Страница 170, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

41.17 a) $4^x - 5 \cdot 2^x = -6;$

б) $16^x = 6 \cdot 4^x - 5;$

В) $9^x - 7 \cdot 3^x = -12;$

Г) $-9 \cdot 7^x + 14 = -49^x.$

а) $4^x - 5 \cdot 2^x = -6$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить уравнение в стандартном виде:

$4^x - 5 \cdot 2^x + 6 = 0$

Данное уравнение является показательным. Заметим, что $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$. Это позволяет свести уравнение к квадратному с помощью замены переменной.

Пусть $t = 2^x$. Поскольку основание степени $2 > 0$, то $2^x > 0$ для любого действительного $x$. Следовательно, на новую переменную $t$ накладывается ограничение $t > 0$.

Подставим $t$ в уравнение:

$t^2 - 5t + 6 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$

Найдем корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$

Оба корня ($t_1=2$ и $t_2=3$) удовлетворяют условию $t>0$.

Теперь выполним обратную замену для каждого корня:

1) $2^x = t_1 \Rightarrow 2^x = 2$. Так как $2 = 2^1$, получаем $x_1 = 1$.

2) $2^x = t_2 \Rightarrow 2^x = 3$. Чтобы найти $x$, прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2: $x_2 = \log_2 3$.

Ответ: $1; \log_2 3$.

б) $16^x = 6 \cdot 4^x - 5$

Перенесем все члены в левую часть:

$16^x - 6 \cdot 4^x + 5 = 0$

Заметим, что $16^x = (4^2)^x = (4^x)^2$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 4^x$. Так как $4^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$.

После замены уравнение принимает вид:

$t^2 - 6t + 5 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно 5. Легко подобрать корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 5$.

Оба корня положительны, значит, оба подходят.

Выполним обратную замену:

1) $4^x = t_1 \Rightarrow 4^x = 1$. Так как $1 = 4^0$, получаем $x_1 = 0$.

2) $4^x = t_2 \Rightarrow 4^x = 5$. Логарифмируя обе части по основанию 4, получаем $x_2 = \log_4 5$.

Ответ: $0; \log_4 5$.

в) $9^x - 7 \cdot 3^x = -12$

Перенесем все члены в левую часть:

$9^x - 7 \cdot 3^x + 12 = 0$

Заметим, что $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как $3^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$.

Уравнение сводится к квадратному:

$t^2 - 7t + 12 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение равно 12. Корнями являются числа 3 и 4.

$t_1 = 3$, $t_2 = 4$.

Оба корня положительны и удовлетворяют условию $t>0$.

Выполним обратную замену:

1) $3^x = t_1 \Rightarrow 3^x = 3$. Так как $3 = 3^1$, получаем $x_1 = 1$.

2) $3^x = t_2 \Rightarrow 3^x = 4$. Логарифмируя по основанию 3, получаем $x_2 = \log_3 4$.

Ответ: $1; \log_3 4$.

г) $-9 \cdot 7^x + 14 = -49^x$

Перенесем все члены в левую часть и упорядочим их по убыванию степеней:

$49^x - 9 \cdot 7^x + 14 = 0$

Заметим, что $49^x = (7^2)^x = (7^x)^2$. Введем замену. Пусть $t = 7^x$. Условие на переменную $t$ — $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$t^2 - 9t + 14 = 0$

Решим его. По теореме Виета, сумма корней равна 9, произведение равно 14. Корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = 7$.

Оба корня положительны, значит, оба являются допустимыми.

Выполним обратную замену:

1) $7^x = t_1 \Rightarrow 7^x = 2$. Логарифмируя по основанию 7, получаем $x_1 = \log_7 2$.

2) $7^x = t_2 \Rightarrow 7^x = 7$. Так как $7 = 7^1$, получаем $x_2 = 1$.

Ответ: $\log_7 2; 1$.

41.21 Решите уравнение с параметром a:

a) $4^x - 2^x + a = a \cdot 2^x;$

б) $9^x - (2a + 1) \cdot 3^x + a^2 + a - 2 = 0.$

a) $4^x - 2^x + a = a \cdot 2^x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и сгруппируем их:

$4^x - 2^x - a \cdot 2^x + a = 0$

Заметим, что $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$. Вынесем общий множитель $-2^x$ за скобки:

$(2^x)^2 - (1+a) \cdot 2^x + a = 0$

Данное уравнение является показательным, и оно сводится к квадратному уравнению с помощью замены переменной. Пусть $t = 2^x$. Поскольку показательная функция $y=2^x$ принимает только положительные значения, на новую переменную $t$ накладывается ограничение: $t > 0$.

С учетом замены уравнение принимает вид:

$t^2 - (1+a)t + a = 0$

Это приведенное квадратное уравнение относительно $t$. Его корни можно найти по теореме Виета. Сумма корней равна $t_1 + t_2 = 1+a$, а их произведение $t_1 \cdot t_2 = a$. Очевидно, что корнями являются $t_1 = 1$ и $t_2 = a$.

Теперь необходимо выполнить обратную замену $t = 2^x$, учитывая условие $t > 0$.

1. Первый корень $t_1 = 1$. Этот корень всегда удовлетворяет условию $t>0$.

$2^x = 1 \implies 2^x = 2^0 \implies x = 0$.

Этот корень $x=0$ существует при любом значении параметра $a$.

2. Второй корень $t_2 = a$.

Для существования решения $x$ из уравнения $2^x = a$ необходимо, чтобы правая часть была положительной, то есть $a > 0$.

Если $a > 0$, то $2^x = a \implies x = \log_2 a$.

Проанализируем полученные решения в зависимости от значения параметра $a$.

• Если $a \le 0$, то корень $t_2=a$ не удовлетворяет условию $t>0$, и уравнение $2^x = a$ не имеет решений. В этом случае исходное уравнение имеет только одно решение, соответствующее корню $t_1=1$: $x=0$.
• Если $a > 0$, то оба корня для $t$ ($t_1=1$ и $t_2=a$) положительны. Уравнение может иметь два решения: $x=0$ и $x=\log_2 a$. Эти решения совпадут, если $\log_2 a = 0$, что равносильно $a=1$. При $a=1$ корни для $t$ совпадают ($t_1=t_2=1$), и уравнение имеет единственное решение $x=0$.

Соберем все случаи вместе:

1. Если $a \le 0$ или $a=1$, уравнение имеет одно решение $x=0$.

2. Если $a > 0$ и $a \ne 1$, уравнение имеет два различных решения: $x=0$ и $x=\log_2 a$.

Ответ:

если $a \le 0$ или $a=1$, то $x=0$;

если $a > 0$ и $a \ne 1$, то $x_1=0$, $x_2=\log_2 a$.

б) $9^x - (2a + 1) \cdot 3^x + a^2 + a - 2 = 0$

Заметим, что $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$. Следовательно, данное уравнение является квадратным относительно $3^x$.

$(3^x)^2 - (2a+1) \cdot 3^x + (a^2 + a - 2) = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = 3^x$. Так как показательная функция $y=3^x$ всегда положительна ($y>0$), на новую переменную накладывается ограничение $y > 0$.

Уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $y$:

$y^2 - (2a+1)y + (a^2 + a - 2) = 0$

Найдем его корни. Вычислим дискриминант $D$:

$D = (-(2a+1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2+a-2) = (4a^2 + 4a + 1) - (4a^2+4a-8) = 4a^2+4a+1-4a^2-4a+8 = 9$.

Так как дискриминант положителен, уравнение всегда имеет два различных корня для $y$:

$y = \frac{(2a+1) \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{2a+1 \pm 3}{2}$

Получаем два корня:

$y_1 = \frac{2a+1+3}{2} = \frac{2a+4}{2} = a+2$

$y_2 = \frac{2a+1-3}{2} = \frac{2a-2}{2} = a-1$

Теперь вернемся к замене $y = 3^x$ и учтем условие $y>0$.

1. Уравнение $3^x = y_1 = a+2$ имеет решение тогда и только тогда, когда $a+2 > 0$, то есть $a > -2$. В этом случае решение: $x = \log_3(a+2)$.

2. Уравнение $3^x = y_2 = a-1$ имеет решение тогда и только тогда, когда $a-1 > 0$, то есть $a > 1$. В этом случае решение: $x = \log_3(a-1)$.

Рассмотрим различные случаи в зависимости от значения параметра $a$, анализируя условия $a > -2$ и $a > 1$.

• Если $a \le -2$. В этом случае $a+2 \le 0$ и $a-1 < 0$. Оба корня для $y$ ($y_1$ и $y_2$) неположительны, следовательно, исходное уравнение не имеет действительных решений.
• Если $-2 < a \le 1$. В этом случае $a+2 > 0$, а $a-1 \le 0$. Только один корень для $y$ положителен: $y_1 = a+2$. Следовательно, исходное уравнение имеет одно решение: $x = \log_3(a+2)$.
• Если $a > 1$. В этом случае $a+2 > 0$ и $a-1 > 0$. Оба корня для $y$ положительны. Исходное уравнение имеет два различных решения (так как $a+2 \ne a-1$ при любом $a$): $x_1 = \log_3(a+2)$ и $x_2 = \log_3(a-1)$.

Ответ:

если $a \le -2$, то решений нет;

если $-2 < a \le 1$, то $x=\log_3(a+2)$;

если $a > 1$, то $x_1=\log_3(a-1)$, $x_2=\log_3(a+2)$.

Решите неравенство:

41.18 а) $2^x \ge 9$;

б) $12^x \le 7$;

в) $(\frac{1}{3})^x < 4$;

г) $(0.2)^x > 5$.

а) Дано неравенство $2^x \ge 9$.
Для решения этого показательного неравенства прологарифмируем обе его части по основанию 2. Так как основание логарифма $2 > 1$, показательная функция является возрастающей, поэтому знак неравенства при логарифмировании сохраняется.
$\log_2(2^x) \ge \log_2(9)$
Используя свойство логарифма $\log_a(a^b) = b$, получаем:
$x \ge \log_2(9)$.
Ответ: $x \in [\log_2(9), +\infty)$.

б) Дано неравенство $12^x \le 7$.
Прологарифмируем обе части неравенства по основанию 12. Так как основание $12 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей, и знак неравенства не меняется.
$\log_{12}(12^x) \le \log_{12}(7)$
По свойству логарифма $\log_a(a^b) = b$ получаем:
$x \le \log_{12}(7)$.
Ответ: $x \in (-\infty, \log_{12}(7)]$.

в) Дано неравенство $(\frac{1}{3})^x < 4$.
Представим основание степени $\frac{1}{3}$ как $3^{-1}$. Неравенство примет вид:
$(3^{-1})^x < 4$
$3^{-x} < 4$
Теперь прологарифмируем обе части по основанию 3. Так как основание $3 > 1$, знак неравенства сохраняется.
$\log_3(3^{-x}) < \log_3(4)$
$-x < \log_3(4)$
Умножим обе части на -1, при этом необходимо изменить знак неравенства на противоположный:
$x > -\log_3(4)$.
Ответ: $x \in (-\log_3(4), +\infty)$.

г) Дано неравенство $(0.2)^x > 5$.
Представим $0.2$ в виде дроби $\frac{1}{5}$, а затем в виде степени $5^{-1}$. Неравенство можно переписать так:
$(\frac{1}{5})^x > 5$
$(5^{-1})^x > 5^1$
$5^{-x} > 5^1$
Так как основание степени $5 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, можно перейти к неравенству для показателей, сохранив знак исходного неравенства.
$-x > 1$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$x < -1$.
Ответ: $x \in (-\infty, -1)$.

41.22 Постройте график функции:

а) $y = \log_x x^2$;

б) $y = 2^{\log_2 x}$;

в) $y = x^{\log_x 2}$;

г) $y = \log_x \frac{1}{x}$.

а) $y = \log_x x^2$

Сначала найдем область определения функции (ОДЗ). Основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице: $x > 0$ и $x \neq 1$. Аргумент логарифма должен быть больше нуля: $x^2 > 0$. Это верно для всех $x \neq 0$. Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, +\infty)$.

Теперь упростим выражение для функции, используя свойство логарифма $\log_a b^c = c \log_a b$: $y = \log_x x^2 = 2 \log_x x$. Так как для любого $x$ из области определения $\log_x x = 1$, то: $y = 2 \cdot 1 = 2$.

Таким образом, функция представляет собой константу $y=2$ на всей области определения. Графиком является прямая линия $y=2$, параллельная оси Ox, с выколотой точкой при $x=1$, так как $x=1$ не входит в ОДЗ. Координаты выколотой точки — $(1, 2)$.

Ответ: График функции — это прямая $y=2$ с выколотой точкой $(1, 2)$.

б) $y = 2^{\log_2 x}$

Найдем область определения функции. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x > 0$. ОДЗ: $x \in (0, +\infty)$.

Упростим функцию, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$: $y = 2^{\log_2 x} = x$.

Функция принимает вид $y=x$ при условии $x > 0$. Графиком является луч, выходящий из начала координат (точка $(0,0)$ выколота), который является биссектрисой первого координатного угла.

Ответ: График функции — это луч $y=x$ при $x > 0$.

в) $y = x^{\log_x 2}$

Найдем область определения функции. Основание степени $x$ должно быть положительным: $x > 0$. Также $x$ является основанием логарифма, поэтому оно не должно быть равно единице: $x \neq 1$. Аргумент логарифма $2 > 0$, это условие выполняется. ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, +\infty)$.

Упростим функцию, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$: $y = x^{\log_x 2} = 2$.

Это та же функция, что и в пункте а). Функция представляет собой константу $y=2$ на всей области определения. Графиком является прямая линия $y=2$ с выколотой точкой при $x=1$. Координаты выколотой точки — $(1, 2)$.

Ответ: График функции — это прямая $y=2$ с выколотой точкой $(1, 2)$.

г) $y = \log_x \frac{1}{x}$

Найдем область определения функции. Основание логарифма $x$ должно быть положительным и не равным единице: $x > 0$ и $x \neq 1$. Аргумент логарифма $\frac{1}{x}$ должен быть положительным. Так как $x > 0$, это условие выполняется. ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, +\infty)$.

Упростим выражение для функции. Представим $\frac{1}{x}$ как $x^{-1}$ и воспользуемся свойством логарифма $\log_a b^c = c \log_a b$: $y = \log_x \frac{1}{x} = \log_x (x^{-1}) = -1 \cdot \log_x x$. Поскольку $\log_x x = 1$ для всех $x$ из ОДЗ, получаем: $y = -1$.

Функция является константой $y=-1$ на всей области определения. Графиком является прямая линия $y=-1$, параллельная оси Ox, с выколотой точкой при $x=1$. Координаты выколотой точки — $(1, -1)$.

Ответ: График функции — это прямая $y=-1$ с выколотой точкой $(1, -1)$.

41.15 а) $2^x = 9$;

б) $12^x = 7$;

В) $(\frac{1}{3})^x = 4$;

Г) $(0,2)^x = 5.

а)

Дано показательное уравнение $2^x = 9$.

Для решения этого уравнения воспользуемся определением логарифма. Логарифмом числа $b$ по основанию $a$ (обозначается $\log_a b$) называется показатель степени, в которую нужно возвести основание $a$, чтобы получить число $b$. То есть, равенство $a^x = b$ равносильно равенству $x = \log_a b$.

Применительно к нашему уравнению, основание $a=2$, а число $b=9$. Следовательно, показатель степени $x$ равен:

$x = \log_2 9$.

Можно также представить $9$ как $3^2$ и использовать свойство логарифма $\log_a(m^k) = k \log_a m$:

$x = \log_2(3^2) = 2\log_2 3$.

Оба вида ответа являются верными.

Ответ: $x = \log_2 9$.

б)

Дано показательное уравнение $12^x = 7$.

Используя определение логарифма, как и в предыдущем примере, где $a=12$ и $b=7$, мы можем сразу записать решение для $x$:

$x = \log_{12} 7$.

Так как числа 12 и 7 не имеют общих степенных связей, которые позволили бы упростить выражение, это является окончательным ответом.

Ответ: $x = \log_{12} 7$.

в)

Дано показательное уравнение $(\frac{1}{3})^x = 4$.

По определению логарифма, мы получаем:

$x = \log_{\frac{1}{3}} 4$.

Это выражение можно упростить. Представим основание логарифма $\frac{1}{3}$ в виде степени: $\frac{1}{3} = 3^{-1}$.

$x = \log_{3^{-1}} 4$.

Воспользуемся свойством логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$. В нашем случае $a=3$, $b=4$, $k=-1$.

$x = \frac{1}{-1} \log_3 4 = -\log_3 4$.

Другой способ — преобразовать исходное уравнение:

$(\frac{1}{3})^x = (3^{-1})^x = 3^{-x}$.

Тогда уравнение имеет вид $3^{-x} = 4$. Теперь, по определению логарифма:

$-x = \log_3 4$.

$x = -\log_3 4$.

Ответ: $x = -\log_3 4$.

г)

Дано показательное уравнение $(0,2)^x = 5$.

Сначала преобразуем десятичную дробь $0,2$ в обыкновенную:

$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Теперь уравнение выглядит так:

$(\frac{1}{5})^x = 5$.

Представим дробь $\frac{1}{5}$ как степень числа 5: $\frac{1}{5} = 5^{-1}$.

$(5^{-1})^x = 5$.

Используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$5^{-x} = 5$.

Так как любое число без указания степени считается в первой степени ($5 = 5^1$), мы имеем:

$5^{-x} = 5^1$.

Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$-x = 1$.

Отсюда находим $x$:

$x = -1$.

Ответ: $x = -1$.

41.19 а) $4^x - 5 \cdot 2^x \ge -6;$

б) $16^x \le 6 \cdot 4^x - 5;$

в) $9^x - 7 \cdot 3^x < -12;$

г) $9 \cdot 7^x + 14 > -49^x.$

а) $4^x - 5 \cdot 2^x \ge -6$

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$4^x - 5 \cdot 2^x + 6 \ge 0$

Заметим, что $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Поскольку показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство относительно $t$:

$t^2 - 5t + 6 \ge 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 2$ и $t_2 = 3$.

Парабола $y = t^2 - 5t + 6$ ветвями вверх, поэтому неравенство $y \ge 0$ выполняется при $t \le 2$ или $t \ge 3$.

Объединим это решение с условием $t > 0$:

$\begin{cases} [ \begin{smallmatrix} t \le 2 \\ t \ge 3 \end{smallmatrix} \\ t > 0 \end{cases} \implies \begin{smallmatrix} 0 < t \le 2 \\ t \ge 3 \end{smallmatrix}$

Выполним обратную замену $t = 2^x$:

1) $0 < 2^x \le 2$. Неравенство $2^x > 0$ выполняется для любого $x$. Решаем $2^x \le 2^1$. Так как основание $2 > 1$, то $x \le 1$.

2) $2^x \ge 3$. Прологарифмируем обе части по основанию 2. Так как основание $2 > 1$, знак неравенства сохраняется: $x \ge \log_2 3$.

Объединяя решения, получаем: $x \in (-\infty, 1] \cup [\log_2 3, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 1] \cup [\log_2 3, +\infty)$.

б) $16^x \le 6 \cdot 4^x - 5$

Перенесем все члены в левую часть:

$16^x - 6 \cdot 4^x + 5 \le 0$

Так как $16^x = (4^2)^x = (4^x)^2$, введем замену $t = 4^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство:

$t^2 - 6t + 5 \le 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 6t + 5 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 1$, $t_2 = 5$.

Парабола $y = t^2 - 6t + 5$ ветвями вверх, значит, неравенство $y \le 0$ выполняется между корнями: $1 \le t \le 5$.

Это решение удовлетворяет условию $t > 0$.

Выполним обратную замену:

$1 \le 4^x \le 5$

Это двойное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} 4^x \ge 1 \\ 4^x \le 5 \end{cases} \implies \begin{cases} 4^x \ge 4^0 \\ 4^x \le 5 \end{cases}$

Так как основание $4 > 1$, переходим к неравенствам для показателей:

$\begin{cases} x \ge 0 \\ x \le \log_4 5 \end{cases}$

Следовательно, $0 \le x \le \log_4 5$.

Ответ: $x \in [0, \log_4 5]$.

в) $9^x - 7 \cdot 3^x < -12$

Перенесем все члены в левую часть:

$9^x - 7 \cdot 3^x + 12 < 0$

Поскольку $9^x = (3^x)^2$, сделаем замену $t = 3^x$, где $t > 0$.

Получаем неравенство:

$t^2 - 7t + 12 < 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 7t + 12 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 3$, $t_2 = 4$.

Парабола $y = t^2 - 7t + 12$ ветвями вверх, поэтому неравенство $y < 0$ выполняется строго между корнями: $3 < t < 4$.

Это решение удовлетворяет условию $t > 0$.

Сделаем обратную замену:

$3 < 3^x < 4$

Так как основание $3 > 1$, логарифмируя по основанию 3, получаем:

$\log_3 3 < \log_3(3^x) < \log_3 4$

$1 < x < \log_3 4$

Ответ: $x \in (1, \log_3 4)$.

г) $9 \cdot 7^x + 14 > -49^x$

Перенесем все члены в левую часть:

$49^x + 9 \cdot 7^x + 14 > 0$

Заметим, что $49^x = (7^x)^2$. Сделаем замену $t = 7^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство:

$t^2 + 9t + 14 > 0$

Найдем корни уравнения $t^2 + 9t + 14 = 0$. Дискриминант $D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 81 - 56 = 25$.

$t_{1,2} = \frac{-9 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-9 \pm 5}{2}$

$t_1 = -7$, $t_2 = -2$.

Парабола $y = t^2 + 9t + 14$ ветвями вверх, поэтому неравенство $y > 0$ выполняется при $t < -7$ или $t > -2$.

Учтем ограничение $t > 0$:

$\begin{cases} [ \begin{smallmatrix} t < -7 \\ t > -2 \end{smallmatrix} \\ t > 0 \end{cases} \implies t > 0$

Выполним обратную замену:

$7^x > 0$

Показательная функция $y=a^x$ при $a>0$ всегда положительна. Следовательно, это неравенство верно для любого действительного значения $x$.

Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

41.16 a) $3^{x+1} = 14;$

б) $4^{5x-4} = 10;$

в) $(\frac{2}{7})^{3-x} = 11;$

г) $(\sqrt{5})^{8-9x} = 6.$

а) $3^{x+1} = 14$

Это показательное уравнение. Для его решения воспользуемся определением логарифма: если $a^y = b$, то $y = \log_a b$.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3:

$\log_3(3^{x+1}) = \log_3(14)$

Используя свойство логарифма $\log_a(a^c) = c$, получаем:

$x + 1 = \log_3(14)$

Теперь выразим $x$, перенеся 1 в правую часть уравнения:

$x = \log_3(14) - 1$

Ответ: $x = \log_3(14) - 1$.

б) $4^{5x-4} = 10$

Это также показательное уравнение. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 4:

$\log_4(4^{5x-4}) = \log_4(10)$

Применяя свойство логарифма $\log_a(a^c) = c$, получаем:

$5x - 4 = \log_4(10)$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$. Сначала перенесем -4 в правую часть:

$5x = \log_4(10) + 4$

Разделим обе части на 5:

$x = \frac{\log_4(10) + 4}{5}$

Ответ: $x = \frac{\log_4(10) + 4}{5}$.

в) $(\frac{2}{7})^{3-x} = 11$

Прологарифмируем обе части этого показательного уравнения по основанию $\frac{2}{7}$:

$\log_{\frac{2}{7}}\left(\left(\frac{2}{7}\right)^{3-x}\right) = \log_{\frac{2}{7}}(11)$

Используя основное свойство логарифма $\log_a(a^c)=c$, получим:

$3 - x = \log_{\frac{2}{7}}(11)$

Выразим $x$. Сначала перенесем 3 в правую часть:

$-x = \log_{\frac{2}{7}}(11) - 3$

Умножим обе части уравнения на -1, чтобы найти $x$:

$x = -(\log_{\frac{2}{7}}(11) - 3)$

$x = 3 - \log_{\frac{2}{7}}(11)$

Ответ: $x = 3 - \log_{\frac{2}{7}}(11)$.

г) $(\sqrt{5})^{8-9x} = 6$

Сначала преобразуем основание степени. Корень из 5 можно записать как $5$ в степени $\frac{1}{2}$:

$\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$

Подставим это в исходное уравнение:

$(5^{\frac{1}{2}})^{8-9x} = 6$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, упростим левую часть:

$5^{\frac{1}{2}(8-9x)} = 6$

$5^{\frac{8-9x}{2}} = 6$

Теперь это уравнение стандартного вида. Прологарифмируем обе части по основанию 5:

$\log_5\left(5^{\frac{8-9x}{2}}\right) = \log_5(6)$

По свойству логарифма получаем:

$\frac{8-9x}{2} = \log_5(6)$

Решим полученное линейное уравнение. Умножим обе части на 2:

$8 - 9x = 2\log_5(6)$

Перенесем 8 в правую часть:

$-9x = 2\log_5(6) - 8$

Разделим обе части на -9:

$x = \frac{2\log_5(6) - 8}{-9}$

Упростим выражение, поменяв знаки в числителе и знаменателе:

$x = \frac{8 - 2\log_5(6)}{9}$

Ответ: $x = \frac{8 - 2\log_5(6)}{9}$.

41.20 Решите уравнение:

a) $log_x \frac{1}{27} = -3;$

б) $log_x 3 = \frac{1}{2};$

в) $log_x \frac{1}{16} = -4;$

г) $log_x 4 = -\frac{1}{2}.$

а) $log_x \frac{1}{27} = -3$

Для решения логарифмического уравнения воспользуемся его определением: $log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$. При этом на основание логарифма $x$ накладываются ограничения: $x > 0$ и $x \neq 1$.

Применяя определение к нашему уравнению, получаем:

$x^{-3} = \frac{1}{27}$

Представим обе части уравнения в виде степени с одинаковым показателем. Так как $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и $27 = 3^3$, то:

$\frac{1}{x^3} = \frac{1}{3^3}$

Из этого равенства следует, что $x^3 = 3^3$, а значит, $x = 3$.

Найденное значение $x=3$ удовлетворяет условиям $x > 0$ и $x \neq 1$.

Ответ: $3$

б) $log_x 3 = \frac{1}{2}$

Согласно определению логарифма и с учетом ограничений на основание ($x > 0, x \neq 1$), имеем:

$x^{\frac{1}{2}} = 3$

Степень $\frac{1}{2}$ эквивалентна квадратному корню:

$\sqrt{x} = 3$

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = 3^2$

$x = 9$

Найденное значение $x=9$ удовлетворяет условиям $x > 0$ и $x \neq 1$.

Ответ: $9$

в) $log_x \frac{1}{16} = -4$

Используем определение логарифма ($x > 0, x \neq 1$):

$x^{-4} = \frac{1}{16}$

Преобразуем уравнение, зная, что $16 = 2^4$:

$\frac{1}{x^4} = \frac{1}{2^4}$

Отсюда следует, что $x^4 = 2^4$.

Данное уравнение в действительных числах имеет два решения: $x=2$ и $x=-2$. Однако, основание логарифма должно быть положительным ($x > 0$), поэтому корень $x=-2$ не подходит.

Оставшийся корень $x=2$ удовлетворяет всем условиям ($x > 0, x \neq 1$).

Ответ: $2$

г) $log_x 4 = -\frac{1}{2}$

По определению логарифма ($x > 0, x \neq 1$):

$x^{-\frac{1}{2}} = 4$

Используя свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = 4$

Так как $x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$, имеем:

$\frac{1}{\sqrt{x}} = 4$

Отсюда находим $\sqrt{x}$:

$\sqrt{x} = \frac{1}{4}$

Возводим обе части в квадрат, чтобы найти $x$:

$(\sqrt{x})^2 = (\frac{1}{4})^2$

$x = \frac{1}{16}$

Найденное значение $x=\frac{1}{16}$ удовлетворяет условиям $x > 0$ и $x \neq 1$.

Ответ: $\frac{1}{16}$