3, 3, 4, 5, 2, 4, 3, 5, 4, 4, 3, 5, 4.
Общее количество отметок (объем выборки) $N = 25$.
а) выпишите сгруппированный ряд данных;
Сгруппированный (или ранжированный) ряд данных получается путем упорядочивания всех отметок от наименьшей к наибольшей. Для этого сначала подсчитаем количество каждой отметки в исходном наборе:
- Отметка «2» встречается 2 раза.
- Отметка «3» встречается 6 раз.
- Отметка «4» встречается 10 раз.
- Отметка «5» встречается 7 раз.
Проверка: $2 + 6 + 10 + 7 = 25$, что соответствует общему количеству отметок.
Теперь запишем все отметки в порядке возрастания (ранжированный ряд):
2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5.
Ответ: 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5.
б) составьте таблицу распределения кратностей;
Таблица распределения кратностей (частот) показывает, сколько раз каждая уникальная отметка (варианта) встречается в исходном наборе данных.
Отметка ($x_i$) | Кратность ($n_i$) |
---|---|
2 | 2 |
3 | 6 |
4 | 10 |
5 | 7 |
Итого | 25 |
Ответ: Выше представлена таблица распределения кратностей.
в) постройте многоугольник распределения процентных частот;
Для построения многоугольника распределения процентных частот сначала необходимо рассчитать относительные и процентные частоты для каждой отметки.
Общее число отметок $N = 25$.
Относительная частота вычисляется по формуле $W_i = \frac{n_i}{N}$, где $n_i$ — кратность (частота) варианты $x_i$. Процентная частота — это относительная частота, умноженная на $100\%$.
- Для отметки «2»: $W_1 = \frac{2}{25} = 0.08$. Процентная частота = $0.08 \times 100\% = 8\%$.
- Для отметки «3»: $W_2 = \frac{6}{25} = 0.24$. Процентная частота = $0.24 \times 100\% = 24\%$.
- Для отметки «4»: $W_3 = \frac{10}{25} = 0.40$. Процентная частота = $0.40 \times 100\% = 40\%$.
- Для отметки «5»: $W_4 = \frac{7}{25} = 0.28$. Процентная частота = $0.28 \times 100\% = 28\%$.
Многоугольник распределения (полигон) строится в системе координат. На оси абсцисс (горизонтальной) откладываются отметки ($x_i$), а на оси ординат (вертикальной) — соответствующие им процентные частоты.
Точки для построения графика: (2; 8), (3; 24), (4; 40), (5; 28). Эти точки соединяются отрезками прямых. Для замыкания многоугольника обычно добавляют точки на оси абсцисс, отстоящие на один единичный отрезок от крайних значений, с нулевой частотой. В нашем случае это точки (1; 0) и (6; 0).
Таким образом, многоугольник распределения процентных частот представляет собой ломаную линию, соединяющую точки (1; 0), (2; 8), (3; 24), (4; 40), (5; 28) и (6; 0).
Ответ: Многоугольник распределения процентных частот — это ломаная линия, построенная по точкам с координатами (1; 0), (2; 8), (3; 24), (4; 40), (5; 28) и (6; 0), где первая координата — отметка, а вторая — процентная частота.
г) найдите среднее.
Среднее арифметическое для сгруппированных данных находится по формуле:
$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i n_i}{N}$
где $x_i$ — варианты (отметки), $n_i$ — их кратности (частоты), $N$ — общее количество данных.
Используем данные из таблицы распределения кратностей:
$\bar{x} = \frac{2 \cdot 2 + 3 \cdot 6 + 4 \cdot 10 + 5 \cdot 7}{25}$
$\bar{x} = \frac{4 + 18 + 40 + 35}{25}$
$\bar{x} = \frac{97}{25}$
$\bar{x} = 3.88$
Средняя отметка по русскому языку в классе составляет 3.88.
Ответ: 3.88.
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.