Страница 197, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

49.11 а) $y = x^2$, $y = 0$, $x = 4$;

б) $y = x^3$, $y = 0$, $x = -3$, $x = 1$;

в) $y = x^2$, $y = 0$, $x = -3$;

г) $y = x^4$, $y = 0$, $x = -1$, $x = 2$.

а)

Фигура ограничена линиями $y = x^2$, $y = 0$ (ось Ox) и $x = 4$. Левая граница определяется точкой пересечения параболы $y = x^2$ с осью Ox, то есть $x^2 = 0$, откуда $x = 0$. Таким образом, фигура представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции $y = x^2$, снизу — осью Ox, слева — прямой $x = 0$, и справа — прямой $x = 4$.

Поскольку на отрезке $[0, 4]$ функция $y = x^2$ неотрицательна ($x^2 \ge 0$), площадь фигуры вычисляется с помощью определенного интеграла:

$S = \int_{0}^{4} x^2 \,dx$

Найдем первообразную для функции $f(x) = x^2$. Это $F(x) = \frac{x^3}{3}$.

По формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \left. \frac{x^3}{3} \right|_{0}^{4} = \frac{4^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{64}{3} - 0 = \frac{64}{3}$

Площадь фигуры равна $\frac{64}{3}$ или $21\frac{1}{3}$ квадратных единиц.

Ответ: $\frac{64}{3}$.

б)

Фигура ограничена линиями $y = x^3$, $y = 0$ (ось Ox), $x = -3$ и $x = 1$.

На отрезке $[-3, 1]$ функция $y = x^3$ меняет знак. На промежутке $[-3, 0]$ функция отрицательна ($x^3 \le 0$), а на промежутке $[0, 1]$ — неотрицательна ($x^3 \ge 0$). Поэтому площадь фигуры равна сумме площадей двух криволинейных трапеций.

Площадь вычисляется как интеграл от модуля функции:

$S = \int_{-3}^{1} |x^3| \,dx = \int_{-3}^{0} (-x^3) \,dx + \int_{0}^{1} x^3 \,dx$

Найдем первообразную для $x^3$ — это $\frac{x^4}{4}$, а для $-x^3$ — это $-\frac{x^4}{4}$.

Вычислим каждый интеграл отдельно:

$\int_{-3}^{0} (-x^3) \,dx = \left. -\frac{x^4}{4} \right|_{-3}^{0} = \left(-\frac{0^4}{4}\right) - \left(-\frac{(-3)^4}{4}\right) = 0 - \left(-\frac{81}{4}\right) = \frac{81}{4}$

$\int_{0}^{1} x^3 \,dx = \left. \frac{x^4}{4} \right|_{0}^{1} = \frac{1^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{1}{4} - 0 = \frac{1}{4}$

Сложим полученные значения:

$S = \frac{81}{4} + \frac{1}{4} = \frac{82}{4} = \frac{41}{2} = 20.5$

Ответ: $\frac{41}{2}$.

в)

Фигура ограничена линиями $y = x^2$, $y = 0$ (ось Ox) и $x = -3$. Правая граница определяется точкой пересечения параболы $y = x^2$ с осью Ox, то есть $x = 0$. Таким образом, фигура ограничена отрезком $[-3, 0]$.

На отрезке $[-3, 0]$ функция $y = x^2$ неотрицательна. Площадь вычисляется по формуле:

$S = \int_{-3}^{0} x^2 \,dx$

Используем первообразную $F(x) = \frac{x^3}{3}$:

$S = \left. \frac{x^3}{3} \right|_{-3}^{0} = \frac{0^3}{3} - \frac{(-3)^3}{3} = 0 - \frac{-27}{3} = 9$

Ответ: $9$.

г)

Фигура ограничена линиями $y = x^4$, $y = 0$ (ось Ox), $x = -1$ и $x = 2$.

На всем отрезке $[-1, 2]$ функция $y = x^4$ неотрицательна ($x^4 \ge 0$), так как любая степень с четным показателем дает неотрицательный результат. Поэтому площадь фигуры можно найти как определенный интеграл:

$S = \int_{-1}^{2} x^4 \,dx$

Найдем первообразную для функции $f(x) = x^4$. Это $F(x) = \frac{x^5}{5}$.

Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \left. \frac{x^5}{5} \right|_{-1}^{2} = \frac{2^5}{5} - \frac{(-1)^5}{5} = \frac{32}{5} - \frac{-1}{5} = \frac{32}{5} + \frac{1}{5} = \frac{33}{5}$

Площадь фигуры равна $\frac{33}{5}$ или $6.6$ квадратных единиц.

Ответ: $\frac{33}{5}$.

49.14 a) $y = \sin x, y = 0, x = \frac{\pi}{2}$;

б) $y = \cos 2x, y = 0, x = -\frac{\pi}{6}, x = \frac{\pi}{6}$;

в) $y = \cos x, y = 0, x = -\frac{\pi}{4}, x = \frac{\pi}{4}$;

г) $y = \sin \frac{x}{2}, y = 0, x = \frac{\pi}{2}, x = \pi$.

а) $y = \sin x, y = 0, x = \frac{\pi}{2}$;

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиком функции $y = f(x)$, осью абсцисс ($y=0$), и вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$, используется формула определенного интеграла $S = \int_a^b |f(x)| \,dx$.

В данном случае фигура ограничена кривой $y = \sin x$, осью $y=0$ и прямой $x = \frac{\pi}{2}$. Нижний предел интегрирования найдем из условия пересечения $y = \sin x$ с осью $y=0$, т.е. $\sin x = 0$. Ближайшее к $x=\frac{\pi}{2}$ значение, при котором начинается фигура, это $x=0$. Таким образом, интегрирование производится по отрезку $[0, \frac{\pi}{2}]$.

На отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$ функция $y=\sin x$ неотрицательна ($\sin x \geq 0$), поэтому модуль можно опустить.

Вычисляем площадь:

$S = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \,dx = [-\cos x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -(\cos \frac{\pi}{2} - \cos 0) = -(0 - 1) = 1$.

Ответ: $1$.

б) $y = \cos 2x, y = 0, x = -\frac{\pi}{6}, x = \frac{\pi}{6}$;

Фигура ограничена кривой $y = \cos 2x$, осью $y=0$ и прямыми $x = -\frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{\pi}{6}$. Пределы интегрирования заданы: от $a=-\frac{\pi}{6}$ до $b=\frac{\pi}{6}$.

Проверим знак функции на отрезке $[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}]$. Если $x$ изменяется от $-\frac{\pi}{6}$ до $\frac{\pi}{6}$, то аргумент $2x$ изменяется от $-\frac{\pi}{3}$ до $\frac{\pi}{3}$. В этом интервале $\cos(2x) \geq 0$, поэтому модуль не требуется.

Вычисляем площадь:

$S = \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} \cos 2x \,dx$.

Так как $y = \cos 2x$ — четная функция, а отрезок интегрирования симметричен относительно нуля, можно записать:

$S = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos 2x \,dx = 2 \left[\frac{1}{2}\sin 2x\right]_{0}^{\frac{\pi}{6}} = [\sin 2x]_{0}^{\frac{\pi}{6}} = \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{6}\right) - \sin(0) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) - 0 = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

в) $y = \cos x, y = 0, x = -\frac{\pi}{4}, x = \frac{\pi}{4}$;

Фигура ограничена кривой $y = \cos x$, осью $y=0$ и прямыми $x = -\frac{\pi}{4}$ и $x = \frac{\pi}{4}$. Пределы интегрирования: от $a=-\frac{\pi}{4}$ до $b=\frac{\pi}{4}$.

На отрезке $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$ функция $y = \cos x$ неотрицательна ($\cos x \geq 0$).

Вычисляем площадь:

$S = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \cos x \,dx$.

Функция $y=\cos x$ является четной, а отрезок интегрирования симметричен относительно нуля, поэтому:

$S = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos x \,dx = 2[\sin x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = 2\left(\sin\frac{\pi}{4} - \sin 0\right) = 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - 0\right) = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$.

г) $y = \sin \frac{x}{2}, y = 0, x = \frac{\pi}{2}, x = \pi$.

Фигура ограничена кривой $y = \sin \frac{x}{2}$, осью $y=0$ и прямыми $x = \frac{\pi}{2}$ и $x = \pi$. Пределы интегрирования заданы: от $a=\frac{\pi}{2}$ до $b=\pi$.

Проверим знак функции на отрезке $[\frac{\pi}{2}, \pi]$. Если $x$ изменяется от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$, то аргумент $\frac{x}{2}$ изменяется от $\frac{\pi}{4}$ до $\frac{\pi}{2}$. В этом интервале $\sin(\frac{x}{2}) \geq 0$.

Вычисляем площадь:

$S = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin \frac{x}{2} \,dx = \left[-2\cos \frac{x}{2}\right]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = -2\left(\cos\frac{\pi}{2} - \cos\frac{\pi}{4}\right) = -2\left(0 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$.

49.12 a) $y = x^3 + 2, y = 0, x = 0, x = 2$;

б) $y = -x^2 + 4x, y = 0.

а)

Задача состоит в том, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = x^3 + 2$, осью абсцисс ($y = 0$) и вертикальными прямыми $x = 0$ и $x = 2$. Такая площадь вычисляется с помощью определенного интеграла.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком неотрицательной функции $f(x)$, снизу — осью $Ox$, и прямыми $x=a$ и $x=b$, находится по формуле:

$S = \int_{a}^{b} f(x) dx$

В нашем случае $f(x) = x^3 + 2$, $a = 0$ и $b = 2$. На отрезке $[0, 2]$ функция $f(x) = x^3 + 2$ положительна, так как $x^3 \ge 0$, следовательно $x^3 + 2 \ge 2 > 0$.

Вычислим интеграл:

$S = \int_{0}^{2} (x^3 + 2) dx$

Находим первообразную для подынтегральной функции:

$F(x) = \int (x^3 + 2) dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + 2x = \frac{x^4}{4} + 2x$

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$S = F(2) - F(0) = \left. \left( \frac{x^4}{4} + 2x \right) \right|_{0}^{2} = \left( \frac{2^4}{4} + 2 \cdot 2 \right) - \left( \frac{0^4}{4} + 2 \cdot 0 \right)$

$S = \left( \frac{16}{4} + 4 \right) - 0 = (4 + 4) = 8$

Ответ: 8

б)

Задача состоит в том, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной параболой $y = -x^2 + 4x$ и осью абсцисс ($y = 0$).

Сначала найдем пределы интегрирования. Это абсциссы точек пересечения данных линий. Для этого решим уравнение:

$-x^2 + 4x = 0$

Вынесем общий множитель $-x$ за скобки:

$-x(x - 4) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$. Это и будут пределы интегрирования.

График функции $y = -x^2 + 4x$ — это парабола, ветви которой направлены вниз. На интервале $(0, 4)$ функция принимает положительные значения (например, при $x=2$, $y = -2^2 + 4 \cdot 2 = -4 + 8 = 4 > 0$). Следовательно, на этом отрезке график функции находится выше оси $Ox$.

Площадь фигуры вычисляется по формуле:

$S = \int_{0}^{4} (-x^2 + 4x) dx$

Находим первообразную для подынтегральной функции:

$F(x) = \int (-x^2 + 4x) dx = -\frac{x^3}{3} + 4\frac{x^2}{2} = -\frac{x^3}{3} + 2x^2$

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$S = F(4) - F(0) = \left. \left( -\frac{x^3}{3} + 2x^2 \right) \right|_{0}^{4} = \left( -\frac{4^3}{3} + 2 \cdot 4^2 \right) - \left( -\frac{0^3}{3} + 2 \cdot 0^2 \right)$

$S = \left( -\frac{64}{3} + 2 \cdot 16 \right) - 0 = -\frac{64}{3} + 32 = -\frac{64}{3} + \frac{96}{3} = \frac{32}{3}$

Ответ: $\frac{32}{3}$

49.15 a) $y = 1 + \frac{1}{2}\cos x, y = 0, x = -\frac{\pi}{2}, x = \frac{\pi}{2};$

б) $y = 1 - \sin 2x, y = 0, x = 0, x = \pi.$

а) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = 1 + \frac{1}{2}\cos x$, $y = 0$, $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{2}$, необходимо вычислить определенный интеграл. Площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле $S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$, если $f(x) \ge 0$ на отрезке $[a, b]$.
В нашем случае $f(x) = 1 + \frac{1}{2}\cos x$. Проверим знак функции на отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Поскольку значение $\cos x$ находится в пределах от -1 до 1, то $\frac{1}{2}\cos x$ находится в пределах от $-\frac{1}{2}$ до $\frac{1}{2}$. Тогда $1 + \frac{1}{2}\cos x$ находится в пределах от $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ до $1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$. Так как функция на всем отрезке положительна, можно применять формулу.
Вычислим интеграл:
$S = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (1 + \frac{1}{2}\cos x) \,dx$
Первообразная для подынтегральной функции $f(x) = 1 + \frac{1}{2}\cos x$ равна $F(x) = x + \frac{1}{2}\sin x$.
По формуле Ньютона-Лейбница:
$S = F(\frac{\pi}{2}) - F(-\frac{\pi}{2}) = \left(\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) - \left(-\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)$
Так как $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ и $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$, подставляем эти значения:
$S = \left(\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1\right) - \left(-\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \cdot (-1)\right) = \left(\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} = \pi + 1$
Ответ: $\pi + 1$.

б) Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 1 - \sin(2x)$, $y = 0$, $x = 0$ и $x = \pi$.
Проверим знак функции $f(x) = 1 - \sin(2x)$ на отрезке $[0, \pi]$. Значение $\sin(2x)$ находится в пределах от -1 до 1. Тогда $1 - \sin(2x)$ находится в пределах от $1 - 1 = 0$ до $1 - (-1) = 2$. Так как функция на всем отрезке неотрицательна ($f(x) \ge 0$), площадь вычисляется как определенный интеграл.
Вычислим интеграл:
$S = \int_{0}^{\pi} (1 - \sin(2x)) \,dx$
Первообразная для подынтегральной функции $f(x) = 1 - \sin(2x)$ равна $F(x) = x - (-\frac{1}{2}\cos(2x)) = x + \frac{1}{2}\cos(2x)$.
По формуле Ньютона-Лейбница:
$S = F(\pi) - F(0) = \left(\pi + \frac{1}{2}\cos(2\pi)\right) - \left(0 + \frac{1}{2}\cos(0)\right)$
Так как $\cos(2\pi) = 1$ и $\cos(0) = 1$, подставляем эти значения:
$S = \left(\pi + \frac{1}{2} \cdot 1\right) - \left(0 + \frac{1}{2} \cdot 1\right) = \pi + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = \pi$
Ответ: $\pi$.

49.10 Вычислите $\int_{-2}^{3} f(x)dx$, если график функции $y = f(x)$ изображён на:

а) рис. 68;

б) рис. 69.

Рис. 68

Рис. 69

Определенный интеграл $ \int_{a}^{b} f(x)dx $ геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $ y=f(x) $, осью абсцисс $ (y=0) $ и вертикальными прямыми $ x=a $ и $ x=b $. Поскольку на обоих рисунках функция $ f(x) $ неотрицательна на отрезке интегрирования, значение интеграла равно площади соответствующей фигуры.

а) рис. 68;

Для вычисления интеграла $ \int_{-2}^{3} f(x)dx $ найдем площадь фигуры, ограниченной графиком функции на рис. 68, осью $Ox$ и прямыми $x=-2$ и $x=3$.

Эту фигуру можно разбить на две более простые:
1. Прямоугольную трапецию на отрезке $ [-2, 1] $.
2. Прямоугольник на отрезке $ [1, 3] $.

1. Найдем площадь трапеции $ S_1 $. Основания трапеции равны значениям функции в точках $ x=-2 $ и $ x=1 $. Из графика находим: $ f(-2) = 4 $ и $ f(1) = 1 $. Высота трапеции равна длине отрезка $ [-2, 1] $, то есть $ h_1 = 1 - (-2) = 3 $.
Площадь трапеции вычисляется по формуле $ S = \frac{a+b}{2}h $, где $ a $ и $ b $ – основания, $ h $ – высота.
$ S_1 = \frac{f(-2) + f(1)}{2} \cdot h_1 = \frac{4+1}{2} \cdot 3 = \frac{5}{2} \cdot 3 = \frac{15}{2} = 7,5 $.

2. Найдем площадь прямоугольника $ S_2 $ на отрезке $ [1, 3] $. Высота прямоугольника постоянна и равна $ f(x) = 1 $. Ширина прямоугольника равна длине отрезка $ [1, 3] $, то есть $ w_2 = 3 - 1 = 2 $.
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:
$ S_2 = 1 \cdot 2 = 2 $.

Общая площадь, равная значению интеграла, является суммой площадей трапеции и прямоугольника:
$ \int_{-2}^{3} f(x)dx = S_1 + S_2 = 7,5 + 2 = 9,5 $.

Ответ: $9,5$.

б) рис. 69.

Для вычисления интеграла $ \int_{-2}^{3} f(x)dx $ найдем площадь фигуры, ограниченной графиком функции на рис. 69, осью $Ox$ и прямыми $x=-2$ и $x=3$.

Эту фигуру можно разбить на два прямоугольных треугольника, так как график пересекает ось $Ox$ в точке $x=1$.
1. Первый треугольник на отрезке $ [-2, 1] $.
2. Второй треугольник на отрезке $ [1, 3] $.

1. Найдем площадь первого треугольника $ S_1 $. Его катеты – это отрезок на оси $Ox$ от $x=-2$ до $x=1$ и вертикальный отрезок от оси $Ox$ до точки графика при $x=-2$.
Длина первого катета (основания) равна $ b_1 = 1 - (-2) = 3 $.
Длина второго катета (высоты) равна значению функции в точке $x=-2$: $ h_1 = f(-2) = 3 $.
Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле $ S = \frac{1}{2}bh $.
$ S_1 = \frac{1}{2} \cdot b_1 \cdot h_1 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \frac{9}{2} = 4,5 $.

2. Найдем площадь второго треугольника $ S_2 $ на отрезке $ [1, 3] $. Его катеты – это отрезок на оси $Ox$ от $x=1$ до $x=3$ и вертикальный отрезок от оси $Ox$ до точки графика при $x=3$.
Длина первого катета (основания) равна $ b_2 = 3 - 1 = 2 $.
Длина второго катета (высоты) равна значению функции в точке $x=3$: $ h_2 = f(3) = 2 $.
$ S_2 = \frac{1}{2} \cdot b_2 \cdot h_2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2 $.

Общая площадь, равная значению интеграла, является суммой площадей двух треугольников:
$ \int_{-2}^{3} f(x)dx = S_1 + S_2 = 4,5 + 2 = 6,5 $.

Ответ: $6,5$.

49.13 a) $y = \frac{1}{x^2}$, $y = 0$, $x = 1$, $x = 2$;

б) $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$, $y = 0$, $x = 1$, $x = 9$.

а)

Задача состоит в нахождении площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y = \frac{1}{x^2}$, осью абсцисс ($y = 0$) и вертикальными прямыми $x = 1$ и $x = 2$. Площадь такой фигуры вычисляется с помощью определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница: $S = \int_{a}^{b} f(x) dx$.

В данном случае $f(x) = \frac{1}{x^2}$, $a = 1$ и $b = 2$. На отрезке $[1, 2]$ функция $f(x) = \frac{1}{x^2}$ является непрерывной и неотрицательной ($f(x) \ge 0$).

Вычислим интеграл: $S = \int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} dx = \int_{1}^{2} x^{-2} dx$.

Первообразная для функции $f(x) = x^{-2}$ находится по формуле для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$: $F(x) = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$.

Подставляем пределы интегрирования в первообразную: $S = [-\frac{1}{x}]_{1}^{2} = (-\frac{1}{2}) - (-\frac{1}{1}) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

б)

Необходимо найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$, $y = 0$, $x = 1$ и $x = 9$. Аналогично предыдущему пункту, площадь вычисляется как определенный интеграл от функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ в пределах от $a=1$ до $b=9$.

На отрезке $[1, 9]$ функция $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ является непрерывной и неотрицательной.

Вычисляем площадь: $S = \int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \int_{1}^{9} x^{-1/2} dx$.

Найдем первообразную для $f(x) = x^{-1/2}$: $F(x) = \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} = \frac{x^{1/2}}{1/2} = 2x^{1/2} = 2\sqrt{x}$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница: $S = [2\sqrt{x}]_{1}^{9} = 2\sqrt{9} - 2\sqrt{1} = 2 \cdot 3 - 2 \cdot 1 = 6 - 2 = 4$.

Ответ: 4

1. Чему равна производная функции:

a) $y = \sqrt{x}$;

б) $y = \sin x$;

в) $y = \cos x$?

а) Для нахождения производной функции $y = \sqrt{x}$ сначала представим ее в виде степенной функции: $y = x^{1/2}$. Затем применим правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$. В данном случае показатель степени $n = 1/2$.
$y' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2} \cdot x^{1/2 - 1} = \frac{1}{2} \cdot x^{-1/2}$
Преобразуем выражение с отрицательной степенью: $x^{-1/2} = \frac{1}{x^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$.
В результате получаем: $y' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
Ответ: $y' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

б) Производная функции $y = \sin x$ является одной из стандартных производных в таблице производных элементарных функций. Производная функции синус равна косинусу.
$y' = (\sin x)' = \cos x$
Ответ: $y' = \cos x$

в) Производная функции $y = \cos x$ также является табличной. Согласно правилам дифференцирования, производная функции косинус равна минус синусу.
$y' = (\cos x)' = -\sin x$
Ответ: $y' = -\sin x$

2. Объясните, почему касательная к графику функции $y = \sin x$ в точке $x = 0$ составляет с положительным направлением оси абсцисс угол $45^\circ$.

2.

Объяснение основывается на геометрическом смысле производной. Значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту $k$ касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Угловой коэффициент, в свою очередь, равен тангенсу угла $\alpha$, который касательная образует с положительным направлением оси абсцисс (оси Ox).

Таким образом, справедливо соотношение: $k = \tan \alpha = f'(x_0)$.

В нашей задаче рассматривается функция $f(x) = y = \sin x$ в точке $x_0 = 0$.

1. Найдем производную функции $y = \sin x$:
$y' = (\sin x)' = \cos x$.

2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$. Это даст нам угловой коэффициент $k$ касательной в этой точке:
$k = y'(0) = \cos(0)$.

3. Мы знаем, что значение косинуса нуля равно единице:
$k = \cos(0) = 1$.

4. Теперь, зная угловой коэффициент, мы можем найти угол наклона $\alpha$, решив уравнение:
$\tan \alpha = k = 1$.
Из тригонометрии известно, что острый угол, тангенс которого равен 1, — это $45^\circ$ (или $\frac{\pi}{4}$ радиан).
$\alpha = \arctan(1) = 45^\circ$.

Именно поэтому касательная к графику функции $y = \sin x$ в точке $x = 0$ составляет с положительным направлением оси абсцисс угол $45^\circ$.

Ответ: Угол наклона касательной к графику функции в точке $x_0$ определяется тангенсом этого угла, который равен значению производной функции $y'(x_0)$ в этой точке. Для функции $y = \sin x$ производная равна $y' = \cos x$. В точке $x_0 = 0$ значение производной $y'(0) = \cos(0) = 1$. Так как $\tan(45^\circ) = 1$, то угол наклона касательной составляет $45^\circ$.

3. Объясните, почему касательная к графику функции $y = \cos x$ в точке $x = \frac{\pi}{2}$ составляет с положительным направлением оси абсцисс угол $135^\circ$.

Угол $\alpha$, который касательная к графику функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ составляет с положительным направлением оси абсцисс, связан с производной функции в этой точке. По геометрическому смыслу производной, тангенс этого угла равен значению производной в точке касания: $\tan \alpha = f'(x_0)$.

Для решения задачи необходимо выполнить следующие действия:

1. Найти производную функции $y = \cos x$.
Производная функции косинуса равна минус синусу: $y' = (\cos x)' = -\sin x$.

2. Вычислить значение производной в точке касания $x_0 = \frac{\pi}{2}$. Это значение равно угловому коэффициенту $k$ касательной, который, в свою очередь, равен тангенсу искомого угла $\alpha$.
$k = y'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)$.

3. Зная, что значение синуса от $\frac{\pi}{2}$ равно 1, т.е. $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$, получаем значение углового коэффициента:
$k = -1$.

4. Найти угол $\alpha$ из уравнения $\tan \alpha = k$.
$\tan \alpha = -1$.
Угол, тангенс которого равен $-1$ и который находится в стандартном диапазоне для угла наклона прямой ($0^\circ \le \alpha < 180^\circ$), равен $135^\circ$.

Таким образом, мы подтвердили, что касательная к графику функции $y = \cos x$ в точке $x = \frac{\pi}{2}$ составляет с положительным направлением оси абсцисс угол $135^\circ$.

Ответ: Производная функции $y = \cos x$ равна $y' = -\sin x$. В точке $x = \frac{\pi}{2}$ значение производной, которое равно тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси Ox, составляет $y'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1$. Уравнение $\tan \alpha = -1$ для угла $\alpha$ из диапазона $[0^\circ, 180^\circ)$ имеет решение $\alpha = 135^\circ$.

4. Сформулируйте правило вычисления производной суммы двух функций.

Правило вычисления производной суммы двух функций, также известное как свойство линейности дифференцирования, гласит, что производная суммы двух или более дифференцируемых функций равна сумме их производных.

Сформулировать правило можно следующим образом: производная суммы двух функций равна сумме их производных.

Для двух дифференцируемых функций $u(x)$ и $v(x)$ их сумма $f(x) = u(x) + v(x)$ также является дифференцируемой функцией, и ее производная находится по формуле:

$(u(x) + v(x))' = u'(x) + v'(x)$

Доказательство данного правила основывается на определении производной. По определению, производная функции $f(x)$ в точке $x$ есть предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

Пусть $f(x) = u(x) + v(x)$. Подставим это выражение в определение производной:

$(u(x) + v(x))' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(u(x + \Delta x) + v(x + \Delta x)) - (u(x) + v(x))}{\Delta x}$

Перегруппируем члены в числителе, чтобы выделить приращения функций $u(x)$ и $v(x)$:

$(u(x) + v(x))' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(u(x + \Delta x) - u(x)) + (v(x + \Delta x) - v(x))}{\Delta x}$

Теперь разделим дробь на сумму двух дробей:

$(u(x) + v(x))' = \lim_{\Delta x \to 0} \left( \frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x} + \frac{v(x + \Delta x) - v(x)}{\Delta x} \right)$

Согласно свойству предела суммы, предел суммы равен сумме пределов (если они существуют):

$(u(x) + v(x))' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x} + \lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x + \Delta x) - v(x)}{\Delta x}$

Каждый из полученных пределов по определению является производной функций $u(x)$ и $v(x)$ соответственно:

$u'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x}$

$v'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x + \Delta x) - v(x)}{\Delta x}$

Таким образом, мы получаем итоговую формулу:

$(u(x) + v(x))' = u'(x) + v'(x)$

Правило доказано. Оно также справедливо для суммы любого конечного числа функций.

Ответ: Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. Если $u(x)$ и $v(x)$ — дифференцируемые функции, то $(u(x) + v(x))' = u'(x) + v'(x)$.