Страница 185, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

45.14 Найдите наибольшее целочисленное решение неравенства:

a) $ \log_7(6x - 9) < \log_7(2x + 3); $

б) $ \log_{\frac{1}{5}}(2 - x) \ge \log_{\frac{1}{5}}(2x + 4); $

в) $ \lg(8x - 16) < \lg(3x + 1); $

г) $ \log_{0,4}(7 - x) \ge \log_{0,4}(3x + 6). $

а) $\log_{7}(6x - 9) < \log_{7}(2x + 3)$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля:
$\begin{cases} 6x - 9 > 0 \\ 2x + 3 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 6x > 9 \\ 2x > -3 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1.5 \\ x > -1.5 \end{cases}$
Пересечением этих условий является $x > 1.5$.

2. Решим неравенство. Так как основание логарифма $7 > 1$, то функция логарифма возрастающая, и знак неравенства при переходе к аргументам сохраняется:
$6x - 9 < 2x + 3$
$6x - 2x < 3 + 9$
$4x < 12$
$x < 3$

3. Совместим полученное решение с ОДЗ:
$\begin{cases} x > 1.5 \\ x < 3 \end{cases} \implies 1.5 < x < 3$

Наибольшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству, равно 2.
Ответ: 2

б) $\log_{\frac{1}{5}}(2 - x) \ge \log_{\frac{1}{5}}(2x + 4)$

1. Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 2 - x > 0 \\ 2x + 4 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 2 \\ 2x > -4 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 2 \\ x > -2 \end{cases}$
ОДЗ: $-2 < x < 2$.

2. Решим неравенство. Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{5} < 1$, то функция логарифма убывающая, и знак неравенства при переходе к аргументам меняется на противоположный:
$2 - x \le 2x + 4$
$-x - 2x \le 4 - 2$
$-3x \le 2$
$x \ge -\frac{2}{3}$

3. Совместим полученное решение с ОДЗ:
$\begin{cases} -2 < x < 2 \\ x \ge -\frac{2}{3} \end{cases} \implies -\frac{2}{3} \le x < 2$

Целые числа, входящие в этот промежуток: 0, 1. Наибольшее из них - 1.
Ответ: 1

в) $\lg(8x - 16) < \lg(3x + 1)$

1. Найдем ОДЗ. $\lg$ - это логарифм по основанию 10.
$\begin{cases} 8x - 16 > 0 \\ 3x + 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 8x > 16 \\ 3x > -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ x > -\frac{1}{3} \end{cases}$
ОДЗ: $x > 2$.

2. Решим неравенство. Так как основание логарифма $10 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$8x - 16 < 3x + 1$
$8x - 3x < 1 + 16$
$5x < 17$
$x < \frac{17}{5}$ или $x < 3.4$

3. Совместим полученное решение с ОДЗ:
$\begin{cases} x > 2 \\ x < 3.4 \end{cases} \implies 2 < x < 3.4$

Наибольшее целое число в этом интервале равно 3.
Ответ: 3

г) $\log_{0.4}(7 - x) \ge \log_{0.4}(3x + 6)$

1. Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 7 - x > 0 \\ 3x + 6 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 7 \\ 3x > -6 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 7 \\ x > -2 \end{cases}$
ОДЗ: $-2 < x < 7$.

2. Решим неравенство. Так как основание логарифма $0 < 0.4 < 1$, знак неравенства меняется на противоположный:
$7 - x \le 3x + 6$
$-x - 3x \le 6 - 7$
$-4x \le -1$
$x \ge \frac{1}{4}$ или $x \ge 0.25$

3. Совместим полученное решение с ОДЗ:
$\begin{cases} -2 < x < 7 \\ x \ge 0.25 \end{cases} \implies 0.25 \le x < 7$

Целые числа, входящие в этот промежуток: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Наибольшее из них - 6.
Ответ: 6

45.17 a) $ \begin{cases} \log_3 x^2 > \log_3 125 - \log_3 5, \\ \log_{0,2}(x - 1) < 0; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} \log_{\frac{1}{2}} x^2 \ge \log_{\frac{1}{2}} 28 - \log_{\frac{1}{2}} 7, \\ \log_3(4x - 1) > 0. \end{cases} $

а)

Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} \log_3 x^2 > \log_3 125 - \log_3 5, \\ \log_{0,2}(x - 1) < 0; \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $\log_3 x^2 > \log_3 125 - \log_3 5$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого неравенства определяется условием $x^2 > 0$, что эквивалентно $x \ne 0$.
Используем свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$ для правой части неравенства:
$\log_3 125 - \log_3 5 = \log_3 \frac{125}{5} = \log_3 25$.
Неравенство принимает вид: $\log_3 x^2 > \log_3 25$.
Так как основание логарифма $3 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:
$x^2 > 25$
$x^2 - 25 > 0$
$(x-5)(x+5) > 0$
Решением этого неравенства является объединение интервалов $x \in (-\infty; -5) \cup (5; \infty)$. Данное решение полностью удовлетворяет ОДЗ ($x \ne 0$).

2. Решим второе неравенство: $\log_{0,2}(x - 1) < 0$.
ОДЗ: $x - 1 > 0$, откуда $x > 1$.
Представим 0 в виде логарифма с основанием 0,2: $0 = \log_{0,2} 1$.
Неравенство принимает вид: $\log_{0,2}(x - 1) < \log_{0,2} 1$.
Так как основание логарифма $0,2 < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный:
$x - 1 > 1$
$x > 2$.
С учетом ОДЗ ($x > 1$), решением является $x \in (2; \infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств системы.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -5) \cup (5; \infty)$.
Решение второго неравенства: $x \in (2; \infty)$.
Общим решением системы является пересечение этих множеств: $(-\infty; -5) \cup (5; \infty) \cap (2; \infty) = (5; \infty)$.

Ответ: $x \in (5; \infty)$.

б)

Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} \log_{\frac{1}{2}} x^2 \ge \log_{\frac{1}{2}} 28 - \log_{\frac{1}{2}} 7, \\ \log_3(4x - 1) > 0. \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $\log_{\frac{1}{2}} x^2 \ge \log_{\frac{1}{2}} 28 - \log_{\frac{1}{2}} 7$.
ОДЗ: $x^2 > 0$, откуда $x \ne 0$.
Упростим правую часть неравенства: $\log_{\frac{1}{2}} 28 - \log_{\frac{1}{2}} 7 = \log_{\frac{1}{2}} \frac{28}{7} = \log_{\frac{1}{2}} 4$.
Неравенство принимает вид: $\log_{\frac{1}{2}} x^2 \ge \log_{\frac{1}{2}} 4$.
Так как основание логарифма $\frac{1}{2} < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Знак неравенства меняется на противоположный:
$x^2 \le 4$
$x^2 - 4 \le 0$
$(x-2)(x+2) \le 0$
Решением этого неравенства является отрезок $[-2; 2]$.
Учитывая ОДЗ ($x \ne 0$), получаем решение первого неравенства: $x \in [-2; 0) \cup (0; 2]$.

2. Решим второе неравенство: $\log_3(4x - 1) > 0$.
ОДЗ: $4x - 1 > 0$, откуда $x > \frac{1}{4}$.
Представим 0 как логарифм с основанием 3: $0 = \log_3 1$.
Неравенство принимает вид: $\log_3(4x - 1) > \log_3 1$.
Так как основание логарифма $3 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Знак неравенства сохраняется:
$4x - 1 > 1$
$4x > 2$
$x > \frac{1}{2}$.
Решение $x > \frac{1}{2}$ удовлетворяет ОДЗ ($x > \frac{1}{4}$), следовательно, решением второго неравенства является $x \in (\frac{1}{2}; \infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.
Решение первого неравенства: $x \in [-2; 0) \cup (0; 2]$.
Решение второго неравенства: $x \in (\frac{1}{2}; \infty)$.
Пересечение этих множеств: $([-2; 0) \cup (0; 2]) \cap (\frac{1}{2}; \infty) = (\frac{1}{2}; 2]$.

Ответ: $x \in (\frac{1}{2}; 2]$.

45.15 Сколько целочисленных решений имеет неравенство:

а) $\log_{12}(x^2 - x) \le 1;$

б) $\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 10x + 9) \ge 0;$

в) $\log_9(x^2 - 8x) \le 1;$

г) $\log_{0,3}(-x^2 + 7x - 5) < 0?$

а) $\log_{12}(x^2 - x) \le 1$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$x^2 - x > 0$

$x(x - 1) > 0$

Корни $x=0$ и $x=1$. Решением неравенства является объединение интервалов $x \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$.

2. Решим неравенство. Так как основание логарифма $12 > 1$, функция является возрастающей, и при потенцировании знак неравенства сохраняется. Представим 1 как $\log_{12}(12)$:

$\log_{12}(x^2 - x) \le \log_{12}(12)$

$x^2 - x \le 12$

$x^2 - x - 12 \le 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - x - 12 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 4$. Решением этого неравенства является отрезок $x \in [-3, 4]$.

3. Найдем пересечение с ОДЗ. Пересечение множеств $[-3, 4]$ и $(-\infty, 0) \cup (1, \infty)$ дает нам итоговое решение: $x \in [-3, 0) \cup (1, 4]$.

4. Подсчитаем количество целочисленных решений. В промежутке $[-3, 0)$ находятся целые числа: -3, -2, -1 (3 решения). В промежутке $(1, 4]$ находятся целые числа: 2, 3, 4 (3 решения).

Всего: $3 + 3 = 6$ целочисленных решений.

Ответ: 6.

б) $\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 10x + 9) \ge 0$

1. Найдем ОДЗ:

$x^2 - 10x + 9 > 0$

$(x-1)(x-9) > 0$

ОДЗ: $x \in (-\infty, 1) \cup (9, \infty)$.

2. Решим неравенство. Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{2} < 1$, функция является убывающей, поэтому знак неравенства меняется на противоположный. Представим 0 как $\log_{\frac{1}{2}}(1)$:

$\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 10x + 9) \ge \log_{\frac{1}{2}}(1)$

$x^2 - 10x + 9 \le 1$

$x^2 - 10x + 8 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 10x + 8 = 0$ через дискриминант: $x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 8}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{68}}{2} = 5 \pm \sqrt{17}$. Решением неравенства является отрезок $x \in [5 - \sqrt{17}, 5 + \sqrt{17}]$.

3. Найдем пересечение с ОДЗ. Оценим значения границ: $4^2=16, 5^2=25$, значит $4 < \sqrt{17} < 5$. Тогда $0 < 5 - \sqrt{17} < 1$ и $9 < 5 + \sqrt{17} < 10$. Пересечение множеств $[5 - \sqrt{17}, 5 + \sqrt{17}]$ и $(-\infty, 1) \cup (9, \infty)$ дает нам $x \in [5 - \sqrt{17}, 1) \cup (9, 5 + \sqrt{17}]$.

4. Подсчитаем количество целочисленных решений. В промежутке $[5 - \sqrt{17}, 1)$ нет целых чисел. В промежутке $(9, 5 + \sqrt{17}]$ также нет целых чисел.

Неравенство не имеет целочисленных решений.

Ответ: 0.

в) $\log_9(x^2 - 8x) \le 1$

1. Найдем ОДЗ:

$x^2 - 8x > 0$

$x(x-8) > 0$

ОДЗ: $x \in (-\infty, 0) \cup (8, \infty)$.

2. Решим неравенство. Основание $9>1$, знак неравенства сохраняется:

$x^2 - 8x \le 9^1$

$x^2 - 8x - 9 \le 0$

Корни уравнения $x^2 - 8x - 9 = 0$ равны $x_1 = -1, x_2 = 9$. Решение неравенства: $x \in [-1, 9]$.

3. Найдем пересечение с ОДЗ. Пересечение $[-1, 9]$ и $(-\infty, 0) \cup (8, \infty)$ дает $x \in [-1, 0) \cup (8, 9]$.

4. Подсчитаем количество целочисленных решений. В промежутке $[-1, 0)$ есть одно целое число: -1. В промежутке $(8, 9]$ есть одно целое число: 9.

Всего: $1 + 1 = 2$ целочисленных решения.

Ответ: 2.

г) $\log_{0.3}(-x^2 + 7x - 5) < 0$

1. Найдем ОДЗ:

$-x^2 + 7x - 5 > 0$

$x^2 - 7x + 5 < 0$

Корни уравнения $x^2 - 7x + 5 = 0$ равны $x = \frac{7 \pm \sqrt{49-20}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{29}}{2}$. ОДЗ: $x \in (\frac{7 - \sqrt{29}}{2}, \frac{7 + \sqrt{29}}{2})$.

2. Решим неравенство. Основание $0.3 < 1$, знак неравенства меняется:

$-x^2 + 7x - 5 > (0.3)^0$

$-x^2 + 7x - 5 > 1$

$-x^2 + 7x - 6 > 0$

$x^2 - 7x + 6 < 0$

Корни уравнения $x^2 - 7x + 6 = 0$ равны $x_1=1, x_2=6$. Решение неравенства: $x \in (1, 6)$.

3. Найдем пересечение с ОДЗ. Оценим ОДЗ: $5 < \sqrt{29} < 6$, поэтому $0.5 < \frac{7 - \sqrt{29}}{2} < 1$ и $6 < \frac{7 + \sqrt{29}}{2} < 6.5$. Интервал $(1, 6)$ полностью содержится в интервале ОДЗ $(\frac{7 - \sqrt{29}}{2}, \frac{7 + \sqrt{29}}{2})$, поэтому решение: $x \in (1, 6)$.

4. Подсчитаем количество целочисленных решений. В интервале $(1, 6)$ находятся целые числа: 2, 3, 4, 5.

Всего 4 целочисленных решения.

Ответ: 4.

45.18 a)

$ \begin{cases} \log_{0.1}(x^2 - 12) < \log_{0.1}(-x), \\ 2^{x-1} > \frac{1}{8}; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 3^{x^2 - 5x - 4} < 9, \\ \log_{\frac{1}{5}}(x^2 + 3) \ge \log_{\frac{1}{5}} 4x. \end{cases} $

а)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} \log_{0,1}(x^2 - 12) < \log_{0,1}(-x), \\ 2^{x-1} > \frac{1}{8}\end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $\log_{0,1}(x^2 - 12) < \log_{0,1}(-x)$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} x^2 - 12 > 0 \\ -x > 0\end{cases}$

Из второго неравенства получаем $x < 0$. Первое неравенство $x^2 > 12$ имеет решение $x \in (-\infty; -\sqrt{12}) \cup (\sqrt{12}; +\infty)$, или $x \in (-\infty; -2\sqrt{3}) \cup (2\sqrt{3}; +\infty)$.Пересекая оба условия, получаем ОДЗ: $x \in (-\infty; -2\sqrt{3})$.

Теперь решим само неравенство. Так как основание логарифма $0,1$ находится в интервале $(0; 1)$, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 - 12 > -x$

$x^2 + x - 12 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + x - 12 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -4$.Так как ветви параболы $y = x^2 + x - 12$ направлены вверх, решением неравенства является объединение интервалов $(-\infty; -4) \cup (3; +\infty)$.

Найдем пересечение этого решения с ОДЗ: $x \in (-\infty; -2\sqrt{3})$. Так как $-4 < -2\sqrt{3}$ (поскольку $16 > 12$), то решением первого неравенства с учетом ОДЗ является интервал $(-\infty; -4)$.

2. Решим второе неравенство: $2^{x-1} > \frac{1}{8}$.

Представим правую часть как степень с основанием 2: $\frac{1}{8} = 2^{-3}$.

$2^{x-1} > 2^{-3}$

Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, знак неравенства при переходе к показателям сохраняется:

$x - 1 > -3$

$x > -2$

Решением второго неравенства является интервал $(-2; +\infty)$.

3. Найдем решение системы как пересечение решений обоих неравенств: $(-\infty; -4) \cap (-2; +\infty)$.

Данные интервалы не имеют общих точек, следовательно, их пересечение пусто.

Ответ: нет решений.

б)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 3^{x^2 - 5x - 4} < 9, \\ \log_{\frac{1}{5}}(x^2 + 3) \ge \log_{\frac{1}{5}}(4x)\end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $3^{x^2 - 5x - 4} < 9$.

Представим $9$ как степень с основанием 3: $9 = 3^2$.

$3^{x^2 - 5x - 4} < 3^2$

Так как основание $3 > 1$, показательная функция возрастающая, поэтому знак неравенства сохраняется:

$x^2 - 5x - 4 < 2$

$x^2 - 5x - 6 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 5x - 6 = 0$. Корни равны $x_1 = 6$ и $x_2 = -1$.Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства находится между корнями: $x \in (-1; 6)$.

2. Решим второе неравенство: $\log_{\frac{1}{5}}(x^2 + 3) \ge \log_{\frac{1}{5}}(4x)$.

Найдем ОДЗ: аргументы логарифмов должны быть положительными.

$\begin{cases} x^2 + 3 > 0 \\ 4x > 0\end{cases}$

Неравенство $x^2 + 3 > 0$ верно для любого действительного $x$. Из второго неравенства $4x > 0$ получаем $x > 0$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (0; +\infty)$.

Основание логарифма $\frac{1}{5} < 1$, поэтому логарифмическая функция убывающая. При переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 + 3 \le 4x$

$x^2 - 4x + 3 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$. Корни равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.Решением неравенства является отрезок $[1; 3]$.

Учитывая ОДЗ ($x > 0$), решение второго неравенства остается $x \in [1; 3]$.

3. Найдем решение системы как пересечение решений обоих неравенств: $(-1; 6) \cap [1; 3]$.

Пересечением этих множеств является отрезок $[1; 3]$.

Ответ: $x \in [1; 3]$.

45.13 a) $\log^2_2 x^2 - 15 \log_2 x - 4 \le 0$;

б) $\log^2_{1/3} x^2 - 7 \log_{1/3} x + 3 \le 0$;

в) $\log^2_3 x^2 + 13 \log_3 x + 3 < 0$;

г) $\log^2_{1/5} x^2 - 31 \log_{1/5} x - 8 < 0$.

а)

Исходное неравенство: $log_2^2 x^2 - 15log_2 x - 4 \le 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ): аргументы логарифмов должны быть строго положительными.
$x^2 > 0 \implies x \ne 0$
$x > 0$
Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x > 0$.

Преобразуем первый член неравенства, используя свойство логарифма $log_a b^c = c \cdot log_a b$ и учитывая ОДЗ ($x>0$):
$log_2^2 x^2 = (log_2 x^2)^2 = (2 log_2 x)^2 = 4 log_2^2 x$.
Неравенство принимает вид: $4 log_2^2 x - 15 log_2 x - 4 \le 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = log_2 x$. Тогда неравенство становится квадратным относительно $t$:
$4t^2 - 15t - 4 \le 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $4t^2 - 15t - 4 = 0$.
Дискриминант $D = (-15)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-4) = 225 + 64 = 289 = 17^2$.
Корни: $t_1 = \frac{15 - 17}{2 \cdot 4} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$ и $t_2 = \frac{15 + 17}{2 \cdot 4} = \frac{32}{8} = 4$.
Так как ветви параболы $y = 4t^2 - 15t - 4$ направлены вверх, неравенство $4t^2 - 15t - 4 \le 0$ выполняется при $t \in [-\frac{1}{4}, 4]$.

Выполним обратную замену:
$-\frac{1}{4} \le log_2 x \le 4$.

Так как основание логарифма $2 > 1$, функция $y=log_2 x$ является возрастающей, и знаки неравенства сохраняются:
$2^{-1/4} \le x \le 2^4$.
$\frac{1}{\sqrt[4]{2}} \le x \le 16$.

Полученное решение полностью удовлетворяет ОДЗ ($x>0$).

Ответ: $x \in [\frac{1}{\sqrt[4]{2}}, 16]$.

б)

Исходное неравенство: $log_{\frac{1}{3}}^2 x^2 - 7log_{\frac{1}{3}} x + 3 \le 0$.

ОДЗ: $x > 0$ (аналогично предыдущему пункту).

Преобразуем первый член: $log_{\frac{1}{3}}^2 x^2 = (2 log_{\frac{1}{3}} x)^2 = 4 log_{\frac{1}{3}}^2 x$.
Неравенство принимает вид: $4 log_{\frac{1}{3}}^2 x - 7 log_{\frac{1}{3}} x + 3 \le 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = log_{\frac{1}{3}} x$.
$4t^2 - 7t + 3 \le 0$.

Найдем корни уравнения $4t^2 - 7t + 3 = 0$.
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 49 - 48 = 1$.
$t_1 = \frac{7 - 1}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ и $t_2 = \frac{7 + 1}{8} = 1$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $t \in [\frac{3}{4}, 1]$.

Выполним обратную замену:
$\frac{3}{4} \le log_{\frac{1}{3}} x \le 1$.

Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{3} < 1$, функция $y=log_{\frac{1}{3}} x$ является убывающей, и знаки неравенства меняются на противоположные:
$(\frac{1}{3})^1 \le x \le (\frac{1}{3})^{\frac{3}{4}}$.
$\frac{1}{3} \le x \le \frac{1}{\sqrt[4]{3^3}}$.
$\frac{1}{3} \le x \le \frac{1}{\sqrt[4]{27}}$.

Полученное решение удовлетворяет ОДЗ ($x>0$).

Ответ: $x \in [\frac{1}{3}, \frac{1}{\sqrt[4]{27}}]$.

в)

Исходное неравенство: $log_3^2 x^2 + 13log_3 x + 3 < 0$.

ОДЗ: $x > 0$.

Преобразуем первый член: $log_3^2 x^2 = (2 log_3 x)^2 = 4 log_3^2 x$.
Неравенство принимает вид: $4 log_3^2 x + 13 log_3 x + 3 < 0$.

Сделаем замену. Пусть $t = log_3 x$.
$4t^2 + 13t + 3 < 0$.

Найдем корни уравнения $4t^2 + 13t + 3 = 0$.
$D = 13^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 169 - 48 = 121 = 11^2$.
$t_1 = \frac{-13 - 11}{8} = \frac{-24}{8} = -3$ и $t_2 = \frac{-13 + 11}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение строгого неравенства: $t \in (-3, -\frac{1}{4})$.

Выполним обратную замену:
$-3 < log_3 x < -\frac{1}{4}$.

Так как основание логарифма $3 > 1$, функция $y=log_3 x$ возрастающая, знаки неравенства сохраняются:
$3^{-3} < x < 3^{-1/4}$.
$\frac{1}{27} < x < \frac{1}{\sqrt[4]{3}}$.

Полученное решение удовлетворяет ОДЗ ($x>0$).

Ответ: $x \in (\frac{1}{27}, \frac{1}{\sqrt[4]{3}})$.

г)

Исходное неравенство: $log_{\frac{1}{5}}^2 x^2 - 31log_{\frac{1}{5}} x - 8 < 0$.

ОДЗ: $x > 0$.

Преобразуем первый член: $log_{\frac{1}{5}}^2 x^2 = (2 log_{\frac{1}{5}} x)^2 = 4 log_{\frac{1}{5}}^2 x$.
Неравенство принимает вид: $4 log_{\frac{1}{5}}^2 x - 31 log_{\frac{1}{5}} x - 8 < 0$.

Сделаем замену. Пусть $t = log_{\frac{1}{5}} x$.
$4t^2 - 31t - 8 < 0$.

Найдем корни уравнения $4t^2 - 31t - 8 = 0$.
$D = (-31)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-8) = 961 + 128 = 1089 = 33^2$.
$t_1 = \frac{31 - 33}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$ и $t_2 = \frac{31 + 33}{8} = \frac{64}{8} = 8$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение строгого неравенства: $t \in (-\frac{1}{4}, 8)$.

Выполним обратную замену:
$-\frac{1}{4} < log_{\frac{1}{5}} x < 8$.

Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{5} < 1$, функция $y=log_{\frac{1}{5}} x$ убывающая, знаки неравенства меняются на противоположные:
$(\frac{1}{5})^8 < x < (\frac{1}{5})^{-1/4}$.
$\frac{1}{5^8} < x < 5^{1/4}$.
$\frac{1}{390625} < x < \sqrt[4]{5}$.

Полученное решение удовлетворяет ОДЗ ($x>0$).

Ответ: $x \in (\frac{1}{390625}, \sqrt[4]{5})$.

Решите систему неравенств:

45.16 а) $ \begin{cases} \log_2(2x + 3) > \log_2(x - 2); \\ \log_6(3x - 1) \le \log_6(9x + 4); \end{cases} $

б) $ \begin{cases} \log_3(6x - 1) \le \log_3(9x + 11), \\ \log_6(3 - x) > \log_6(4x - 1). \end{cases} $

a)

Решим исходную систему неравенств:

$\begin{cases} \log_2(2x + 3) > \log_2(x - 2) \\ \log_6(3x - 1) \le \log_6(9x + 4) \end{cases}$

Решим первое неравенство: $\log_2(2x + 3) > \log_2(x - 2)$.

Так как основание логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому данное неравенство равносильно системе, в которой также учтена область определения логарифмов:

$\begin{cases} 2x + 3 > x - 2 \\ x - 2 > 0 \end{cases}$

Условие $2x + 3 > 0$ выполняется автоматически, так как из второго неравенства $x > 2$, а значит $2x + 3 > 2(2) + 3 = 7 > 0$.

Решаем систему:

$\begin{cases} x > -5 \\ x > 2 \end{cases}$

Решением этой системы является $x \in (2, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $\log_6(3x - 1) \le \log_6(9x + 4)$.

Так как основание логарифма $6 > 1$, функция также является возрастающей. Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} 3x - 1 \le 9x + 4 \\ 3x - 1 > 0 \end{cases}$

Условие $9x + 4 > 0$ выполняется автоматически, поскольку $9x + 4 \ge 3x - 1 > 0$.

Решаем систему:

$\begin{cases} -5 \le 6x \\ 3x > 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -5/6 \\ x > 1/3 \end{cases}$

Решением этой системы является $x \in (1/3, +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств:

$\begin{cases} x > 2 \\ x > 1/3 \end{cases}$

Пересечением данных интервалов является $x > 2$.

Ответ: $(2, +\infty)$.

б)

Решим исходную систему неравенств:

$\begin{cases} \log_3(6x - 1) \le \log_3(9x + 11) \\ \log_6(3 - x) > \log_6(4x - 1) \end{cases}$

Решим первое неравенство: $\log_3(6x - 1) \le \log_3(9x + 11)$.

Основание логарифма $3 > 1$, функция возрастающая. Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} 6x - 1 \le 9x + 11 \\ 6x - 1 > 0 \end{cases}$

Решаем систему:

$\begin{cases} -12 \le 3x \\ 6x > 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -4 \\ x > 1/6 \end{cases}$

Решением этой системы является $x \in (1/6, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $\log_6(3 - x) > \log_6(4x - 1)$.

Основание логарифма $6 > 1$, функция возрастающая. Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} 3 - x > 4x - 1 \\ 4x - 1 > 0 \end{cases}$

Условие $3 - x > 0$ выполняется автоматически, так как $3 - x > 4x - 1 > 0$.

Решаем систему:

$\begin{cases} 4 > 5x \\ 4x > 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 4/5 \\ x > 1/4 \end{cases}$

Решением этой системы является $x \in (1/4, 4/5)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств:

$\begin{cases} x > 1/6 \\ 1/4 < x < 4/5 \end{cases}$

Поскольку $1/4 = 3/12$ и $1/6 = 2/12$, то $1/4 > 1/6$. Следовательно, интервал $(1/4, 4/5)$ полностью содержится в интервале $(1/6, +\infty)$. Их пересечением будет сам интервал $(1/4, 4/5)$.

Ответ: $(1/4, 4/5)$.