Страница 179, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

43.34 а) $log_6 12 + log_6 x = log_6 24;$

б) $log_{0.5} 3 + log_{0.5} x = log_{0.5} 12;$

в) $log_5 13 + log_5 x = log_5 39;$

г) $log_{\frac{1}{3}} 8 + log_{\frac{1}{3}} x = log_{\frac{1}{3}} 4.$

а) Исходное уравнение: $ \log_6 12 + \log_6 x = \log_6 24 $.

Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$ определяется условием $ x > 0 $, так как аргумент логарифма должен быть положительным.

Для решения воспользуемся свойством суммы логарифмов с одинаковым основанием: $ \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) $.

Применяем это свойство к левой части уравнения:

$ \log_6 (12 \cdot x) = \log_6 24 $

Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы:

$ 12x = 24 $

Находим $x$:

$ x = \frac{24}{12} $

$ x = 2 $

Полученное значение $ x = 2 $ удовлетворяет ОДЗ ($ 2 > 0 $).

Ответ: 2

б) Исходное уравнение: $ \log_{0,5} 3 + \log_{0,5} x = \log_{0,5} 12 $.

ОДЗ: $ x > 0 $.

Используем свойство суммы логарифмов $ \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) $:

$ \log_{0,5} (3 \cdot x) = \log_{0,5} 12 $

Приравниваем аргументы логарифмов, так как основания одинаковы:

$ 3x = 12 $

Решаем уравнение относительно $x$:

$ x = \frac{12}{3} $

$ x = 4 $

Значение $ x = 4 $ удовлетворяет ОДЗ ($ 4 > 0 $).

Ответ: 4

в) Исходное уравнение: $ \log_5 13 + \log_5 x = \log_5 39 $.

ОДЗ: $ x > 0 $.

Применяем свойство суммы логарифмов $ \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) $:

$ \log_5 (13 \cdot x) = \log_5 39 $

Поскольку основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:

$ 13x = 39 $

Находим $x$:

$ x = \frac{39}{13} $

$ x = 3 $

Значение $ x = 3 $ входит в ОДЗ ($ 3 > 0 $).

Ответ: 3

г) Исходное уравнение: $ \log_{\frac{1}{3}} 8 + \log_{\frac{1}{3}} x = \log_{\frac{1}{3}} 4 $.

ОДЗ: $ x > 0 $.

Используем то же свойство суммы логарифмов:

$ \log_{\frac{1}{3}} (8 \cdot x) = \log_{\frac{1}{3}} 4 $

Приравниваем аргументы логарифмов с одинаковыми основаниями:

$ 8x = 4 $

Решаем уравнение:

$ x = \frac{4}{8} $

$ x = \frac{1}{2} $ или $ x = 0,5 $

Полученное значение $ x = \frac{1}{2} $ удовлетворяет ОДЗ ($ \frac{1}{2} > 0 $).

Ответ: 0,5

43.38 а) $y = \log_2 x^3$;

б) $y = \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{x}$;

В) $y = \log_3 \frac{1}{x}$;

Г) $y = \log_{\frac{1}{2}} x^3$.

а) $y = \log_2 x^3$

Для нахождения производной данной функции, сначала упростим ее, используя свойство логарифма $\log_a b^c = c \log_a b$. Область определения функции задается условием $x^3 > 0$, что равносильно $x > 0$.

$y = 3 \log_2 x$

Теперь найдем производную, используя формулу производной логарифмической функции $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$.

$y' = (3 \log_2 x)' = 3 \cdot (\log_2 x)' = 3 \cdot \frac{1}{x \ln 2} = \frac{3}{x \ln 2}$.

Ответ: $y' = \frac{3}{x \ln 2}$.

б) $y = \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{x}$

Упростим функцию, используя свойства логарифмов. Область определения функции задается условием $\frac{1}{x} > 0$, что означает $x > 0$.

Используем свойства: $\frac{1}{x} = x^{-1}$, $\frac{1}{3} = 3^{-1}$, $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k}\log_a b$.

$y = \log_{3^{-1}} x^{-1} = \frac{-1}{-1} \log_3 x = \log_3 x$.

Теперь найдем производную функции $y = \log_3 x$.

$y' = (\log_3 x)' = \frac{1}{x \ln 3}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{x \ln 3}$.

в) $y = \log_3 \frac{1}{x}$

Упростим функцию, используя свойство логарифма $\log_a b^c = c \log_a b$. Область определения функции: $\frac{1}{x} > 0$, то есть $x > 0$.

$y = \log_3 (x^{-1}) = -1 \cdot \log_3 x = -\log_3 x$.

Найдем производную функции $y = -\log_3 x$.

$y' = (-\log_3 x)' = - (\log_3 x)' = -\frac{1}{x \ln 3}$.

Ответ: $y' = -\frac{1}{x \ln 3}$.

г) $y = \log_{\frac{1}{2}} x^3$

Упростим функцию, используя свойства логарифмов. Область определения функции: $x^3 > 0$, то есть $x > 0$.

Используем свойства: $\frac{1}{2} = 2^{-1}$ и $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k}\log_a b$.

$y = \log_{2^{-1}} x^3 = \frac{3}{-1} \log_2 x = -3 \log_2 x$.

Найдем производную функции $y = -3 \log_2 x$.

$y' = (-3 \log_2 x)' = -3 \cdot (\log_2 x)' = -3 \cdot \frac{1}{x \ln 2} = -\frac{3}{x \ln 2}$.

Ответ: $y' = -\frac{3}{x \ln 2}$.

43.35 a) $\log_2 3x = \log_2 4 + \log_2 6$;

б) $\log_{\sqrt{3}} \left(\frac{x}{2}\right) = \log_{\sqrt{3}} 6 + \log_{\sqrt{3}} 2$;

в) $\log_4 5x = \log_4 35 - \log_4 7$;

г) $\log_{\sqrt{2}} \left(\frac{x}{3}\right) = \log_{\sqrt{2}} 15 - \log_{\sqrt{2}} 6$.

а) $log_{2}3x = log_{2}4 + log_{2}6$
В правой части уравнения применим свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием: $log_{a}b + log_{a}c = log_{a}(bc)$.
$log_{2}4 + log_{2}6 = log_{2}(4 \cdot 6) = log_{2}24$
Получаем уравнение: $log_{2}3x = log_{2}24$
Поскольку основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы:
$3x = 24$
$x = \frac{24}{3} = 8$
Область допустимых значений (ОДЗ) для исходного уравнения определяется условием, что аргумент логарифма должен быть положительным: $3x > 0$, то есть $x > 0$. Найденный корень $x=8$ удовлетворяет этому условию.
Ответ: 8

б) $log_{\sqrt{3}}(\frac{x}{2}) = log_{\sqrt{3}}6 + log_{\sqrt{3}}2$
Преобразуем правую часть, используя свойство суммы логарифмов $log_{a}b + log_{a}c = log_{a}(bc)$:
$log_{\sqrt{3}}6 + log_{\sqrt{3}}2 = log_{\sqrt{3}}(6 \cdot 2) = log_{\sqrt{3}}12$
Уравнение принимает вид: $log_{\sqrt{3}}(\frac{x}{2}) = log_{\sqrt{3}}12$
Приравниваем аргументы, так как основания логарифмов одинаковы:
$\frac{x}{2} = 12$
$x = 12 \cdot 2 = 24$
ОДЗ: Аргумент логарифма должен быть положителен $\frac{x}{2} > 0$, что означает $x > 0$. Корень $x=24$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 24

в) $log_{4}5x = log_{4}35 - log_{4}7$
В правой части уравнения применим свойство разности логарифмов с одинаковым основанием: $log_{a}b - log_{a}c = log_{a}(\frac{b}{c})$.
$log_{4}35 - log_{4}7 = log_{4}(\frac{35}{7}) = log_{4}5$
Получаем уравнение: $log_{4}5x = log_{4}5$
Приравниваем аргументы логарифмов, так как их основания равны:
$5x = 5$
$x = \frac{5}{5} = 1$
ОДЗ: $5x > 0$, то есть $x > 0$. Корень $x=1$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 1

г) $log_{\sqrt{2}}(\frac{x}{3}) = log_{\sqrt{2}}15 - log_{\sqrt{2}}6$
Преобразуем правую часть, используя свойство разности логарифмов $log_{a}b - log_{a}c = log_{a}(\frac{b}{c})$:
$log_{\sqrt{2}}15 - log_{\sqrt{2}}6 = log_{\sqrt{2}}(\frac{15}{6}) = log_{\sqrt{2}}(\frac{5}{2})$
Уравнение принимает вид: $log_{\sqrt{2}}(\frac{x}{3}) = log_{\sqrt{2}}(\frac{5}{2})$
Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:
$\frac{x}{3} = \frac{5}{2}$
$x = 3 \cdot \frac{5}{2} = \frac{15}{2} = 7.5$
ОДЗ: $\frac{x}{3} > 0$, что означает $x > 0$. Корень $x=7.5$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 7.5

43.39 a) $y = \log_2 \frac{4}{x}$;

б) $y = \log_{\frac{1}{3}} \frac{x^3}{27}$;

В) $y = \log_3 9x^3$;

Г) $y = \log_{\frac{1}{2}} \frac{8}{x}$.

а) Для функции $y = \log_2 \frac{4}{x}$ применим свойство логарифма частного $\log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c$.
Получаем:
$y = \log_2 4 - \log_2 x$
Поскольку $2^2 = 4$, то $\log_2 4 = 2$.
Подставляем это значение в уравнение:
$y = 2 - \log_2 x$
Область определения исходной функции задается неравенством $\frac{4}{x} > 0$, что означает $x > 0$. Упрощенная функция имеет ту же область определения.
Ответ: $y = 2 - \log_2 x$.

б) Для функции $y = \log_{\frac{1}{3}} \frac{x^3}{27}$ применим свойство логарифма частного:
$y = \log_{\frac{1}{3}} x^3 - \log_{\frac{1}{3}} 27$
Далее используем свойство логарифма степени $\log_a b^p = p \log_a b$ для первого слагаемого:
$\log_{\frac{1}{3}} x^3 = 3 \log_{\frac{1}{3}} x$
Теперь вычислим значение второго слагаемого $\log_{\frac{1}{3}} 27$. Мы ищем такое число $k$, что $(\frac{1}{3})^k = 27$.
Так как $\frac{1}{3} = 3^{-1}$ и $27 = 3^3$, то получаем $(3^{-1})^k = 3^3$, или $3^{-k} = 3^3$. Отсюда $-k = 3$, то есть $k = -3$.
Значит, $\log_{\frac{1}{3}} 27 = -3$.
Подставляем все в исходное выражение:
$y = 3 \log_{\frac{1}{3}} x - (-3) = 3 \log_{\frac{1}{3}} x + 3$
Область определения: $\frac{x^3}{27} > 0$, что равносильно $x > 0$.
Ответ: $y = 3 \log_{\frac{1}{3}} x + 3$.

в) Для функции $y = \log_3 9x^3$ применим свойство логарифма произведения $\log_a (b \cdot c) = \log_a b + \log_a c$:
$y = \log_3 9 + \log_3 x^3$
Вычислим первое слагаемое: так как $3^2 = 9$, то $\log_3 9 = 2$.
Для второго слагаемого применим свойство логарифма степени: $\log_3 x^3 = 3 \log_3 x$.
Собираем выражение:
$y = 2 + 3 \log_3 x$
Область определения: $9x^3 > 0$, что равносильно $x > 0$.
Ответ: $y = 2 + 3 \log_3 x$.

г) Для функции $y = \log_{\frac{1}{2}} \frac{8}{x}$ применим свойство логарифма частного:
$y = \log_{\frac{1}{2}} 8 - \log_{\frac{1}{2}} x$
Вычислим значение $\log_{\frac{1}{2}} 8$. Мы ищем такое число $k$, что $(\frac{1}{2})^k = 8$.
Так как $\frac{1}{2} = 2^{-1}$ и $8 = 2^3$, то получаем $(2^{-1})^k = 2^3$, или $2^{-k} = 2^3$. Отсюда $-k = 3$, то есть $k = -3$.
Значит, $\log_{\frac{1}{2}} 8 = -3$.
Подставляем значение в уравнение:
$y = -3 - \log_{\frac{1}{2}} x$
Область определения: $\frac{8}{x} > 0$, что равносильно $x > 0$.
Ответ: $y = -3 - \log_{\frac{1}{2}} x$.

43.36 a) $\log_x 8 - \log_x 2 = 2;$

б) $\log_x 2 + \log_x 8 = 4;$

в) $\log_x 3 + \log_x 9 = 3;$

г) $\log_x \sqrt{5} + \log_x (25\sqrt{5}) = 3.$

а)

Область допустимых значений (ОДЗ) для основания логарифма $x$: $x > 0$ и $x \neq 1$.
Используя свойство разности логарифмов $\log_b m - \log_b n = \log_b(m/n)$, преобразуем левую часть уравнения:
$\log_x(8/2) = 2$
$\log_x 4 = 2$
По определению логарифма, если $\log_b a = c$, то $b^c = a$. Применяя это правило, получаем:
$x^2 = 4$
Решениями этого уравнения являются $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Проверяем решения на соответствие ОДЗ. Корень $x = -2$ не удовлетворяет условию $x > 0$, поэтому он является посторонним. Корень $x = 2$ удовлетворяет всем условиям.

Ответ: $2$.

б)

ОДЗ для основания логарифма $x$: $x > 0$ и $x \neq 1$.
Используя свойство суммы логарифмов $\log_b m + \log_b n = \log_b(m \cdot n)$, преобразуем левую часть уравнения:
$\log_x(2 \cdot 8) = 4$
$\log_x 16 = 4$
По определению логарифма, переходим к экспоненциальному уравнению:
$x^4 = 16$
Так как $16 = 2^4$, уравнение принимает вид $x^4 = 2^4$. Вещественными корнями этого уравнения являются $x = 2$ и $x = -2$.
Проверяем решения по ОДЗ. Корень $x = -2$ является посторонним, так как не удовлетворяет условию $x > 0$. Корень $x = 2$ удовлетворяет всем условиям.

Ответ: $2$.

в)

ОДЗ для основания логарифма $x$: $x > 0$ и $x \neq 1$.
Используя свойство суммы логарифмов $\log_b m + \log_b n = \log_b(m \cdot n)$, получаем:
$\log_x(3 \cdot 9) = 3$
$\log_x 27 = 3$
По определению логарифма, данное уравнение эквивалентно следующему:
$x^3 = 27$
Так как $27 = 3^3$, то $x^3 = 3^3$. Единственным вещественным решением является $x = 3$.
Корень $x = 3$ удовлетворяет ОДЗ ($3 > 0$ и $3 \neq 1$).

Ответ: $3$.

г)

ОДЗ для основания логарифма $x$: $x > 0$ и $x \neq 1$.
Применим свойство суммы логарифмов $\log_b m + \log_b n = \log_b(m \cdot n)$:
$\log_x(\sqrt{5} \cdot 25\sqrt{5}) = 3$
Упростим выражение под знаком логарифма: $\sqrt{5} \cdot 25\sqrt{5} = 25 \cdot (\sqrt{5})^2 = 25 \cdot 5 = 125$.
Уравнение принимает вид:
$\log_x 125 = 3$
По определению логарифма, получаем:
$x^3 = 125$
Так как $125 = 5^3$, то $x^3 = 5^3$. Единственным вещественным решением является $x = 5$.
Корень $x = 5$ удовлетворяет ОДЗ ($5 > 0$ и $5 \neq 1$).

Ответ: $5$.

43.40 Сравните числа:

а) $log_3 4$ и $\sqrt[4]{2}$;

б) $log_2 3$ и $\sqrt[3]{7}$.

a) Сравним числа $ \log_3 4 $ и $ \sqrt[4]{2} $.

Для решения этой задачи воспользуемся методом сравнения с промежуточным рациональным числом. В качестве такого числа удобно выбрать $ \frac{5}{4} = 1,25 $.

1. Сравним $ \log_3 4 $ с числом $ \frac{5}{4} $.
Сравнение $ \log_3 4 $ и $ \frac{5}{4} $ эквивалентно сравнению чисел $ 3^{\log_3 4} $ и $ 3^{5/4} $, поскольку показательная функция $ y=3^x $ является возрастающей (основание $ 3 > 1 $).
Итак, сравним $ 4 $ и $ 3^{5/4} $.
Чтобы избавиться от дробного показателя, возведем оба положительных числа в 4-ю степень. Знак неравенства при этом не изменится.
Сравниваем $ 4^4 $ и $ (3^{5/4})^4 $.
$ 4^4 = 256 $
$ (3^{5/4})^4 = 3^5 = 243 $
Поскольку $ 256 > 243 $, то $ 4^4 > 3^5 $, и, следовательно, $ 4 > 3^{5/4} $.
Отсюда следует, что $ \log_3 4 > \log_3(3^{5/4}) $, то есть $ \log_3 4 > \frac{5}{4} $.

2. Сравним $ \sqrt[4]{2} $ с числом $ \frac{5}{4} $.
Оба числа положительны, поэтому мы можем возвести их в 4-ю степень, сохранив знак неравенства.
Сравниваем $ (\sqrt[4]{2})^4 $ и $ (\frac{5}{4})^4 $.
$ (\sqrt[4]{2})^4 = 2 $
$ (\frac{5}{4})^4 = \frac{5^4}{4^4} = \frac{625}{256} $
Для сравнения $ 2 $ и $ \frac{625}{256} $, представим $ 2 $ в виде дроби со знаменателем 256: $ 2 = \frac{2 \cdot 256}{256} = \frac{512}{256} $.
Поскольку $ 512 < 625 $, то $ \frac{512}{256} < \frac{625}{256} $, а значит $ 2 < (\frac{5}{4})^4 $.
Следовательно, $ \sqrt[4]{2} < \frac{5}{4} $.

3. На основе полученных результатов делаем вывод.
Мы установили, что $ \log_3 4 > \frac{5}{4} $ и $ \sqrt[4]{2} < \frac{5}{4} $.
Таким образом, $ \sqrt[4]{2} < \frac{5}{4} < \log_3 4 $.

Ответ: $ \log_3 4 > \sqrt[4]{2} $.

б) Сравним числа $ \log_2 3 $ и $ \sqrt[3]{7} $.

Как и в предыдущем пункте, используем метод сравнения с промежуточным числом. Выберем в качестве такого числа $ \frac{8}{5} = 1,6 $.

1. Сравним $ \log_2 3 $ с числом $ \frac{8}{5} $.
Это сравнение эквивалентно сравнению чисел $ 2^{\log_2 3} $ и $ 2^{8/5} $ (так как функция $ y=2^x $ возрастающая при $ 2>1 $).
Итак, сравним $ 3 $ и $ 2^{8/5} $.
Возведем оба положительных числа в 5-ю степень.
Сравниваем $ 3^5 $ и $ (2^{8/5})^5 $.
$ 3^5 = 243 $
$ (2^{8/5})^5 = 2^8 = 256 $
Поскольку $ 243 < 256 $, то $ 3^5 < 2^8 $, и, следовательно, $ 3 < 2^{8/5} $.
Так как логарифмическая функция $ y=\log_2 x $ является возрастающей, из $ 3 < 2^{8/5} $ следует $ \log_2 3 < \log_2(2^{8/5}) $, то есть $ \log_2 3 < \frac{8}{5} $.

2. Сравним $ \sqrt[3]{7} $ с числом $ \frac{8}{5} $.
Возведем оба положительных числа в 3-ю степень.
Сравниваем $ (\sqrt[3]{7})^3 $ и $ (\frac{8}{5})^3 $.
$ (\sqrt[3]{7})^3 = 7 $
$ (\frac{8}{5})^3 = \frac{8^3}{5^3} = \frac{512}{125} $
Для сравнения $ 7 $ и $ \frac{512}{125} $, представим $ 7 $ в виде дроби со знаменателем 125: $ 7 = \frac{7 \cdot 125}{125} = \frac{875}{125} $.
Поскольку $ 875 > 512 $, то $ \frac{875}{125} > \frac{512}{125} $, а значит $ 7 > (\frac{8}{5})^3 $.
Следовательно, $ \sqrt[3]{7} > \frac{8}{5} $.

3. На основе полученных результатов делаем вывод.
Мы установили, что $ \log_2 3 < \frac{8}{5} $ и $ \sqrt[3]{7} > \frac{8}{5} $.
Таким образом, $ \log_2 3 < \frac{8}{5} < \sqrt[3]{7} $.

Ответ: $ \log_2 3 < \sqrt[3]{7} $.

43.33 a) $\log_4 x = \log_4 2 + \log_4 7$;

б) $\log_{\frac{1}{3}} x - \log_{\frac{1}{3}} 7 = \log_{\frac{1}{3}} 4$;

В) $\log_9 x = \log_9 5 + \log_9 6$;

Г) $\log_{\frac{1}{4}} x - \log_{\frac{1}{4}} 9 = \log_{\frac{1}{4}} 5$.

а) $\log_4 x = \log_4 2 + \log_4 7$

Для решения данного логарифмического уравнения воспользуемся свойством суммы логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$.

Применяя это свойство к правой части уравнения, получаем:

$\log_4 2 + \log_4 7 = \log_4 (2 \cdot 7) = \log_4 14$

Теперь исходное уравнение можно переписать в виде:

$\log_4 x = \log_4 14$

Так как основания логарифмов в обеих частях уравнения равны, то и их аргументы должны быть равны. Отсюда следует:

$x = 14$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения определяется условием $x > 0$. Найденное значение $x = 14$ удовлетворяет этому условию.

Ответ: $x = 14$

б) $\log_{\frac{1}{3}} x - \log_{\frac{1}{3}} 7 = \log_{\frac{1}{3}} 4$

Для решения этого уравнения используем свойство разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a b - \log_a c = \log_a (\frac{b}{c})$.

Применим это свойство к левой части уравнения:

$\log_{\frac{1}{3}} x - \log_{\frac{1}{3}} 7 = \log_{\frac{1}{3}} (\frac{x}{7})$

Теперь уравнение принимает вид:

$\log_{\frac{1}{3}} (\frac{x}{7}) = \log_{\frac{1}{3}} 4$

Поскольку основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:

$\frac{x}{7} = 4$

Решаем полученное уравнение относительно $x$:

$x = 4 \cdot 7 = 28$

ОДЗ для исходного уравнения: $x > 0$. Решение $x=28$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = 28$

в) $\log_9 x = \log_9 5 + \log_9 6$

Воспользуемся свойством суммы логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$.

Преобразуем правую часть уравнения:

$\log_9 5 + \log_9 6 = \log_9 (5 \cdot 6) = \log_9 30$

Получаем эквивалентное уравнение:

$\log_9 x = \log_9 30$

Так как основания логарифмов равны, можем приравнять их аргументы:

$x = 30$

ОДЗ для этого уравнения: $x > 0$. Решение $x=30$ удовлетворяет этому условию.

Ответ: $x = 30$

г) $\log_{\frac{1}{4}} x - \log_{\frac{1}{4}} 9 = \log_{\frac{1}{4}} 5$

Применяем свойство разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a b - \log_a c = \log_a (\frac{b}{c})$.

Преобразуем левую часть уравнения:

$\log_{\frac{1}{4}} x - \log_{\frac{1}{4}} 9 = \log_{\frac{1}{4}} (\frac{x}{9})$

Уравнение принимает следующий вид:

$\log_{\frac{1}{4}} (\frac{x}{9}) = \log_{\frac{1}{4}} 5$

Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:

$\frac{x}{9} = 5$

Находим $x$:

$x = 5 \cdot 9 = 45$

ОДЗ для данного уравнения: $x > 0$. Решение $x=45$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = 45$

Постройте график функции:

43.37 a) $y = \log_2 8x;$

б) $y = \log_{\frac{1}{2}} 4x;$

в) $y = \log_3 \frac{x}{27};$

г) $\log_{\frac{1}{3}} \frac{x}{9}.$

а) $y = \log_2 8x$

1. Найдем область определения функции (ОДЗ).
Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $8x > 0$, что означает $x > 0$.
ОДЗ: $x \in (0, +\infty)$.

2. Упростим выражение для функции.
Используем свойство логарифма произведения $\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$:
$y = \log_2 8x = \log_2 8 + \log_2 x$
Поскольку $2^3 = 8$, то $\log_2 8 = 3$.
Таким образом, функция принимает вид: $y = \log_2 x + 3$.

3. Построение графика.
График функции $y = \log_2 x + 3$ получается из графика основной логарифмической функции $y_0 = \log_2 x$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси $Oy$ на 3 единицы вверх.

Сначала построим график базовой функции $y_0 = \log_2 x$. Это возрастающая функция, проходящая через точку $(1, 0)$. Ось $Oy$ (прямая $x=0$) является вертикальной асимптотой. Найдем несколько ключевых точек для $y_0 = \log_2 x$:
• Если $x = 1$, $y_0 = \log_2 1 = 0$. Точка $(1, 0)$.
• Если $x = 2$, $y_0 = \log_2 2 = 1$. Точка $(2, 1)$.
• Если $x = 4$, $y_0 = \log_2 4 = 2$. Точка $(4, 2)$.
• Если $x = 0.5$, $y_0 = \log_2 0.5 = -1$. Точка $(0.5, -1)$.

Теперь сдвинем эти точки на 3 единицы вверх, чтобы получить точки для графика $y = \log_2 x + 3$:
• $(1, 0) \rightarrow (1, 3)$
• $(2, 1) \rightarrow (2, 4)$
• $(4, 2) \rightarrow (4, 5)$
• $(0.5, -1) \rightarrow (0.5, 2)$
Вертикальная асимптота остается прежней: $x=0$. Точка пересечения с осью $Ox$ находится из условия $y=0$: $\log_2 x + 3 = 0 \Rightarrow \log_2 x = -3 \Rightarrow x = 2^{-3} = \frac{1}{8}$. Точка $(\frac{1}{8}, 0)$.

Ответ: График функции $y = \log_2 8x$ является графиком функции $y = \log_2 x$, сдвинутым на 3 единицы вверх вдоль оси $Oy$.

б) $y = \log_{\frac{1}{2}} 4x$

1. ОДЗ: $4x > 0 \Rightarrow x > 0$.

2. Упростим выражение:
$y = \log_{\frac{1}{2}} 4x = \log_{\frac{1}{2}} 4 + \log_{\frac{1}{2}} x$
Найдем $\log_{\frac{1}{2}} 4$. Так как $(\frac{1}{2})^{-2} = 2^2 = 4$, то $\log_{\frac{1}{2}} 4 = -2$.
Функция принимает вид: $y = \log_{\frac{1}{2}} x - 2$.

3. Построение графика:
График функции $y = \log_{\frac{1}{2}} x - 2$ получается из графика функции $y_0 = \log_{\frac{1}{2}} x$ сдвигом вдоль оси $Oy$ на 2 единицы вниз. График $y_0 = \log_{\frac{1}{2}} x$ — это убывающая функция (основание $\frac{1}{2} < 1$), проходящая через точку $(1, 0)$, с вертикальной асимптотой $x=0$.
Ключевые точки для $y_0 = \log_{\frac{1}{2}} x$: $(1, 0)$, $(2, -1)$, $(0.5, 1)$.
Сдвигаем эти точки на 2 единицы вниз для графика $y = \log_{\frac{1}{2}} x - 2$:
• $(1, 0) \rightarrow (1, -2)$
• $(2, -1) \rightarrow (2, -3)$
• $(0.5, 1) \rightarrow (0.5, -1)$
Асимптота: $x=0$. Точка пересечения с $Ox$: $\log_{\frac{1}{2}} x - 2 = 0 \Rightarrow \log_{\frac{1}{2}} x = 2 \Rightarrow x = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$. Точка $(\frac{1}{4}, 0)$.

Ответ: График функции $y = \log_{\frac{1}{2}} 4x$ является графиком функции $y = \log_{\frac{1}{2}} x$, сдвинутым на 2 единицы вниз вдоль оси $Oy$.

в) $y = \log_3 \frac{x}{27}$

1. ОДЗ: $\frac{x}{27} > 0 \Rightarrow x > 0$.

2. Упростим выражение:
Используем свойство логарифма частного $\log_a(\frac{b}{c}) = \log_a b - \log_a c$:
$y = \log_3 x - \log_3 27$
Так как $3^3 = 27$, то $\log_3 27 = 3$.
Функция принимает вид: $y = \log_3 x - 3$.

3. Построение графика:
График функции $y = \log_3 x - 3$ получается из графика $y_0 = \log_3 x$ сдвигом на 3 единицы вниз вдоль оси $Oy$. График $y_0 = \log_3 x$ — возрастающая функция (основание $3>1$), проходит через $(1,0)$, асимптота $x=0$.
Ключевые точки для $y_0 = \log_3 x$: $(1, 0)$, $(3, 1)$, $(9, 2)$.
Сдвигаем точки на 3 единицы вниз для графика $y = \log_3 x - 3$:
• $(1, 0) \rightarrow (1, -3)$
• $(3, 1) \rightarrow (3, -2)$
• $(9, 2) \rightarrow (9, -1)$
Асимптота: $x=0$. Точка пересечения с $Ox$: $\log_3 x - 3 = 0 \Rightarrow \log_3 x = 3 \Rightarrow x = 3^3 = 27$. Точка $(27, 0)$.

Ответ: График функции $y = \log_3 \frac{x}{27}$ является графиком функции $y = \log_3 x$, сдвинутым на 3 единицы вниз вдоль оси $Oy$.

г) $y = \log_{\frac{1}{3}} \frac{x}{9}$

1. ОДЗ: $\frac{x}{9} > 0 \Rightarrow x > 0$.

2. Упростим выражение:
$y = \log_{\frac{1}{3}} x - \log_{\frac{1}{3}} 9$
Найдем $\log_{\frac{1}{3}} 9$. Так как $(\frac{1}{3})^{-2} = 3^2 = 9$, то $\log_{\frac{1}{3}} 9 = -2$.
Функция принимает вид: $y = \log_{\frac{1}{3}} x - (-2) = \log_{\frac{1}{3}} x + 2$.

3. Построение графика:
График функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x + 2$ получается из графика $y_0 = \log_{\frac{1}{3}} x$ сдвигом на 2 единицы вверх вдоль оси $Oy$. График $y_0 = \log_{\frac{1}{3}} x$ — убывающая функция, проходит через $(1,0)$, асимптота $x=0$.
Ключевые точки для $y_0 = \log_{\frac{1}{3}} x$: $(1, 0)$, $(3, -1)$, $(\frac{1}{3}, 1)$.
Сдвигаем точки на 2 единицы вверх для графика $y = \log_{\frac{1}{3}} x + 2$:
• $(1, 0) \rightarrow (1, 2)$
• $(3, -1) \rightarrow (3, 1)$
• $(\frac{1}{3}, 1) \rightarrow (\frac{1}{3}, 3)$
Асимптота: $x=0$. Точка пересечения с $Ox$: $\log_{\frac{1}{3}} x + 2 = 0 \Rightarrow \log_{\frac{1}{3}} x = -2 \Rightarrow x = (\frac{1}{3})^{-2} = 9$. Точка $(9, 0)$.

Ответ: График функции $y = \log_{\frac{1}{3}} \frac{x}{9}$ является графиком функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x$, сдвинутым на 2 единицы вверх вдоль оси $Oy$.