Страница 190, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Составьте уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$:

47.19 а) $f(x) = x^5 - \ln x, a = 1;$

в) $f(x) = -2x \ln x, a = e;$

б) $f(x) = \frac{\ln x}{x^2}, a = 1;$

г) $f(x) = \sqrt[3]{x} \ln x, a = 1.$

Общая формула уравнения касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$ имеет вид:

$y = f(a) + f'(a)(x - a)$

Для каждого случая необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти значение функции в точке касания $f(a)$.
2. Найти производную функции $f'(x)$.
3. Найти значение производной в точке касания $f'(a)$, которое является угловым коэффициентом касательной.
4. Подставить найденные значения $a$, $f(a)$ и $f'(a)$ в общую формулу уравнения касательной и упростить его.

а) Дана функция $f(x) = x^5 - \ln x$ и точка $a = 1$.

1. Найдем значение функции в точке $a=1$:
$f(1) = 1^5 - \ln 1 = 1 - 0 = 1$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (x^5 - \ln x)' = (x^5)' - (\ln x)' = 5x^4 - \frac{1}{x}$.

3. Найдем значение производной в точке $a=1$:
$f'(1) = 5 \cdot 1^4 - \frac{1}{1} = 5 - 1 = 4$.

4. Подставим найденные значения $a=1$, $f(1)=1$ и $f'(1)=4$ в уравнение касательной:
$y = f(1) + f'(1)(x - 1)$
$y = 1 + 4(x - 1)$.

5. Упростим уравнение:
$y = 1 + 4x - 4$
$y = 4x - 3$.
Ответ: $y = 4x - 3$.

б) Дана функция $f(x) = \frac{\ln x}{x^2}$ и точка $a = 1$.

1. Найдем значение функции в точке $a=1$:
$f(1) = \frac{\ln 1}{1^2} = \frac{0}{1} = 0$.

2. Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$f'(x) = \left(\frac{\ln x}{x^2}\right)' = \frac{(\ln x)' \cdot x^2 - \ln x \cdot (x^2)'}{(x^2)^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x^2 - \ln x \cdot 2x}{x^4} = \frac{x - 2x \ln x}{x^4} = \frac{1 - 2 \ln x}{x^3}$.

3. Найдем значение производной в точке $a=1$:
$f'(1) = \frac{1 - 2 \ln 1}{1^3} = \frac{1 - 2 \cdot 0}{1} = 1$.

4. Подставим найденные значения $a=1$, $f(1)=0$ и $f'(1)=1$ в уравнение касательной:
$y = f(1) + f'(1)(x - 1)$
$y = 0 + 1(x - 1)$.

5. Упростим уравнение:
$y = x - 1$.
Ответ: $y = x - 1$.

в) Дана функция $f(x) = -2x \ln x$ и точка $a = e$.

1. Найдем значение функции в точке $a=e$ (где $e$ - основание натурального логарифма, $\ln e = 1$):
$f(e) = -2e \ln e = -2e \cdot 1 = -2e$.

2. Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:
$f'(x) = (-2x \ln x)' = (-2x)' \cdot \ln x + (-2x) \cdot (\ln x)' = -2 \cdot \ln x - 2x \cdot \frac{1}{x} = -2 \ln x - 2 = -2(\ln x + 1)$.

3. Найдем значение производной в точке $a=e$:
$f'(e) = -2(\ln e + 1) = -2(1 + 1) = -4$.

4. Подставим найденные значения $a=e$, $f(e)=-2e$ и $f'(e)=-4$ в уравнение касательной:
$y = f(e) + f'(e)(x - e)$
$y = -2e + (-4)(x - e)$.

5. Упростим уравнение:
$y = -2e - 4x + 4e$
$y = -4x + 2e$.
Ответ: $y = -4x + 2e$.

г) Дана функция $f(x) = \sqrt[3]{x} \ln x$ и точка $a = 1$.

1. Представим функцию в виде $f(x) = x^{1/3} \ln x$ и найдем ее значение в точке $a=1$:
$f(1) = 1^{1/3} \ln 1 = 1 \cdot 0 = 0$.

2. Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования произведения:
$f'(x) = (x^{1/3} \ln x)' = (x^{1/3})' \cdot \ln x + x^{1/3} \cdot (\ln x)' = \frac{1}{3}x^{1/3 - 1} \ln x + x^{1/3} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{3}x^{-2/3} \ln x + x^{1/3 - 1} = \frac{\ln x}{3x^{2/3}} + x^{-2/3}$.

3. Найдем значение производной в точке $a=1$:
$f'(1) = \frac{\ln 1}{3 \cdot 1^{2/3}} + 1^{-2/3} = \frac{0}{3} + 1 = 1$.

4. Подставим найденные значения $a=1$, $f(1)=0$ и $f'(1)=1$ в уравнение касательной:
$y = f(1) + f'(1)(x - 1)$
$y = 0 + 1(x - 1)$.

5. Упростим уравнение:
$y = x - 1$.
Ответ: $y = x - 1$.

47.22 a) $y = 2 \ln x^3 - 5x + \frac{x^2}{2}$;

б) $y = \ln \frac{1}{x^3} + x^2 + x + 3.$

а)

Дана функция: $y = 2 \ln x^3 - 5x + \frac{x^2}{2}$.

Для нахождения производной $y'$ сначала упростим функцию, используя свойство логарифма $\ln a^b = b \ln a$:

$y = 2 \cdot (3 \ln x) - 5x + \frac{1}{2}x^2 = 6 \ln x - 5x + \frac{1}{2}x^2$.

Теперь найдем производную как сумму производных каждого слагаемого:

$y' = (6 \ln x)' - (5x)' + (\frac{1}{2}x^2)'$.

Используя табличные производные $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ и $(x^n)' = n x^{n-1}$, получаем:

$y' = 6 \cdot \frac{1}{x} - 5 + \frac{1}{2} \cdot 2x = \frac{6}{x} - 5 + x$.

Ответ: $y' = x - 5 + \frac{6}{x}$.

б)

Дана функция: $y = \ln \frac{1}{x^3} + x^2 + x + 3$.

Упростим функцию, используя свойства логарифма $\ln \frac{1}{a^b} = \ln(a^{-b}) = -b \ln a$:

$y = -3 \ln x + x^2 + x + 3$.

Найдем производную как сумму производных каждого слагаемого:

$y' = (-3 \ln x)' + (x^2)' + (x)' + (3)'$.

Используя табличные производные, а также то, что производная константы равна нулю, получаем:

$y' = -3 \cdot \frac{1}{x} + 2x + 1 + 0 = 2x + 1 - \frac{3}{x}$.

Ответ: $y' = 2x + 1 - \frac{3}{x}$.

Найдите значение производной заданной функции в указанной точке:

47.17 а) $y = \ln x + x, x_0 = \frac{1}{7}$;

б) $y = x^3 \ln x, x_0 = e$;

в) $y = x^2 - \ln x, x_0 = 0,5$;

г) $y = \frac{\ln x}{x}, x_0 = 1$.

а) Дана функция $y = \ln x + x$ и точка $x_0 = \frac{1}{7}$.
Чтобы найти значение производной в точке, сначала необходимо найти саму производную функции. Используем правило дифференцирования суммы функций $(u+v)' = u' + v'$.
$y' = (\ln x + x)' = (\ln x)' + (x)'$
Производная натурального логарифма $(\ln x)' = \frac{1}{x}$, а производная $x$ равна $(x)' = 1$.
Таким образом, производная функции равна:
$y' = \frac{1}{x} + 1$
Теперь подставим значение $x_0 = \frac{1}{7}$ в выражение для производной:
$y'(\frac{1}{7}) = \frac{1}{1/7} + 1 = 7 + 1 = 8$
Ответ: 8

б) Дана функция $y = x^3 \ln x$ и точка $x_0 = e$.
Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования произведения функций $(uv)' = u'v + uv'$. В нашем случае $u = x^3$, а $v = \ln x$.
$y' = (x^3 \ln x)' = (x^3)' \cdot \ln x + x^3 \cdot (\ln x)'$
Находим производные сомножителей: $(x^3)' = 3x^2$ и $(\ln x)' = \frac{1}{x}$.
Подставляем их в формулу производной произведения:
$y' = 3x^2 \ln x + x^3 \cdot \frac{1}{x} = 3x^2 \ln x + x^2$
Можно вынести общий множитель $x^2$ за скобки: $y' = x^2(3\ln x + 1)$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = e$. Вспомним, что $\ln e = 1$.
$y'(e) = e^2(3 \ln e + 1) = e^2(3 \cdot 1 + 1) = e^2 \cdot 4 = 4e^2$
Ответ: $4e^2$

в) Дана функция $y = x^2 - \ln x$ и точка $x_0 = 0,5$.
Найдем производную функции, используя правило дифференцирования разности функций $(u-v)' = u' - v'$.
$y' = (x^2 - \ln x)' = (x^2)' - (\ln x)'$
Производная степенной функции $(x^2)' = 2x$, а производная натурального логарифма $(\ln x)' = \frac{1}{x}$.
Следовательно, производная функции:
$y' = 2x - \frac{1}{x}$
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0,5$.
$y'(0,5) = 2 \cdot 0,5 - \frac{1}{0,5} = 1 - 2 = -1$
Ответ: -1

г) Дана функция $y = \frac{\ln x}{x}$ и точка $x_0 = 1$.
Для нахождения производной используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. В данном случае $u = \ln x$, а $v = x$.
$y' = \left(\frac{\ln x}{x}\right)' = \frac{(\ln x)' \cdot x - \ln x \cdot (x)'}{x^2}$
Находим производные числителя и знаменателя: $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ и $(x)' = 1$.
Подставляем в формулу:
$y' = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$. Вспомним, что $\ln 1 = 0$.
$y'(1) = \frac{1 - \ln 1}{1^2} = \frac{1 - 0}{1} = 1$
Ответ: 1

47.20 a) $y = xe^{2x-1}, a = \frac{1}{2};$

Б) $y = \frac{x^2-1}{e^3-x}, a = 2;$

В) $y = x^3 \ln x, a = e;$

Г) $y = (2x+1)e^{1-2x}, a = \frac{1}{2}.$

а)

Чтобы найти значение производной функции $y = xe^{2x-1}$ в точке $a = \frac{1}{2}$, необходимо сначала найти общую формулу для производной $y'(x)$, а затем подставить в нее значение $x=a$.

Данная функция является произведением двух функций: $u(x) = x$ и $v(x) = e^{2x-1}$. Для нахождения ее производной воспользуемся правилом дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Найдем производные для каждой из функций:

$u'(x) = (x)' = 1$

Для нахождения производной $v'(x) = (e^{2x-1})'$ применяется правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Производная внешней функции $(e^t)'$ равна $e^t$, а производная внутренней функции $(2x-1)'$ равна 2.

$v'(x) = (e^{2x-1})' = e^{2x-1} \cdot (2x-1)' = 2e^{2x-1}$

Теперь, подставив найденные производные в формулу для производной произведения, получим:

$y'(x) = (x)' \cdot e^{2x-1} + x \cdot (e^{2x-1})' = 1 \cdot e^{2x-1} + x \cdot 2e^{2x-1} = e^{2x-1}(1 + 2x)$

Наконец, вычислим значение производной в точке $a = \frac{1}{2}$:

$y'(\frac{1}{2}) = e^{2 \cdot \frac{1}{2} - 1}(1 + 2 \cdot \frac{1}{2}) = e^{1-1}(1+1) = e^0 \cdot 2 = 1 \cdot 2 = 2$

Ответ: 2

б)

Чтобы найти значение производной функции $y = \frac{x^2-1}{e^{3-x}}$ в точке $a = 2$, сначала найдем ее производную $y'(x)$, а затем подставим значение $x=a$.

Данная функция является частным двух функций: $u(x) = x^2-1$ и $v(x) = e^{3-x}$. Для нахождения ее производной воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Найдем производные для числителя и знаменателя:

$u'(x) = (x^2-1)' = 2x$

Для нахождения производной $v'(x) = (e^{3-x})'$ применяется цепное правило. Производная внешней функции $(e^t)'$ равна $e^t$, а производная внутренней функции $(3-x)'$ равна -1.

$v'(x) = (e^{3-x})' = e^{3-x} \cdot (3-x)' = -e^{3-x}$

Подставим найденные производные в формулу для производной частного:

$y'(x) = \frac{(x^2-1)' \cdot e^{3-x} - (x^2-1) \cdot (e^{3-x})'}{(e^{3-x})^2} = \frac{2x \cdot e^{3-x} - (x^2-1) \cdot (-e^{3-x})}{(e^{3-x})^2}$

Упростим полученное выражение:

$y'(x) = \frac{2xe^{3-x} + (x^2-1)e^{3-x}}{(e^{3-x})^2} = \frac{e^{3-x}(2x + x^2 - 1)}{e^{2(3-x)}} = \frac{x^2+2x-1}{e^{3-x}}$

Теперь вычислим значение производной в точке $a=2$:

$y'(2) = \frac{2^2 + 2 \cdot 2 - 1}{e^{3-2}} = \frac{4+4-1}{e^1} = \frac{7}{e}$

Ответ: $\frac{7}{e}$

в)

Чтобы найти значение производной функции $y = x^3 \ln x$ в точке $a = e$, сначала найдем ее производную $y'(x)$, а затем подставим значение $x=a$.

Данная функция является произведением двух функций: $u(x) = x^3$ и $v(x) = \ln x$. Воспользуемся правилом дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Найдем производные для каждой из функций:

$u'(x) = (x^3)' = 3x^2$

$v'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$

Подставим найденные производные в формулу для производной произведения:

$y'(x) = (x^3)' \cdot \ln x + x^3 \cdot (\ln x)' = 3x^2 \ln x + x^3 \cdot \frac{1}{x} = 3x^2 \ln x + x^2$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки для упрощения:

$y'(x) = x^2(3\ln x + 1)$

Теперь вычислим значение производной в точке $a=e$. При этом учтем, что $\ln e = 1$.

$y'(e) = e^2(3\ln e + 1) = e^2(3 \cdot 1 + 1) = e^2(4) = 4e^2$

Ответ: $4e^2$

г)

Чтобы найти значение производной функции $y = (2x+1)e^{1-2x}$ в точке $a = \frac{1}{2}$, сначала найдем ее производную $y'(x)$, а затем подставим значение $x=a$.

Данная функция является произведением двух функций: $u(x) = 2x+1$ и $v(x) = e^{1-2x}$. Воспользуемся правилом дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Найдем производные для каждой из функций:

$u'(x) = (2x+1)' = 2$

Для нахождения производной $v'(x) = (e^{1-2x})'$ применяется цепное правило. Производная внешней функции $(e^t)'$ равна $e^t$, а производная внутренней функции $(1-2x)'$ равна -2.

$v'(x) = (e^{1-2x})' = e^{1-2x} \cdot (1-2x)' = -2e^{1-2x}$

Подставим найденные производные в формулу для производной произведения:

$y'(x) = (2x+1)' \cdot e^{1-2x} + (2x+1) \cdot (e^{1-2x})' = 2e^{1-2x} + (2x+1)(-2e^{1-2x})$

Упростим выражение, вынеся общий множитель $2e^{1-2x}$ за скобки:

$y'(x) = 2e^{1-2x}(1 - (2x+1)) = 2e^{1-2x}(1 - 2x - 1) = 2e^{1-2x}(-2x) = -4xe^{1-2x}$

Теперь вычислим значение производной в точке $a = \frac{1}{2}$:

$y'(\frac{1}{2}) = -4 \cdot \frac{1}{2} \cdot e^{1-2 \cdot \frac{1}{2}} = -2 \cdot e^{1-1} = -2 \cdot e^0 = -2 \cdot 1 = -2$

Ответ: -2

47.23 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции

$y = x - \ln x$ на заданном отрезке:

а) $[\frac{1}{e}; e]$; б) $[e; e^2]$.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на отрезке используется следующий алгоритм:
1. Найти производную функции $y'(x)$.
2. Найти критические точки функции, решив уравнение $y'(x)=0$ и найдя точки, где производная не существует.
3. Выбрать критические точки, принадлежащие заданному отрезку.
4. Вычислить значения функции в этих критических точках и на концах отрезка.
5. Сравнить полученные значения и выбрать из них наименьшее и наибольшее.

Дана функция: $y = x - \ln x$.

1. Найдем производную функции:

$y' = (x - \ln x)' = 1 - \frac{1}{x}$.

2. Найдем критические точки. Производная существует для всех $x > 0$ (область определения функции). Приравняем производную к нулю:

$1 - \frac{1}{x} = 0$

$\frac{1}{x} = 1$

$x = 1$

Таким образом, у нас есть одна критическая точка $x=1$.

а) Рассмотрим отрезок $[\frac{1}{e}; e]$.

3. Проверим, принадлежит ли критическая точка $x=1$ данному отрезку. Так как $e \approx 2.718$, то $\frac{1}{e} \approx 0.368$. Отрезок приблизительно равен $[0.368; 2.718]$. Точка $x=1$ принадлежит этому отрезку.

4. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке:

• При $x = \frac{1}{e}$: $y(\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} - \ln(\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} - (-1) = 1 + \frac{1}{e}$.
• При $x = 1$: $y(1) = 1 - \ln(1) = 1 - 0 = 1$.
• При $x = e$: $y(e) = e - \ln(e) = e - 1$.

5. Сравним полученные значения: $1 + \frac{1}{e}$, $1$ и $e-1$.

Учитывая, что $e \approx 2.718$:
$1 + \frac{1}{e} \approx 1 + 0.368 = 1.368$
$e - 1 \approx 2.718 - 1 = 1.718$
Следовательно, $1 < 1 + \frac{1}{e} < e-1$.

Наименьшее значение функции на отрезке $y_{\text{наим}} = 1$, а наибольшее $y_{\text{наиб}} = e-1$.

Ответ: наименьшее значение $y_{\text{наим}} = 1$, наибольшее значение $y_{\text{наиб}} = e - 1$.

б) Рассмотрим отрезок $[e; e^2]$.

3. Проверим, принадлежит ли критическая точка $x=1$ данному отрезку. Так как $e \approx 2.718$, отрезок начинается со значения, большего 1. Следовательно, точка $x=1$ не принадлежит отрезку $[e; e^2]$.

В этом случае для нахождения наименьшего и наибольшего значений достаточно вычислить значения функции только на концах отрезка.

Другой способ: исследуем поведение функции на отрезке. Для любого $x$ из отрезка $[e; e^2]$ выполняется неравенство $x > 1$. Тогда $\frac{1}{x} < 1$, и производная $y' = 1 - \frac{1}{x} > 0$. Это означает, что функция на данном отрезке монотонно возрастает.
Следовательно, наименьшее значение функция принимает в левой точке отрезка, а наибольшее — в правой.

4. Вычислим значения функции на концах отрезка:

• При $x = e$: $y(e) = e - \ln(e) = e - 1$.
• При $x = e^2$: $y(e^2) = e^2 - \ln(e^2) = e^2 - 2$.

5. Наименьшее значение функции на отрезке $y_{\text{наим}} = e - 1$, а наибольшее $y_{\text{наиб}} = e^2 - 2$.

Ответ: наименьшее значение $y_{\text{наим}} = e - 1$, наибольшее значение $y_{\text{наиб}} = e^2 - 2$.

47.18 a) $y = \ln (2x + 2)$, $x_0 = -\frac{1}{4}$;

б) $y = \ln (5 - 2x)$, $x = 2$.

а) Предположим, что задача состоит в нахождении уравнения касательной к графику функции в заданной точке. Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Для функции $f(x) = \ln(2x + 2)$ и точки $x_0 = -\frac{1}{4}$ выполним следующие шаги:

1. Найдём значение функции в точке $x_0$:

$f(-\frac{1}{4}) = \ln(2 \cdot (-\frac{1}{4}) + 2) = \ln(-\frac{1}{2} + 2) = \ln(\frac{3}{2})$.

2. Найдём производную функции $f(x)$, используя правило производной сложной функции:

$f'(x) = (\ln(2x + 2))' = \frac{1}{2x + 2} \cdot (2x + 2)' = \frac{1}{2x + 2} \cdot 2 = \frac{2}{2(x + 1)} = \frac{1}{x + 1}$.

3. Вычислим значение производной в точке $x_0$, которое является угловым коэффициентом касательной:

$f'(-\frac{1}{4}) = \frac{1}{-\frac{1}{4} + 1} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}$.

4. Подставим найденные значения $f(x_0) = \ln(\frac{3}{2})$ и $f'(x_0) = \frac{4}{3}$ в уравнение касательной и упростим его:

$y = \ln(\frac{3}{2}) + \frac{4}{3}(x - (-\frac{1}{4}))$

$y = \ln(\frac{3}{2}) + \frac{4}{3}(x + \frac{1}{4})$

$y = \ln(\frac{3}{2}) + \frac{4}{3}x + \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{4}$

$y = \frac{4}{3}x + \frac{1}{3} + \ln(\frac{3}{2})$

Ответ: $y = \frac{4}{3}x + \frac{1}{3} + \ln(\frac{3}{2})$.

б) Аналогично найдём уравнение касательной для функции $f(x) = \ln(5 - 2x)$ в точке $x_0 = 2$.

1. Найдём значение функции в точке $x_0$:

$f(2) = \ln(5 - 2 \cdot 2) = \ln(5 - 4) = \ln(1) = 0$.

2. Найдём производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\ln(5 - 2x))' = \frac{1}{5 - 2x} \cdot (5 - 2x)' = \frac{1}{5 - 2x} \cdot (-2) = -\frac{2}{5 - 2x}$.

3. Вычислим значение производной в точке $x_0$:

$f'(2) = -\frac{2}{5 - 2 \cdot 2} = -\frac{2}{5 - 4} = -\frac{2}{1} = -2$.

4. Подставим найденные значения $f(x_0) = 0$ и $f'(x_0) = -2$ в уравнение касательной:

$y = 0 + (-2)(x - 2)$

$y = -2(x - 2)$

$y = -2x + 4$

Ответ: $y = -2x + 4$.

Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы:

47.21 a) $y = x + \ln \frac{1}{x};$

б) $y = x^4 - 4 \ln x.$

a) $y = x + \ln \frac{1}{x}$

1. Найдём область определения функции.

Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$\frac{1}{x} > 0$

Это неравенство выполняется, когда $x > 0$.

Таким образом, область определения функции: $D(y) = (0; +\infty)$.

2. Упростим функцию.

Используя свойство логарифма $\ln(\frac{1}{a}) = -\ln a$, получаем:

$y = x - \ln x$

3. Найдём производную функции.

$y' = (x - \ln x)' = (x)' - (\ln x)' = 1 - \frac{1}{x}$

4. Найдём критические точки.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:

$y' = 0 \implies 1 - \frac{1}{x} = 0$

$1 = \frac{1}{x}$

$x = 1$

Критическая точка $x = 1$ принадлежит области определения функции.

5. Определим промежутки монотонности.

Критическая точка $x=1$ делит область определения $(0; +\infty)$ на два интервала: $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$. Определим знак производной $y' = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x}$ на каждом интервале.

• При $x \in (0; 1)$, например $x = 0.5$, $y'(0.5) = 1 - \frac{1}{0.5} = 1 - 2 = -1 < 0$. Следовательно, на этом интервале функция убывает.
• При $x \in (1; +\infty)$, например $x = 2$, $y'(2) = 1 - \frac{1}{2} = 0.5 > 0$. Следовательно, на этом интервале функция возрастает.

6. Найдём экстремумы.

В точке $x = 1$ производная меняет знак с минуса на плюс. Значит, $x=1$ является точкой минимума.

Найдём значение функции в этой точке:

$y_{min} = y(1) = 1 + \ln \frac{1}{1} = 1 + \ln 1 = 1 + 0 = 1$.

Таким образом, точка минимума функции $(1; 1)$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(0; 1]$, возрастает на промежутке $[1; +\infty)$; $x_{min} = 1$, $y_{min} = 1$.

б) $y = x^4 - 4 \ln x$

1. Найдём область определения функции.

Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x > 0$.

Область определения функции: $D(y) = (0; +\infty)$.

2. Найдём производную функции.

$y' = (x^4 - 4 \ln x)' = (x^4)' - (4 \ln x)' = 4x^3 - 4 \cdot \frac{1}{x} = 4x^3 - \frac{4}{x}$

3. Найдём критические точки.

Приравняем производную к нулю:

$y' = 0 \implies 4x^3 - \frac{4}{x} = 0$

Приведём к общему знаменателю: $\frac{4x^4 - 4}{x} = 0$.

Так как $x \neq 0$ (из области определения), то $4x^4 - 4 = 0$.

$4x^4 = 4$

$x^4 = 1$

Учитывая, что $x > 0$, получаем единственный корень $x = 1$.

Критическая точка $x = 1$ принадлежит области определения.

4. Определим промежутки монотонности.

Точка $x=1$ делит область определения $(0; +\infty)$ на два интервала: $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$. Определим знак производной $y' = \frac{4(x^4-1)}{x}$ на каждом из них.

• При $x \in (0; 1)$, например $x = 0.5$, $y'(0.5) = \frac{4(0.5^4-1)}{0.5} = \frac{4(0.0625-1)}{0.5} < 0$. Значит, на этом интервале функция убывает.
• При $x \in (1; +\infty)$, например $x = 2$, $y'(2) = \frac{4(2^4-1)}{2} = \frac{4(16-1)}{2} > 0$. Значит, на этом интервале функция возрастает.

5. Найдём экстремумы.

В точке $x = 1$ производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, $x=1$ является точкой минимума.

Найдём значение функции в точке минимума:

$y_{min} = y(1) = 1^4 - 4 \ln 1 = 1 - 4 \cdot 0 = 1$.

Точка минимума функции $(1; 1)$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(0; 1]$, возрастает на промежутке $[1; +\infty)$; $x_{min} = 1$, $y_{min} = 1$.

47.24 Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функции на заданном отрезке:

a) $y = x + \ln(-x)$, $[-4, -0,5];$

б) $y = x + e^{-x}$, $[-\ln 4, \ln 2].$

а) $y = x + \ln(-x)$, на отрезке $[-4, -0,5]$

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке, необходимо выполнить следующие шаги:
1. Найти производную функции.
2. Найти критические точки, решив уравнение $y' = 0$.
3. Проверить, какие из критических точек принадлежат заданному отрезку.
4. Вычислить значения функции в найденных критических точках (принадлежащих отрезку) и на концах отрезка.
5. Сравнить полученные значения и выбрать из них наименьшее и наибольшее.

1. Найдем производную функции $y = x + \ln(-x)$. Используем правило дифференцирования суммы и правило дифференцирования сложной функции для $\ln(-x)$:

$y' = (x)' + (\ln(-x))' = 1 + \frac{1}{-x} \cdot (-x)' = 1 + \frac{1}{-x} \cdot (-1) = 1 + \frac{1}{x}$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$y' = 0 \implies 1 + \frac{1}{x} = 0$

$\frac{1}{x} = -1$

$x = -1$

3. Критическая точка $x = -1$. Проверим, принадлежит ли она отрезку $[-4, -0,5]$. Так как $-4 \le -1 \le -0,5$, точка принадлежит отрезку.

4. Вычислим значения функции в критической точке $x = -1$ и на концах отрезка $x = -4$ и $x = -0,5$:

$y(-4) = -4 + \ln(-(-4)) = -4 + \ln(4)$

$y(-1) = -1 + \ln(-(-1)) = -1 + \ln(1) = -1 + 0 = -1$

$y(-0,5) = -0,5 + \ln(-(-0,5)) = -0,5 + \ln(0,5) = -0,5 + \ln(2^{-1}) = -0,5 - \ln(2)$

5. Сравним полученные значения: $-4 + \ln(4)$, $-1$, $-0,5 - \ln(2)$.

Чтобы сравнить их, можно использовать приближенные значения: $\ln(2) \approx 0.693$, $\ln(4) = 2\ln(2) \approx 1.386$.

$y(-4) = -4 + \ln(4) \approx -4 + 1.386 = -2.614$

$y(-1) = -1$

$y(-0,5) = -0,5 - \ln(2) \approx -0,5 - 0.693 = -1.193$

Сравнивая значения, получаем: $-2.614 < -1.193 < -1$.

Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке — это $y(-4) = -4 + \ln(4)$, а наибольшее — это $y(-1) = -1$.

Ответ: наименьшее значение $y_{min} = -4 + \ln(4)$, наибольшее значение $y_{max} = -1$.

б) $y = x + e^{-x}$, на отрезке $[-\ln 4, \ln 2]$

Применим тот же алгоритм.

1. Найдем производную функции $y = x + e^{-x}$:

$y' = (x)' + (e^{-x})' = 1 + e^{-x} \cdot (-x)' = 1 - e^{-x}$.

2. Найдем критические точки из условия $y' = 0$:

$1 - e^{-x} = 0$

$e^{-x} = 1$

Так как $e^0 = 1$, то $-x = 0$, откуда $x = 0$.

3. Проверим, принадлежит ли критическая точка $x = 0$ отрезку $[-\ln 4, \ln 2]$.

Поскольку $4 > 1$, то $\ln 4 > 0$, а значит $-\ln 4 < 0$. Поскольку $2 > 1$, то $\ln 2 > 0$. Таким образом, $-\ln 4 \le 0 \le \ln 2$, и точка $x=0$ принадлежит заданному отрезку.

4. Вычислим значения функции в критической точке $x = 0$ и на концах отрезка $x = -\ln 4$ и $x = \ln 2$:

$y(-\ln 4) = -\ln 4 + e^{-(-\ln 4)} = -\ln 4 + e^{\ln 4} = 4 - \ln 4$

$y(0) = 0 + e^{-0} = 0 + 1 = 1$

$y(\ln 2) = \ln 2 + e^{-\ln 2} = \ln 2 + e^{\ln(2^{-1})} = \ln 2 + 2^{-1} = \ln 2 + \frac{1}{2}$

5. Сравним полученные значения: $4 - \ln 4$, $1$, $\ln 2 + \frac{1}{2}$.

Используем приближенные значения: $\ln(2) \approx 0.693$, $\ln(4) \approx 1.386$.

$y(-\ln 4) = 4 - \ln 4 \approx 4 - 1.386 = 2.614$

$y(0) = 1$

$y(\ln 2) = \ln 2 + 0.5 \approx 0.693 + 0.5 = 1.193$

Сравнивая значения, получаем: $1 < 1.193 < 2.614$.

Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке — это $y(0) = 1$, а наибольшее — это $y(-\ln 4) = 4 - \ln 4$.

Ответ: наименьшее значение $y_{min} = 1$, наибольшее значение $y_{max} = 4 - \ln 4$.