Страница 172, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Постройте график функции:

42.11 а) $y = 2 + \log_3 x;$

б) $y = -1 + \log_{\frac{1}{3}} x;$

в) $y = -3 + \log_4 x;$

г) $y = 0,5 + \log_{0,1} x.$

а) Для построения графика функции $y = 2 + \log_3 x$ воспользуемся методом преобразования графиков.
1. Исходным является график логарифмической функции $y_0 = \log_3 x$. Это стандартная логарифмическая функция с основанием $a=3 > 1$, следовательно, она является возрастающей.
2. График функции $y_0 = \log_3 x$ проходит через ключевые точки: $(1, 0)$, так как $\log_3 1 = 0$; $(3, 1)$, так как $\log_3 3 = 1$; $(1/3, -1)$, так как $\log_3 (1/3) = -1$.
3. График заданной функции $y = 2 + \log_3 x$ получается из графика $y_0 = \log_3 x$ путем параллельного переноса на 2 единицы вверх вдоль оси ординат (оси Oy).
4. Найдем новые координаты ключевых точек. Каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y_0 = \log_3 x$ перейдет в точку $(x_0, y_0 + 2)$ на графике $y = 2 + \log_3 x$:
- Точка $(1, 0)$ переходит в $(1, 0+2) = (1, 2)$.
- Точка $(3, 1)$ переходит в $(3, 1+2) = (3, 3)$.
- Точка $(1/3, -1)$ переходит в $(1/3, -1+2) = (1/3, 1)$.
5. Найдем точку пересечения с осью абсцисс (осью Ox), приравняв $y$ к нулю:
$0 = 2 + \log_3 x$
$\log_3 x = -2$
$x = 3^{-2} = 1/9$.
Точка пересечения с осью Ox: $(1/9, 0)$.
6. Область определения функции не меняется: $x > 0$. Вертикальная асимптота также не меняется: $x=0$.

Ответ: График функции $y = 2 + \log_3 x$ получается из графика функции $y = \log_3 x$ параллельным переносом на 2 единицы вверх вдоль оси Oy. Это возрастающая функция с областью определения $x > 0$ и вертикальной асимптотой $x=0$. График проходит через точки $(1/9, 0)$, $(1, 2)$ и $(3, 3)$.

б) Для построения графика функции $y = -1 + \log_{\frac{1}{3}} x$ используем преобразование графика базовой функции.
1. Базовая функция — $y_0 = \log_{\frac{1}{3}} x$. Основание логарифма $a = 1/3$, так как $0 < 1/3 < 1$, функция является убывающей. Заметим, что $\log_{\frac{1}{3}} x = -\log_3 x$.
2. Ключевые точки для графика $y_0 = \log_{\frac{1}{3}} x$: $(1, 0)$, так как $\log_{\frac{1}{3}} 1 = 0$; $(1/3, 1)$, так как $\log_{\frac{1}{3}} (1/3) = 1$; $(3, -1)$, так как $\log_{\frac{1}{3}} 3 = -1$.
3. График функции $y = -1 + \log_{\frac{1}{3}} x$ получается из графика $y_0 = \log_{\frac{1}{3}} x$ путем параллельного переноса на 1 единицу вниз вдоль оси Oy.
4. Вычислим новые координаты ключевых точек. Каждая точка $(x_0, y_0)$ перейдет в точку $(x_0, y_0 - 1)$:
- Точка $(1, 0)$ переходит в $(1, 0-1) = (1, -1)$.
- Точка $(1/3, 1)$ переходит в $(1/3, 1-1) = (1/3, 0)$.
- Точка $(3, -1)$ переходит в $(3, -1-1) = (3, -2)$.
5. Точка пересечения с осью Ox уже найдена: $(1/3, 0)$. Проверим, приравняв $y$ к нулю:
$0 = -1 + \log_{\frac{1}{3}} x$
$\log_{\frac{1}{3}} x = 1$
$x = (1/3)^1 = 1/3$.
Точка пересечения с осью Ox: $(1/3, 0)$.
6. Область определения: $x > 0$. Вертикальная асимптота: $x=0$.

Ответ: График функции $y = -1 + \log_{\frac{1}{3}} x$ получается из графика $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ параллельным переносом на 1 единицу вниз вдоль оси Oy. Это убывающая функция с областью определения $x > 0$ и вертикальной асимптотой $x=0$. График проходит через точки $(1/3, 0)$, $(1, -1)$ и $(3, -2)$.

в) Построение графика функции $y = -3 + \log_4 x$ производится путем сдвига графика базовой функции.
1. Базовая функция — $y_0 = \log_4 x$. Основание $a=4 > 1$, поэтому функция возрастающая.
2. Ключевые точки для $y_0 = \log_4 x$: $(1, 0)$, $(4, 1)$, $(1/4, -1)$.
3. График функции $y = -3 + \log_4 x$ получается из графика $y_0 = \log_4 x$ параллельным переносом на 3 единицы вниз вдоль оси Oy.
4. Найдем новые координаты ключевых точек. Точка $(x_0, y_0)$ переходит в $(x_0, y_0 - 3)$:
- Точка $(1, 0)$ переходит в $(1, 0-3) = (1, -3)$.
- Точка $(4, 1)$ переходит в $(4, 1-3) = (4, -2)$.
- Точка $(1/4, -1)$ переходит в $(1/4, -1-3) = (1/4, -4)$.
5. Найдем точку пересечения с осью Ox ($y=0$):
$0 = -3 + \log_4 x$
$\log_4 x = 3$
$x = 4^3 = 64$.
Точка пересечения с осью Ox: $(64, 0)$.
6. Область определения: $x > 0$. Вертикальная асимптота: $x=0$.

Ответ: График функции $y = -3 + \log_4 x$ получается из графика $y = \log_4 x$ параллельным переносом на 3 единицы вниз вдоль оси Oy. Это возрастающая функция с областью определения $x > 0$ и вертикальной асимптотой $x=0$. График проходит через точки $(1, -3)$, $(4, -2)$ и $(64, 0)$.

г) Для построения графика функции $y = 0,5 + \log_{0,1} x$ выполним преобразование графика.
1. Базовая функция — $y_0 = \log_{0,1} x$. Основание $a=0,1$, так как $0 < 0,1 < 1$, функция является убывающей.
2. Ключевые точки для $y_0 = \log_{0,1} x$: $(1, 0)$, $(0,1; 1)$, $(10, -1)$.
3. График функции $y = 0,5 + \log_{0,1} x$ получается из графика $y_0 = \log_{0,1} x$ параллельным переносом на 0,5 единицы вверх вдоль оси Oy.
4. Вычислим новые координаты ключевых точек. Точка $(x_0, y_0)$ переходит в $(x_0, y_0 + 0,5)$:
- Точка $(1, 0)$ переходит в $(1, 0+0,5) = (1, 0,5)$.
- Точка $(0,1; 1)$ переходит в $(0,1; 1+0,5) = (0,1; 1,5)$.
- Точка $(10, -1)$ переходит в $(10, -1+0,5) = (10, -0,5)$.
5. Найдем точку пересечения с осью Ox ($y=0$):
$0 = 0,5 + \log_{0,1} x$
$\log_{0,1} x = -0,5 = -1/2$
$x = 0,1^{-1/2} = (1/10)^{-1/2} = 10^{1/2} = \sqrt{10}$.
Точка пересечения с осью Ox: $(\sqrt{10}, 0)$, где $\sqrt{10} \approx 3,16$.
6. Область определения: $x > 0$. Вертикальная асимптота: $x=0$.

Ответ: График функции $y = 0,5 + \log_{0,1} x$ получается из графика $y = \log_{0,1} x$ параллельным переносом на 0,5 единицы вверх вдоль оси Oy. Это убывающая функция с областью определения $x > 0$ и вертикальной асимптотой $x=0$. График проходит через точки $(\sqrt{10}, 0)$, $(1, 0,5)$ и $(0,1; 1,5)$.

Найдите область определения функции:

42.15 а) $y = \log_6(4x - 1);$

б) $y = \log_{\frac{1}{9}}(7 - 2x);$

в) $y = \log_9(8x + 9);$

г) $y = \log_{0,3}(2 - 3x).$

a) Область определения логарифмической функции $y = \log_a(f(x))$ задается условием, что аргумент логарифма должен быть строго положительным, то есть $f(x) > 0$.
Для функции $y = \log_6(4x - 1)$ это условие принимает вид:
$4x - 1 > 0$
Переносим 1 в правую часть неравенства:
$4x > 1$
Делим обе части на 4:
$x > \frac{1}{4}$
Область определения функции — это интервал $(\frac{1}{4}; +\infty)$.
Ответ: $x \in (\frac{1}{4}; +\infty)$

б) Для функции $y = \log_{\frac{1}{9}}(7 - 2x)$ аргумент логарифма также должен быть строго больше нуля:
$7 - 2x > 0$
Переносим $2x$ в правую часть неравенства:
$7 > 2x$
Делим обе части на 2:
$\frac{7}{2} > x$, что равносильно $x < \frac{7}{2}$
Область определения функции — это интервал $(-\infty; \frac{7}{2})$.
Ответ: $x \in (-\infty; \frac{7}{2})$

в) Для функции $y = \log_9(8x + 9)$ аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$8x + 9 > 0$
Переносим 9 в правую часть неравенства:
$8x > -9$
Делим обе части на 8:
$x > -\frac{9}{8}$
Область определения функции — это интервал $(-\frac{9}{8}; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\frac{9}{8}; +\infty)$

г) Для функции $y = \log_{0.3}(2 - 3x)$ аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$2 - 3x > 0$
Переносим $3x$ в правую часть неравенства:
$2 > 3x$
Делим обе части на 3:
$\frac{2}{3} > x$, что равносильно $x < \frac{2}{3}$
Область определения функции — это интервал $(-\infty; \frac{2}{3})$.
Ответ: $x \in (-\infty; \frac{2}{3})$

42.8 Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке $[a, b]:$

а) $y = \log_3 x, [\frac{1}{3}; 9];$

б) $y = \log_{\frac{1}{2}} x, [\frac{1}{8}; 16];$

в) $y = \lg x, [1; 1000];$

г) $y = \log_{\frac{2}{3}} x, [\frac{8}{27}; \frac{81}{16}].$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений логарифмической функции $y = \log_c x$ на отрезке $[a, b]$ необходимо проанализировать ее монотонность, которая зависит от основания логарифма $c$.

• Если основание $c > 1$, функция является возрастающей. Следовательно, наименьшее значение достигается в левой границе отрезка ($x=a$), а наибольшее — в правой ($x=b$).
• Если основание $0 < c < 1$, функция является убывающей. Следовательно, наименьшее значение достигается в правой границе отрезка ($x=b$), а наибольшее — в левой ($x=a$).

а) Функция $y = \log_3 x$ задана на отрезке $[\frac{1}{3}; 9]$. Основание логарифма $c = 3$, что больше 1. Следовательно, функция является возрастающей. Наименьшее значение достигается при $x = \frac{1}{3}$, а наибольшее — при $x = 9$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(\frac{1}{3}) = \log_3(\frac{1}{3}) = \log_3(3^{-1}) = -1$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(9) = \log_3(9) = \log_3(3^2) = 2$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $-1$, наибольшее значение функции равно $2$.

б) Функция $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ задана на отрезке $[\frac{1}{8}; 16]$. Основание логарифма $c = \frac{1}{2}$, что находится в интервале $(0, 1)$. Следовательно, функция является убывающей. Наибольшее значение достигается при $x = \frac{1}{8}$, а наименьшее — при $x = 16$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(\frac{1}{8}) = \log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{8}) = \log_{\frac{1}{2}}((\frac{1}{2})^3) = 3$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(16) = \log_{\frac{1}{2}}(16) = \log_{2^{-1}}(2^4) = -1 \cdot \log_2(2^4) = -4$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $-4$, наибольшее значение функции равно $3$.

в) Функция $y = \lg x$ (десятичный логарифм, $y = \log_{10} x$) задана на отрезке $[1; 1000]$. Основание логарифма $c = 10$, что больше 1. Следовательно, функция является возрастающей. Наименьшее значение достигается при $x = 1$, а наибольшее — при $x = 1000$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(1) = \lg 1 = 0$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(1000) = \lg 1000 = \lg 10^3 = 3$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $0$, наибольшее значение функции равно $3$.

г) Функция $y = \log_{\frac{2}{3}} x$ задана на отрезке $[\frac{8}{27}; \frac{81}{16}]$. Основание логарифма $c = \frac{2}{3}$, что находится в интервале $(0, 1)$. Следовательно, функция является убывающей. Наибольшее значение достигается при $x = \frac{8}{27}$, а наименьшее — при $x = \frac{81}{16}$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(\frac{8}{27}) = \log_{\frac{2}{3}}(\frac{8}{27}) = \log_{\frac{2}{3}}((\frac{2}{3})^3) = 3$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(\frac{81}{16}) = \log_{\frac{2}{3}}(\frac{81}{16}) = \log_{\frac{2}{3}}(\frac{3^4}{2^4}) = \log_{\frac{2}{3}}((\frac{3}{2})^4) = \log_{\frac{2}{3}}((\frac{2}{3})^{-4}) = -4$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $-4$, наибольшее значение функции равно $3$.

42.12 a) $y = 3 \log_4 x;$

б) $y = 2 \log_{\frac{1}{3}} x;$

в) $y = 5 \log_8 x;$

г) $y = \frac{1}{2} \log_{0.5} x.$

а) Дана функция $y = 3\log_4 x$. Задача состоит в том, чтобы представить эту функцию в виде логарифма по новому основанию, то есть в форме $y = \log_b x$.
Воспользуемся свойством логарифма: $k \cdot \log_a c = \log_{a^{1/k}} c$. Это свойство позволяет "перенести" коэффициент перед логарифмом в его основание.
В данном случае коэффициент $k=3$ и основание $a=4$.
Найдем новое основание $b$ по формуле $b = a^{1/k}$:
$b = 4^{1/3} = \sqrt[3]{4}$.
Таким образом, исходная функция может быть записана как:
$y = \log_{\sqrt[3]{4}} x$.
Ответ: $y = \log_{\sqrt[3]{4}} x$.

б) Дана функция $y = 2\log_{\frac{1}{3}} x$. Аналогично пункту а), применим свойство $k \cdot \log_a c = \log_{a^{1/k}} c$.
Здесь коэффициент $k=2$, а основание $a=\frac{1}{3}$.
Найдем новое основание $b$:
$b = a^{1/k} = \left(\frac{1}{3}\right)^{1/2} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Следовательно, функция принимает вид:
$y = \log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} x$.
Ответ: $y = \log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} x$.

в) Дана функция $y = 5\log_8 x$. Используем то же свойство $k \cdot \log_a c = \log_{a^{1/k}} c$.
В этом примере коэффициент $k=5$, а основание $a=8$.
Вычислим новое основание $b$:
$b = a^{1/k} = 8^{1/5} = \sqrt[5]{8}$.
Таким образом, получаем:
$y = \log_{\sqrt[5]{8}} x$.
Ответ: $y = \log_{\sqrt[5]{8}} x$.

г) Дана функция $y = \frac{1}{2}\log_{0.5} x$. Снова применяем свойство $k \cdot \log_a c = \log_{a^{1/k}} c$.
Здесь коэффициент $k=\frac{1}{2}$, а основание $a=0.5$.
Найдем новое основание $b$:
$b = a^{1/k} = (0.5)^{1/(1/2)} = (0.5)^2 = 0.25$.
Следовательно, функция может быть записана как:
$y = \log_{0.25} x$.
Ответ: $y = \log_{0.25} x$.

42.16 a) $y = \log_5(x^2 - 5x + 6);$

б) $y = \log_{\frac{2}{3}}(-x^2 - 5x + 14);$

В) $y = \log_9(x^2 - 13x + 12);$

Г) $y = \log_{0,2}(-x^2 + 8x + 9).$

Чтобы найти область определения для каждой логарифмической функции вида $y = \log_a(f(x))$, необходимо решить неравенство $f(x) > 0$, так как аргумент логарифма должен быть строго положительным.

Для функции $y = \log_5(x^2 - 5x + 6)$ область определения находится из условия:

$x^2 - 5x + 6 > 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 5$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 6$. Отсюда корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

Неравенство можно переписать в виде $(x - 2)(x - 3) > 0$. Графиком функции $f(x) = x^2 - 5x + 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями.

Таким образом, решением неравенства является объединение интервалов $(-\infty; 2) \cup (3; \infty)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 2) \cup (3; \infty)$.

Для функции $y = \log_{\frac{2}{3}}(-x^2 - 5x + 14)$ область определения находится из условия:

$-x^2 - 5x + 14 > 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x^2 + 5x - 14 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 5x - 14 = 0$. Используя формулу для корней квадратного уравнения, получаем: $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81$.

$x_1 = \frac{-5 - \sqrt{81}}{2} = \frac{-5 - 9}{2} = -7$

$x_2 = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-5 + 9}{2} = 2$

Неравенство можно записать как $(x + 7)(x - 2) < 0$. Ветви параболы $f(x) = x^2 + 5x - 14$ направлены вверх, поэтому значения функции отрицательны на интервале между корнями.

Решением неравенства является интервал $(-7; 2)$.

Ответ: $D(y) = (-7; 2)$.

Для функции $y = \log_9(x^2 - 13x + 12)$ область определения находится из условия:

$x^2 - 13x + 12 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 13x + 12 = 0$. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 13$, $x_1 \cdot x_2 = 12$. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 12$.

Неравенство можно записать как $(x - 1)(x - 12) > 0$. Ветви параболы $f(x) = x^2 - 13x + 12$ направлены вверх, поэтому значения функции положительны вне интервала между корнями.

Решением является объединение интервалов $(-\infty; 1) \cup (12; \infty)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (12; \infty)$.

Для функции $y = \log_{0.2}(-x^2 + 8x + 9)$ область определения находится из условия:

$-x^2 + 8x + 9 > 0$

Умножим неравенство на -1 и изменим знак:

$x^2 - 8x - 9 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 8x - 9 = 0$. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 8$, $x_1 \cdot x_2 = -9$. Корни: $x_1 = -1$, $x_2 = 9$.

Неравенство можно записать как $(x + 1)(x - 9) < 0$. Ветви параболы $f(x) = x^2 - 8x - 9$ направлены вверх, поэтому значения функции отрицательны на интервале между корнями.

Решением неравенства является интервал $(-1; 9)$.

Ответ: $D(y) = (-1; 9)$.

42.9 a) Найдите, на каком промежутке функция $y = \log_3 x$ принимает наибольшее значение, равное 4, и наименьшее, равное -2.

б) Найдите, на каком промежутке функция $y = \log_{0.5} x$ принимает наибольшее значение, равное -1, и наименьшее, равное -3.

а) Нам дана функция $y = \log_3 x$. Требуется найти промежуток по $x$, на котором функция принимает значения от -2 до 4 включительно.
Основание логарифма $a=3$, так как $a > 1$, функция является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$, и наоборот, меньшему значению $x$ соответствует меньшее значение $y$.
Следовательно, наименьшее значение функции $y_{min} = -2$ достигается при наименьшем значении $x$, а наибольшее значение функции $y_{max} = 4$ достигается при наибольшем значении $x$.
Найдем значение $x$, при котором $y = -2$:
$\log_3 x = -2$
По определению логарифма:
$x = 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$
Это левая граница искомого промежутка.
Найдем значение $x$, при котором $y = 4$:
$\log_3 x = 4$
По определению логарифма:
$x = 3^4 = 81$
Это правая граница искомого промежутка.
Таким образом, функция принимает значения от -2 до 4 на промежутке $[\frac{1}{9}, 81]$.
Ответ: $[\frac{1}{9}; 81]$

б) Нам дана функция $y = \log_{0.5} x$. Требуется найти промежуток по $x$, на котором функция принимает значения от -3 до -1 включительно.
Основание логарифма $a=0.5$, так как $0 < a < 1$, функция является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции $y$, и наоборот, меньшему значению $x$ соответствует большее значение $y$.
Следовательно, наибольшее значение функции $y_{max} = -1$ достигается при наименьшем значении $x$, а наименьшее значение функции $y_{min} = -3$ достигается при наибольшем значении $x$.
Найдем значение $x$, при котором $y = -1$ (это будет левая граница промежутка):
$\log_{0.5} x = -1$
По определению логарифма:
$x = (0.5)^{-1} = (\frac{1}{2})^{-1} = 2$
Найдем значение $x$, при котором $y = -3$ (это будет правая граница промежутка):
$\log_{0.5} x = -3$
По определению логарифма:
$x = (0.5)^{-3} = (\frac{1}{2})^{-3} = 2^3 = 8$
Таким образом, функция принимает значения от -3 до -1 на промежутке $[2, 8]$.
Ответ: $[2; 8]$

42.13 a) $y = -2 \log_7 x;$

б) $y = -4 \log_{\frac{1}{6}} x;$

В) $y = -0,5 \log_2 x;$

Г) $y = -\log_{\frac{2}{3}} x.$

Поскольку в задании не указан конкретный вопрос, проведем исследование каждой функции на монотонность (возрастание или убывание). Для этого будем анализировать основание логарифма $a$ и коэффициент $k$ в функции вида $y = k\log_a x$.

• Если $a > 1$, функция $\log_a x$ возрастает.
• Если $0 < a < 1$, функция $\log_a x$ убывает.
• Если коэффициент $k > 0$, характер монотонности сохраняется.
• Если коэффициент $k < 0$, характер монотонности меняется на противоположный.

а) $y = -2\log_7 x$

Это логарифмическая функция с областью определения $x > 0$, то есть $x \in (0; +\infty)$.

Основание логарифма $a = 7$. Так как $a > 1$, функция $f(x) = \log_7 x$ является возрастающей.

Коэффициент перед логарифмом $k = -2$. Так как $k < 0$, функция $y = -2\log_7 x$ имеет характер монотонности, противоположный функции $f(x) = \log_7 x$.

Следовательно, данная функция является убывающей на всей своей области определения.

Ответ: функция является убывающей.

б) $y = -4\log_{\frac{1}{6}} x$

Это логарифмическая функция с областью определения $x > 0$, то есть $x \in (0; +\infty)$.

Основание логарифма $a = \frac{1}{6}$. Так как $0 < a < 1$, функция $f(x) = \log_{\frac{1}{6}} x$ является убывающей.

Коэффициент перед логарифмом $k = -4$. Так как $k < 0$, монотонность функции $y = -4\log_{\frac{1}{6}} x$ меняется на противоположную.

Убывающая функция, умноженная на отрицательное число, становится возрастающей. Следовательно, данная функция является возрастающей.

Также можно преобразовать выражение: $y = -4\log_{\frac{1}{6}} x = -4\log_{6^{-1}} x = -4(-1)\log_6 x = 4\log_6 x$. В новой записи основание $6 > 1$ и коэффициент $4 > 0$, что также указывает на то, что функция возрастающая.

Ответ: функция является возрастающей.

в) $y = -0,5\log_2 x$

Это логарифмическая функция с областью определения $x > 0$, то есть $x \in (0; +\infty)$.

Основание логарифма $a = 2$. Так как $a > 1$, функция $f(x) = \log_2 x$ является возрастающей.

Коэффициент перед логарифмом $k = -0,5$. Так как $k < 0$, функция $y = -0,5\log_2 x$ меняет характер монотонности на противоположный.

Следовательно, данная функция является убывающей.

Ответ: функция является убывающей.

г) $y = -\log_{\frac{2}{3}} x$

Это логарифмическая функция с областью определения $x > 0$, то есть $x \in (0; +\infty)$.

Основание логарифма $a = \frac{2}{3}$. Так как $0 < a < 1$, функция $f(x) = \log_{\frac{2}{3}} x$ является убывающей.

Коэффициент перед логарифмом $k = -1$. Так как $k < 0$, монотонность функции $y = -\log_{\frac{2}{3}} x$ меняется на противоположную.

Следовательно, данная функция является возрастающей.

Также можно преобразовать выражение: $y = -\log_{\frac{2}{3}} x = (-1)\log_{(3/2)^{-1}} x = (-1)(-1)\log_{3/2} x = \log_{3/2} x$. В новой записи основание $\frac{3}{2} > 1$, что указывает на то, что функция возрастающая.

Ответ: функция является возрастающей.

42.10 Найдите наибольшее значение функции:

а) $y = \log_{\frac{1}{2}} (x^2 + 4);$

б) $y = \log_{0.3}(x^2 - 4x + 3).$

а) Дана функция $y = \log_{\frac{1}{2}}(x^2 + 4)$.
Основание логарифма $a = \frac{1}{2}$. Так как $0 < a < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что наибольшее значение функции $y$ достигается при наименьшем значении ее аргумента $t(x) = x^2 + 4$.
Рассмотрим аргумент функции — выражение $t(x) = x^2 + 4$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх. Свое наименьшее значение такая функция принимает в вершине.
Координата x вершины параболы: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$.
Найдем наименьшее значение аргумента, подставив $x = 0$ в выражение $t(x)$:
$t_{min} = t(0) = 0^2 + 4 = 4$.
Поскольку наименьшее значение аргумента $t_{min} = 4 > 0$, оно входит в область допустимых значений аргумента логарифма.
Теперь найдем наибольшее значение функции $y$, подставив в нее наименьшее значение аргумента:
$y_{max} = \log_{\frac{1}{2}}(t_{min}) = \log_{\frac{1}{2}}(4)$.
Вычислим значение логарифма:
$\log_{\frac{1}{2}}(4) = \log_{2^{-1}}(2^2) = \frac{2}{-1} \log_2(2) = -2 \cdot 1 = -2$.
Таким образом, наибольшее значение функции равно -2.
Ответ: -2.

б) Дана функция $y = \log_{0.3}(x^2 - 4x + 3)$.
Основание логарифма $a = 0.3$. Так как $0 < a < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Следовательно, для нахождения наибольшего значения функции $y$ необходимо найти наименьшее значение ее аргумента $t(x) = x^2 - 4x + 3$.
Сначала определим область определения функции. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$x^2 - 4x + 3 > 0$.
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.
Поскольку график функции $t(x)$ — парабола с ветвями вверх, неравенство $t(x) > 0$ выполняется при $x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty)$. Это и есть область определения функции $y$.
Теперь исследуем поведение аргумента $t(x) = x^2 - 4x + 3$ на этой области определения. Вершина параболы находится в точке $x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$. Эта точка не входит в область определения функции $y$.
На интервале $(-\infty, 1)$ функция $t(x)$ убывает, а на интервале $(3, \infty)$ — возрастает. Когда $x$ стремится к 1 слева ($x \to 1^-$) или к 3 справа ($x \to 3^+$), значение аргумента $t(x)$ стремится к 0 с положительной стороны ($t(x) \to 0^+$).
Это означает, что аргумент $t(x)$ может принимать сколь угодно малые положительные значения, но никогда не достигает своего наименьшего значения на области определения.
Поскольку функция $y = \log_{0.3}(t)$ является убывающей, ее значение будет тем больше, чем меньше значение ее аргумента $t$.
Так как значение аргумента $t(x)$ может быть сколь угодно близким к нулю ($t(x) \to 0^+$), значение функции $y = \log_{0.3}(t(x))$ будет неограниченно возрастать.
$\lim_{t \to 0^+} \log_{0.3}(t) = +\infty$.
Следовательно, функция не ограничена сверху и не имеет наибольшего значения.
Ответ: наибольшего значения не существует.

42.14 a) $y = \log_2 (x + 4)$;

б) $y = \log_{\frac{1}{5}} (x - 3)$;

В) $y = \log_5 (x - 1)$;

Г) $y = \log_{0,3} (x + 5).

а) Область определения логарифмической функции задается условием, что ее аргумент должен быть строго положительным. Для функции $y = \log_2(x + 4)$ это означает, что должно выполняться неравенство:
$x + 4 > 0$
Решая это неравенство путем переноса 4 в правую часть с изменением знака, получаем:
$x > -4$
Таким образом, область определения функции — это все числа, которые больше -4. В виде интервала это записывается как $(-4; +\infty)$.

Ответ: $D(y) = (-4; +\infty)$.

б) Для функции $y = \log_{\frac{1}{5}}(x - 3)$ область определения также находится из условия, что аргумент логарифма должен быть больше нуля. Составим и решим неравенство:
$x - 3 > 0$
Прибавив 3 к обеим частям неравенства, получим:
$x > 3$
Следовательно, область определения данной функции — это интервал $(3; +\infty)$.

Ответ: $D(y) = (3; +\infty)$.

в) Для функции $y = \log_5(x - 1)$ аргумент логарифма, выражение $(x - 1)$, должен быть строго положительным. Запишем соответствующее неравенство:
$x - 1 > 0$
Решив его, находим:
$x > 1$
Значит, область определения функции — это все числа, большие 1, то есть интервал $(1; +\infty)$.

Ответ: $D(y) = (1; +\infty)$.

г) Для функции $y = \log_{0.3}(x + 5)$ находим область определения из условия положительности ее аргумента, то есть $(x + 5)$. Решаем неравенство:
$x + 5 > 0$
Вычитая 5 из обеих частей неравенства, получаем:
$x > -5$
Областью определения функции является интервал $(-5; +\infty)$.

Ответ: $D(y) = (-5; +\infty)$.