Страница 167, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

40.56 a) $4^x \cdot \left(\frac{3}{8}\right)^x \leqslant 2,25;$

б) $9^x \cdot \left(\frac{1}{18}\right)^x > 0,25;$

в) $5^x \cdot \left(\frac{2}{15}\right)^x \geqslant \frac{4}{9};$

г) $3^x \cdot \left(\frac{1}{12}\right)^x < 0,0625.$

а) Преобразуем левую часть неравенства, используя свойство степеней $a^x \cdot b^x = (ab)^x$:

$4^x \cdot \left(\frac{3}{8}\right)^x = \left(4 \cdot \frac{3}{8}\right)^x = \left(\frac{12}{8}\right)^x = \left(\frac{3}{2}\right)^x$.

Правую часть представим в виде обыкновенной дроби: $2,25 = \frac{225}{100} = \frac{9}{4}$.

Неравенство принимает вид: $\left(\frac{3}{2}\right)^x \le \frac{9}{4}$.

Так как $\frac{9}{4} = \left(\frac{3}{2}\right)^2$, получаем неравенство с одинаковыми основаниями: $\left(\frac{3}{2}\right)^x \le \left(\frac{3}{2}\right)^2$.

Основание степени $\frac{3}{2}$ больше 1, поэтому показательная функция является возрастающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется: $x \le 2$.

Ответ: $x \in (-\infty, 2]$.

б) Упростим левую часть неравенства, объединив основания:

$9^x \cdot \left(\frac{1}{18}\right)^x = \left(9 \cdot \frac{1}{18}\right)^x = \left(\frac{9}{18}\right)^x = \left(\frac{1}{2}\right)^x$.

Преобразуем правую часть: $0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$.

Получаем неравенство: $\left(\frac{1}{2}\right)^x > \frac{1}{4}$.

Представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{1}{2}$: $\frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^2$.

Неравенство принимает вид: $\left(\frac{1}{2}\right)^x > \left(\frac{1}{2}\right)^2$.

Так как основание степени $\frac{1}{2}$ находится в интервале $(0, 1)$, показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный: $x < 2$.

Ответ: $x \in (-\infty, 2)$.

в) Выполним преобразование левой части:

$5^x \cdot \left(\frac{2}{15}\right)^x = \left(5 \cdot \frac{2}{15}\right)^x = \left(\frac{10}{15}\right)^x = \left(\frac{2}{3}\right)^x$.

Неравенство принимает вид: $\left(\frac{2}{3}\right)^x \ge \frac{4}{9}$.

Запишем правую часть как степень с основанием $\frac{2}{3}$: $\frac{4}{9} = \left(\frac{2}{3}\right)^2$.

Получаем: $\left(\frac{2}{3}\right)^x \ge \left(\frac{2}{3}\right)^2$.

Основание степени $\frac{2}{3}$ меньше 1 (но больше 0), следовательно, показательная функция убывает. При сравнении показателей знак неравенства необходимо изменить на противоположный: $x \le 2$.

Ответ: $x \in (-\infty, 2]$.

г) Упростим левую часть неравенства:

$3^x \cdot \left(\frac{1}{12}\right)^x = \left(3 \cdot \frac{1}{12}\right)^x = \left(\frac{3}{12}\right)^x = \left(\frac{1}{4}\right)^x$.

Переведем десятичную дробь в правой части в обыкновенную: $0,0625 = \frac{625}{10000} = \frac{1}{16}$.

Неравенство принимает вид: $\left(\frac{1}{4}\right)^x < \frac{1}{16}$.

Представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{1}{4}$: $\frac{1}{16} = \left(\frac{1}{4}\right)^2$.

Получаем неравенство: $\left(\frac{1}{4}\right)^x < \left(\frac{1}{4}\right)^2$.

Так как основание степени $\frac{1}{4}$ находится в интервале $(0, 1)$, показательная функция является убывающей. Это означает, что при переходе к показателям знак неравенства меняется на противоположный: $x > 2$.

Ответ: $x \in (2, +\infty)$.

Решите неравенство:

40.60 a) $\frac{x^2 + 4x + 4}{3^x - 27} \ge 0;$

б) $\frac{0,2^x - 0,008}{x^2 - 10x + 25} < 0;$

в) $\frac{25 - 0,2^x}{4x^2 - 4x + 1} \le 0;$

г) $\frac{x^2 + 6x + 9}{2^x - 4} > 0.$

а) Решим неравенство $\frac{x^2 + 4x + 4}{3^x - 27} \ge 0$.

Преобразуем числитель и знаменатель. Числитель $x^2 + 4x + 4$ является полным квадратом: $(x+2)^2$. Знаменатель $3^x - 27$ можно переписать как $3^x - 3^3$.

Неравенство принимает вид: $\frac{(x+2)^2}{3^x - 3^3} \ge 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю.
$3^x - 27 \ne 0 \implies 3^x \ne 27 \implies 3^x \ne 3^3 \implies x \ne 3$.

Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

1. Нуль числителя: $(x+2)^2 = 0 \implies x = -2$.

2. Нуль знаменателя: $3^x - 27 = 0 \implies x = 3$.

Выражение в числителе $(x+2)^2$ всегда неотрицательно, т.е. $(x+2)^2 \ge 0$ при всех $x$. Оно равно нулю при $x = -2$.

Неравенство выполняется в двух случаях:

Случай 1: Дробь равна нулю. Это возможно, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.$(x+2)^2 = 0 \implies x = -2$. При $x = -2$ знаменатель $3^{-2} - 27 = \frac{1}{9} - 27 \ne 0$. Значит, $x = -2$ является решением.

Случай 2: Дробь строго больше нуля. Так как числитель $(x+2)^2$ положителен при $x \ne -2$, для выполнения неравенства необходимо, чтобы знаменатель был также положителен.
$3^x - 27 > 0 \implies 3^x > 27 \implies 3^x > 3^3$.

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, $x > 3$.

Объединяя оба случая, получаем решение: $x = -2$ и $x > 3$.

Ответ: $x \in \{-2\} \cup (3, \infty)$.

б) Решим неравенство $\frac{0,2^x - 0,008}{x^2 - 10x + 25} < 0$.

Преобразуем числитель и знаменатель. В числителе $0,008 = \frac{8}{1000} = \frac{1}{125} = (\frac{1}{5})^3 = 0,2^3$. Знаменатель $x^2 - 10x + 25$ является полным квадратом: $(x-5)^2$.

Неравенство принимает вид: $\frac{0,2^x - 0,2^3}{(x-5)^2} < 0$.

ОДЗ: $(x-5)^2 \ne 0 \implies x-5 \ne 0 \implies x \ne 5$.

Знаменатель $(x-5)^2$ всегда положителен при $x \ne 5$.

Поскольку знаменатель дроби положителен на ОДЗ, знак всей дроби совпадает со знаком числителя. Таким образом, неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} 0,2^x - 0,2^3 < 0 \\ x \ne 5 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $0,2^x < 0,2^3$.

Так как основание степени $0,2 < 1$, показательная функция является убывающей. При переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный: $x > 3$.

Объединяя с условием $x \ne 5$, получаем решение: $x > 3$ и $x \ne 5$.

Ответ: $x \in (3, 5) \cup (5, \infty)$.

в) Решим неравенство $\frac{25 - 0,2^x}{4x^2 - 4x + 1} \le 0$.

Преобразуем числитель и знаменатель. В числителе $25 = 5^2 = (\frac{1}{5})^{-2} = 0,2^{-2}$. Знаменатель $4x^2 - 4x + 1$ является полным квадратом: $(2x-1)^2$.

Неравенство принимает вид: $\frac{0,2^{-2} - 0,2^x}{(2x-1)^2} \le 0$.

ОДЗ: $(2x-1)^2 \ne 0 \implies 2x-1 \ne 0 \implies x \ne \frac{1}{2}$.

Знаменатель $(2x-1)^2$ всегда положителен при $x \ne \frac{1}{2}$.

Следовательно, знак дроби определяется знаком числителя. Неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} 0,2^{-2} - 0,2^x \le 0 \\ x \ne \frac{1}{2} \end{cases}$

Решим первое неравенство: $0,2^{-2} \le 0,2^x$.

Так как основание степени $0,2 < 1$, показательная функция является убывающей. При переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный: $-2 \ge x$, то есть $x \le -2$.

Условие $x \ne \frac{1}{2}$ выполняется, так как интервал $(-\infty, -2]$ не содержит точку $\frac{1}{2}$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2]$.

г) Решим неравенство $\frac{x^2 + 6x + 9}{2^x - 4} > 0$.

Преобразуем числитель и знаменатель. Числитель $x^2 + 6x + 9$ является полным квадратом: $(x+3)^2$. Знаменатель $2^x - 4$ можно переписать как $2^x - 2^2$.

Неравенство принимает вид: $\frac{(x+3)^2}{2^x - 2^2} > 0$.

ОДЗ: $2^x - 4 \ne 0 \implies 2^x \ne 4 \implies x \ne 2$.

Неравенство строгое, поэтому дробь не может быть равна нулю. Это означает, что числитель не равен нулю: $(x+3)^2 \ne 0 \implies x \ne -3$.

При $x \ne -3$ числитель $(x+3)^2$ всегда строго положителен.

Чтобы дробь была положительной, необходимо, чтобы знаменатель также был положителен.
$2^x - 4 > 0 \implies 2^x > 4 \implies 2^x > 2^2$.

Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, $x > 2$.

Это решение удовлетворяет условиям $x \ne 2$ и $x \ne -3$.

Ответ: $x \in (2, \infty)$.

40.57 Сколько натуральных чисел являются решениями неравенства:

а) $ \frac{1}{64} < 8^{-2x+3} < 512; $

б) $ \frac{1}{27} \le \left(\frac{1}{9}\right)^{7-x} \le 243? $

а)

Чтобы решить двойное неравенство $ \frac{1}{64} < 8^{-2x+3} < 512 $, необходимо привести все его части к одному основанию. В данном случае, удобнее всего использовать основание 8.

Представим числа $ \frac{1}{64} $ и $ 512 $ как степени числа 8:

$ \frac{1}{64} = \frac{1}{8^2} = 8^{-2} $

$ 512 = 8 \times 8 \times 8 = 8^3 $

Теперь перепишем исходное неравенство с новым основанием:

$ 8^{-2} < 8^{-2x+3} < 8^3 $

Поскольку основание степени $ 8 > 1 $, показательная функция является возрастающей. Это означает, что для показателей степени мы можем записать неравенство с теми же знаками:

$ -2 < -2x+3 < 3 $

Теперь решим это двойное линейное неравенство относительно $ x $. Сначала вычтем 3 из всех частей неравенства:

$ -2 - 3 < -2x+3 - 3 < 3 - 3 $

$ -5 < -2x < 0 $

Далее разделим все части на -2. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$ \frac{-5}{-2} > \frac{-2x}{-2} > \frac{0}{-2} $

$ 2.5 > x > 0 $

Это неравенство можно записать в более привычном виде: $ 0 < x < 2.5 $.

Нам нужно найти количество натуральных чисел, которые удовлетворяют этому условию. Натуральные числа — это целые положительные числа ($1, 2, 3, \ldots$). В промежуток от 0 до 2.5 (не включая концы) попадают натуральные числа 1 и 2.

Таким образом, всего 2 натуральных числа являются решениями данного неравенства.

Ответ: 2

б)

Рассмотрим двойное неравенство $ \frac{1}{27} \le (\frac{1}{9})^{7-x} \le 243 $.

Для решения приведем все части неравенства к одному основанию. Наиболее удобным основанием здесь является число 3.

Представим все числа в виде степени с основанием 3:

$ \frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3} $

$ \frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2} $

$ 243 = 3^5 $

Подставим эти выражения в исходное неравенство:

$ 3^{-3} \le (3^{-2})^{7-x} \le 3^5 $

Применим свойство степени $ (a^m)^n = a^{mn} $ к средней части неравенства:

$ 3^{-3} \le 3^{-2(7-x)} \le 3^5 $

$ 3^{-3} \le 3^{-14+2x} \le 3^5 $

Поскольку основание степени $ 3 > 1 $, показательная функция является возрастающей, и мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знаки:

$ -3 \le -14+2x \le 5 $

Решим полученное двойное неравенство. Прибавим 14 ко всем частям:

$ -3 + 14 \le -14+2x + 14 \le 5 + 14 $

$ 11 \le 2x \le 19 $

Теперь разделим все части на 2:

$ \frac{11}{2} \le x \le \frac{19}{2} $

$ 5.5 \le x \le 9.5 $

Нам нужно найти количество натуральных чисел, удовлетворяющих этому условию. Натуральные числа, которые больше или равны 5.5 и меньше или равны 9.5, — это 6, 7, 8, 9.

Всего таких чисел четыре.

Ответ: 4

40.61 a) $\frac{5}{12^x + 143} \ge \frac{5}{12^x + 2};$

б) $\frac{16^x + 42}{16^x} \le 22;$

В) $\frac{8}{11^x + 120} \le \frac{8}{11^x + 2};$

Г) $\frac{5^x + 15}{5^x} < 4.$

а)

В неравенстве $\frac{5}{12^x + 143} \ge \frac{5}{12^x + 2}$ знаменатели $12^x + 143$ и $12^x + 2$ всегда положительны, поскольку показательная функция $12^x > 0$ для любого действительного $x$. Числители дробей равны и положительны. Для дробей с одинаковыми положительными числителями, чем меньше знаменатель, тем больше дробь. Следовательно, неравенство равносильно следующему:

$12^x + 143 \le 12^x + 2$

Вычтем $12^x$ из обеих частей неравенства:

$143 \le 2$

Полученное неравенство является ложным. Таким образом, исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: решений нет.

б)

Решим неравенство $\frac{16^x + 42}{16^x} \le 22$. Введем замену переменной. Пусть $t = 16^x$. Так как $16^x$ всегда больше нуля, то $t > 0$.

Неравенство принимает вид:

$\frac{t + 42}{t} \le 22$

Разделим почленно числитель на знаменатель в левой части:

$1 + \frac{42}{t} \le 22$

$\frac{42}{t} \le 21$

Поскольку $t > 0$, мы можем умножить обе части неравенства на $t$, не меняя знака:

$42 \le 21t$

Разделим обе части на 21:

$t \ge 2$

Вернемся к исходной переменной $x$:

$16^x \ge 2$

Представим обе части неравенства в виде степеней с основанием 2:

$(2^4)^x \ge 2^1$

$2^{4x} \ge 2^1$

Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому можно перейти к неравенству для показателей степеней:

$4x \ge 1$

$x \ge \frac{1}{4}$

Ответ: $[\frac{1}{4}; +\infty)$.

в)

В неравенстве $\frac{8}{11^x + 120} \le \frac{8}{11^x + 2}$ знаменатели $11^x + 120$ и $11^x + 2$ всегда положительны ($11^x > 0$). Числители дробей одинаковы и положительны. Для дробей с одинаковыми положительными числителями, чем больше знаменатель, тем меньше дробь. Следовательно, неравенство равносильно следующему:

$11^x + 120 \ge 11^x + 2$

Вычтем $11^x$ из обеих частей неравенства:

$120 \ge 2$

Полученное неравенство является верным при любых действительных значениях $x$.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

г)

Решим неравенство $\frac{5^x + 15}{5^x} < 4$. Введем замену переменной. Пусть $t = 5^x$. Так как $5^x > 0$, то $t > 0$.

Неравенство принимает вид:

$\frac{t + 15}{t} < 4$

Разделим почленно числитель на знаменатель в левой части:

$1 + \frac{15}{t} < 4$

$\frac{15}{t} < 3$

Поскольку $t > 0$, умножим обе части на $t$:

$15 < 3t$

Разделим обе части на 3:

$t > 5$

Вернемся к исходной переменной $x$:

$5^x > 5$

$5^x > 5^1$

Так как основание степени $5 > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому можно перейти к неравенству для показателей степеней:

$x > 1$

Ответ: $(1; +\infty)$.

40.58 Найдите наибольшее целочисленное решение неравенства:

а) $2,5^{2x + 3} \le 6,25;$

б) $(\frac{2}{5})^{7x - 9} \ge \frac{8}{125};$

в) $1,1^{5x - 3} < 1,21;$

г) $0,7^{9x + 4} > 0,49.$

а) $2,5^{2x + 3} \le 6,25$

Для решения этого показательного неравенства приведем обе его части к одному основанию. Заметим, что правая часть $6,25$ является квадратом левой части $2,5$.

$6,25 = \frac{625}{100} = \frac{25}{4} = (\frac{5}{2})^2 = 2,5^2$.

Подставим это в неравенство:

$2,5^{2x + 3} \le 2,5^2$

Так как основание степени $2,5 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, при переходе от степеней к их показателям знак неравенства сохраняется:

$2x + 3 \le 2$

Решим полученное линейное неравенство относительно $x$:

$2x \le 2 - 3$

$2x \le -1$

$x \le -0,5$

Требуется найти наибольшее целочисленное решение. Наибольшее целое число, которое меньше или равно $-0,5$, это $-1$.

Ответ: -1

б) $(\frac{2}{5})^{7x - 9} \ge \frac{8}{125}$

Приведем обе части неравенства к одному основанию $\frac{2}{5}$. Представим правую часть в виде степени:

$\frac{8}{125} = \frac{2^3}{5^3} = (\frac{2}{5})^3$

Теперь неравенство имеет вид:

$(\frac{2}{5})^{7x - 9} \ge (\frac{2}{5})^3$

Основание степени $\frac{2}{5}$ меньше 1 ($0 < \frac{2}{5} < 1$), поэтому показательная функция является убывающей. Это означает, что при переходе к показателям степени знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$7x - 9 \le 3$

Решим полученное линейное неравенство:

$7x \le 3 + 9$

$7x \le 12$

$x \le \frac{12}{7}$

Поскольку $\frac{12}{7} = 1\frac{5}{7} \approx 1,71$, наибольшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству, это $1$.

Ответ: 1

в) $1,1^{5x - 3} < 1,21$

Приведем обе части неравенства к основанию $1,1$. Заметим, что $1,21 = 1,1^2$.

Неравенство принимает вид:

$1,1^{5x - 3} < 1,1^2$

Основание степени $1,1 > 1$, поэтому функция является возрастающей, и знак неравенства для показателей сохраняется:

$5x - 3 < 2$

Решим линейное неравенство:

$5x < 2 + 3$

$5x < 5$

$x < 1$

Наибольшее целое число, которое строго меньше $1$, это $0$.

Ответ: 0

г) $0,7^{9x + 4} > 0,49$

Приведем обе части неравенства к основанию $0,7$. Правая часть $0,49$ является квадратом $0,7$:

$0,49 = 0,7^2$

Неравенство можно переписать так:

$0,7^{9x + 4} > 0,7^2$

Основание степени $0,7$ меньше 1 ($0 < 0,7 < 1$), следовательно, показательная функция является убывающей. При переходе к показателям знак неравенства меняется на противоположный:

$9x + 4 < 2$

Решим полученное линейное неравенство:

$9x < 2 - 4$

$9x < -2$

$x < -\frac{2}{9}$

Приближенное значение $-\frac{2}{9} \approx -0,22$. Наибольшее целое число, которое строго меньше $-\frac{2}{9}$, это $-1$.

Ответ: -1

40.62 а) $2^{6x - 10} - 9 \cdot 2^{3x - 5} + 8 \le 0;$

б) $5^{2x + 1} - 5^{x + 2} \le 5^x - 5;$

В) $3^{8x + 6} - 10 \cdot 3^{4x + 3} + 9 \ge 0;$

Г) $3^{2x + 2} - 3^{x + 4} < 3^x - 9.$

а) $2^{6x-10} - 9 \cdot 2^{3x-5} + 8 \le 0$

Преобразуем неравенство, заметив, что $6x-10 = 2(3x-5)$.

$(2^{3x-5})^2 - 9 \cdot 2^{3x-5} + 8 \le 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^{3x-5}$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство относительно $t$:

$t^2 - 9t + 8 \le 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - 9t + 8 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 8$.

Так как ветви параболы $y = t^2 - 9t + 8$ направлены вверх, неравенство $y \le 0$ выполняется между корнями (включительно).

$1 \le t \le 8$

Данный интервал удовлетворяет условию $t > 0$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

$1 \le 2^{3x-5} \le 8$

Представим 1 и 8 как степени двойки:

$2^0 \le 2^{3x-5} \le 2^3$

Так как основание степени $2 > 1$, можем перейти к неравенству для показателей, сохраняя знаки неравенств:

$0 \le 3x-5 \le 3$

Прибавим 5 ко всем частям двойного неравенства:

$5 \le 3x \le 8$

Разделим все части на 3:

$\frac{5}{3} \le x \le \frac{8}{3}$

Ответ: $x \in [\frac{5}{3}, \frac{8}{3}]$.

б) $5^{2x+1} - 5^{x+2} \le 5^x - 5$

Преобразуем неравенство, используя свойства степеней:

$5^1 \cdot 5^{2x} - 5^2 \cdot 5^x \le 5^x - 5$

$5 \cdot (5^x)^2 - 25 \cdot 5^x \le 5^x - 5$

Перенесем все члены в левую часть:

$5 \cdot (5^x)^2 - 25 \cdot 5^x - 5^x + 5 \le 0$

$5 \cdot (5^x)^2 - 26 \cdot 5^x + 5 \le 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 5^x$, где $t > 0$.

$5t^2 - 26t + 5 \le 0$

Найдем корни уравнения $5t^2 - 26t + 5 = 0$.

Дискриминант $D = (-26)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = 676 - 100 = 576 = 24^2$.

Корни: $t_1 = \frac{26 - 24}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$; $t_2 = \frac{26 + 24}{2 \cdot 5} = \frac{50}{10} = 5$.

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $\le 0$ выполняется на отрезке между корнями.

$\frac{1}{5} \le t \le 5$

Это решение удовлетворяет условию $t > 0$.

Выполним обратную замену:

$\frac{1}{5} \le 5^x \le 5$

$5^{-1} \le 5^x \le 5^1$

Так как основание $5 > 1$, переходим к неравенству для показателей:

$-1 \le x \le 1$

Ответ: $x \in [-1, 1]$.

в) $3^{8x+6} - 10 \cdot 3^{4x+3} + 9 \ge 0$

Преобразуем неравенство, заметив, что $8x+6 = 2(4x+3)$:

$(3^{4x+3})^2 - 10 \cdot 3^{4x+3} + 9 \ge 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^{4x+3}$, где $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство:

$t^2 - 10t + 9 \ge 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 10t + 9 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 1$, $t_2 = 9$.

Так как ветви параболы $y = t^2 - 10t + 9$ направлены вверх, неравенство $y \ge 0$ выполняется, когда $t$ находится вне интервала между корнями.

$t \le 1$ или $t \ge 9$.

Оба условия совместимы с ограничением $t > 0$.

Рассмотрим два случая, выполнив обратную замену:

1) $3^{4x+3} \le 1 \implies 3^{4x+3} \le 3^0$. Так как основание $3 > 1$, то $4x+3 \le 0 \implies 4x \le -3 \implies x \le -\frac{3}{4}$.

2) $3^{4x+3} \ge 9 \implies 3^{4x+3} \ge 3^2$. Так как основание $3 > 1$, то $4x+3 \ge 2 \implies 4x \ge -1 \implies x \ge -\frac{1}{4}$.

Объединяя решения, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{3}{4}] \cup [-\frac{1}{4}; +\infty)$.

г) $3^{2x+2} - 3^{x+4} < 3^x - 9$

Преобразуем неравенство, используя свойства степеней:

$3^2 \cdot 3^{2x} - 3^4 \cdot 3^x < 3^x - 9$

$9 \cdot (3^x)^2 - 81 \cdot 3^x < 3^x - 9$

Перенесем все члены в левую часть:

$9 \cdot (3^x)^2 - 81 \cdot 3^x - 3^x + 9 < 0$

$9 \cdot (3^x)^2 - 82 \cdot 3^x + 9 < 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$, где $t > 0$.

$9t^2 - 82t + 9 < 0$

Найдем корни уравнения $9t^2 - 82t + 9 = 0$.

Дискриминант $D = (-82)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 9 = 6724 - 324 = 6400 = 80^2$.

Корни: $t_1 = \frac{82 - 80}{18} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$; $t_2 = \frac{82 + 80}{18} = \frac{162}{18} = 9$.

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $< 0$ выполняется на интервале между корнями.

$\frac{1}{9} < t < 9$

Это решение удовлетворяет условию $t > 0$.

Выполним обратную замену:

$\frac{1}{9} < 3^x < 9$

$3^{-2} < 3^x < 3^2$

Так как основание $3 > 1$, переходим к неравенству для показателей:

$-2 < x < 2$

Ответ: $x \in (-2; 2)$.

40.55 a) $3^{\frac{x-4}{x}-3} < \frac{1}{27}$;

Б) $(\frac{8}{9})^{\frac{6x-1}{x}-1} \ge \frac{81}{64}$;

В) $8^{\frac{2-x}{x}-2} > \frac{1}{64}$;

Г) $(\frac{6}{11})^{\frac{5x+1}{x}-1} \le \frac{121}{36}$.

а) $3^{\frac{x-4}{x}-3} < \frac{1}{27}$

Запишем правую часть неравенства как степень с основанием 3: $\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$.

Получаем неравенство: $3^{\frac{x-4}{x}-3} < 3^{-3}$.

Так как основание степени $3 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей степени знак неравенства сохраняется:

$\frac{x-4}{x} - 3 < -3$

Прибавим 3 к обеим частям неравенства:

$\frac{x-4}{x} < 0$

Данное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x-4 > 0 \\ x < 0 \end{cases}$ или $\begin{cases} x-4 < 0 \\ x > 0 \end{cases}$

Решаем первую систему: $\begin{cases} x > 4 \\ x < 0 \end{cases}$. Эта система не имеет решений.

Решаем вторую систему: $\begin{cases} x < 4 \\ x > 0 \end{cases}$. Решением этой системы является интервал $(0; 4)$.

Область допустимых значений исходного неравенства определяется знаменателем показателя: $x \ne 0$. Найденное решение удовлетворяет этому условию.

Ответ: $(0; 4)$

б) $(\frac{8}{9})^{\frac{6x-1}{x}-1} \ge \frac{81}{64}$

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием $\frac{8}{9}$:

$\frac{81}{64} = \frac{9^2}{8^2} = (\frac{9}{8})^2 = ((\frac{8}{9})^{-1})^2 = (\frac{8}{9})^{-2}$

Неравенство принимает вид: $(\frac{8}{9})^{\frac{6x-1}{x}-1} \ge (\frac{8}{9})^{-2}$.

Так как основание степени $0 < \frac{8}{9} < 1$, то при переходе к неравенству для показателей степени знак неравенства меняется на противоположный:

$\frac{6x-1}{x} - 1 \le -2$

Прибавим 1 к обеим частям: $\frac{6x-1}{x} \le -1$.

Перенесем -1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{6x-1}{x} + 1 \le 0$

$\frac{6x-1+x}{x} \le 0$

$\frac{7x-1}{x} \le 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя: $7x-1=0 \implies x=\frac{1}{7}$. Нуль знаменателя: $x=0$.

Нанесем точки на числовую прямую. Точка $x=\frac{1}{7}$ будет закрашенной, так как неравенство нестрогое, а точка $x=0$ - выколотой, так как она из знаменателя.

Интервалы: $(-\infty; 0)$, $(0; \frac{1}{7}]$, $[\frac{1}{7}; +\infty)$.

Проверяем знаки на интервалах:

При $x> \frac{1}{7}$ (например, $x=1$): $\frac{7(1)-1}{1} = 6 > 0$.

При $0 < x < \frac{1}{7}$ (например, $x=0.1$): $\frac{7(0.1)-1}{0.1} = \frac{-0.3}{0.1} = -3 < 0$. Этот интервал подходит.

При $x < 0$ (например, $x=-1$): $\frac{7(-1)-1}{-1} = 8 > 0$.

Решением является интервал $0 < x \le \frac{1}{7}$.

Ответ: $(0; \frac{1}{7}]$

в) $8^{\frac{2-x}{x}-2} > \frac{1}{64}$

Запишем правую часть как степень с основанием 8: $\frac{1}{64} = \frac{1}{8^2} = 8^{-2}$.

Неравенство принимает вид: $8^{\frac{2-x}{x}-2} > 8^{-2}$.

Так как основание $8 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:

$\frac{2-x}{x} - 2 > -2$

Прибавим 2 к обеим частям:

$\frac{2-x}{x} > 0$

Решим неравенство методом интервалов. Нуль числителя: $2-x=0 \implies x=2$. Нуль знаменателя: $x=0$.

Наносим точки $0$ и $2$ на числовую прямую (обе точки выколоты).

Интервалы: $(-\infty; 0)$, $(0; 2)$, $(2; +\infty)$.

Проверяем знаки на интервалах:

При $x > 2$ (например, $x=3$): $\frac{2-3}{3} = -\frac{1}{3} < 0$.

При $0 < x < 2$ (например, $x=1$): $\frac{2-1}{1} = 1 > 0$. Этот интервал подходит.

При $x < 0$ (например, $x=-1$): $\frac{2-(-1)}{-1} = -3 < 0$.

Решением является интервал $(0; 2)$.

Ответ: $(0; 2)$

г) $(\frac{6}{11})^{\frac{5x+1}{x}-1} \le \frac{121}{36}$

Представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{6}{11}$:

$\frac{121}{36} = \frac{11^2}{6^2} = (\frac{11}{6})^2 = ((\frac{6}{11})^{-1})^2 = (\frac{6}{11})^{-2}$

Неравенство принимает вид: $(\frac{6}{11})^{\frac{5x+1}{x}-1} \le (\frac{6}{11})^{-2}$.

Так как основание $0 < \frac{6}{11} < 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак меняется на противоположный:

$\frac{5x+1}{x} - 1 \ge -2$

Прибавим 1 к обеим частям: $\frac{5x+1}{x} \ge -1$.

Перенесем -1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{5x+1}{x} + 1 \ge 0$

$\frac{5x+1+x}{x} \ge 0$

$\frac{6x+1}{x} \ge 0$

Решим неравенство методом интервалов. Нуль числителя: $6x+1=0 \implies x=-\frac{1}{6}$. Нуль знаменателя: $x=0$.

Нанесем точки на числовую прямую. Точка $x=-\frac{1}{6}$ будет закрашенной, точка $x=0$ - выколотой.

Интервалы: $(-\infty; -\frac{1}{6}]$, $[-\frac{1}{6}; 0)$, $(0; +\infty)$.

Проверяем знаки на интервалах:

При $x > 0$ (например, $x=1$): $\frac{6(1)+1}{1} = 7 > 0$. Этот интервал подходит.

При $-\frac{1}{6} < x < 0$ (например, $x=-0.1$): $\frac{6(-0.1)+1}{-0.1} = \frac{0.4}{-0.1} = -4 < 0$.

При $x < -\frac{1}{6}$ (например, $x=-1$): $\frac{6(-1)+1}{-1} = 5 > 0$. Этот интервал подходит.

Решением является объединение интервалов $(-\infty; -\frac{1}{6}]$ и $(0; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -\frac{1}{6}] \cup (0; +\infty)$

40.59 Сколько целочисленных решений имеет неравенство:

а) $5^{x^2 - 2x} \leq 125;$

б) $(\frac{1}{7})^{2x^2 - 3x} \geq \frac{1}{49};$

в) $2^{-x^2 + 8x} > 128;$

г) $(0,3)^{x^2 - x} > 0,09? $

а) $5^{x^2 - 2x} \le 125$

Приведем обе части неравенства к одному основанию 5. Так как $125 = 5^3$, неравенство можно переписать в виде:

$5^{x^2 - 2x} \le 5^3$

Поскольку основание степени $5 > 1$, показательная функция является возрастающей. Это значит, что при сравнении показателей степеней знак неравенства сохраняется:

$x^2 - 2x \le 3$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное неравенство:

$x^2 - 2x - 3 \le 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$. Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, находим корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

Парабола $y = x^2 - 2x - 3$ имеет ветви, направленные вверх. Неравенство $y \le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни. Таким образом, решением неравенства является отрезок $[-1, 3]$.

Целочисленные решения, принадлежащие этому отрезку: -1, 0, 1, 2, 3.

Всего 5 целочисленных решений.

Ответ: 5

б) $(\frac{1}{7})^{2x^2 - 3x} \ge \frac{1}{49}$

Приведем обе части неравенства к одному основанию $\frac{1}{7}$. Так как $\frac{1}{49} = (\frac{1}{7})^2$, неравенство можно переписать в виде:

$(\frac{1}{7})^{2x^2 - 3x} \ge (\frac{1}{7})^2$

Поскольку основание степени $0 < \frac{1}{7} < 1$, показательная функция является убывающей. Это значит, что при сравнении показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный:

$2x^2 - 3x \le 2$

Перенесем все члены в левую часть:

$2x^2 - 3x - 2 \le 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 - 3x - 2 = 0$. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$. Корни: $x_1 = \frac{3 + 5}{4} = 2$ и $x_2 = \frac{3 - 5}{4} = -0.5$.

Парабола $y = 2x^2 - 3x - 2$ имеет ветви, направленные вверх. Неравенство $y \le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни. Таким образом, решением неравенства является отрезок $[-0.5, 2]$.

Целочисленные решения, принадлежащие этому отрезку: 0, 1, 2.

Всего 3 целочисленных решения.

Ответ: 3

в) $2^{-x^2 + 8x} > 128$

Приведем обе части неравенства к одному основанию 2. Так как $128 = 2^7$, неравенство можно переписать в виде:

$2^{-x^2 + 8x} > 2^7$

Поскольку основание степени $2 > 1$, показательная функция является возрастающей. Знак неравенства при переходе к показателям сохраняется:

$-x^2 + 8x > 7$

Перенесем все члены в левую часть:

$-x^2 + 8x - 7 > 0$

Умножим обе части на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным, и изменим знак неравенства на противоположный:

$x^2 - 8x + 7 < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 8x + 7 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 7$.

Парабола $y = x^2 - 8x + 7$ имеет ветви, направленные вверх. Неравенство $y < 0$ выполняется на интервале между корнями, не включая сами корни. Таким образом, решением неравенства является интервал $(1, 7)$.

Целочисленные решения, принадлежащие этому интервалу: 2, 3, 4, 5, 6.

Всего 5 целочисленных решений.

Ответ: 5

г) $(0,3)^{x^2 - x} > 0,09$

Приведем обе части неравенства к одному основанию 0,3. Так как $0,09 = (0,3)^2$, неравенство можно переписать в виде:

$(0,3)^{x^2 - x} > (0,3)^2$

Поскольку основание степени $0 < 0,3 < 1$, показательная функция является убывающей. Знак неравенства при переходе к показателям меняется на противоположный:

$x^2 - x < 2$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - x - 2 < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Парабола $y = x^2 - x - 2$ имеет ветви, направленные вверх. Неравенство $y < 0$ выполняется на интервале между корнями, не включая сами корни. Таким образом, решением неравенства является интервал $(-1, 2)$.

Целочисленные решения, принадлежащие этому интервалу: 0, 1.

Всего 2 целочисленных решения.

Ответ: 2

1. Какую числовую последовательность называют геометрической прогрессией?

1.

Геометрической прогрессией называют числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля, и каждый её член, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением на одно и то же число. Это постоянное число называется знаменателем геометрической прогрессии и обозначается буквой $q$. Первый член последовательности обозначается как $b_1$.

Таким образом, для геометрической прогрессии $(b_n)$ выполняются следующие условия:

1. Первый член не равен нулю: $b_1 \neq 0$.

2. Знаменатель не равен нулю: $q \neq 0$.

3. Каждый следующий член связан с предыдущим рекуррентной формулой: $b_{n+1} = b_n \cdot q$ для любого натурального $n \geq 1$.

Из этой формулы следует, что знаменатель прогрессии можно найти как отношение любого члена к предыдущему:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{b_3}{b_2} = \dots = \frac{b_{n+1}}{b_n}$

Формула для нахождения любого $n$-го члена прогрессии, зная первый член и знаменатель, выглядит так:

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Примеры геометрических прогрессий:

- Последовательность 3, 6, 12, 24, 48, ... Здесь первый член $b_1 = 3$, а знаменатель $q = 2$.
- Последовательность 100, 50, 25, 12.5, ... Здесь первый член $b_1 = 100$, а знаменатель $q = 0.5$ (или $q = \frac{1}{2}$).
- Последовательность 5, -15, 45, -135, ... Здесь первый член $b_1 = 5$, а знаменатель $q = -3$. Эта прогрессия является знакочередующейся.

Ответ: Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность, первый член которой не равен нулю, а каждый последующий член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же не равное нулю число, называемое знаменателем прогрессии.

2. Дана геометрическая прогрессия $b_1, b_2, ..., b_n, ...$. Запишите формулу для вычисления $S_n$, где $S_n = b_1 + b_2 + b_3 + ... + b_n$.

Для нахождения формулы суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии $S_n = b_1 + b_2 + b_3 + \dots + b_n$ введем обозначения: $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии. Каждый член прогрессии, начиная со второго, можно выразить через первый член и знаменатель: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Запишем сумму $S_n$, используя эти обозначения:
$S_n = b_1 + b_1q + b_1q^2 + \dots + b_1q^{n-1}$

Умножим обе части этого равенства на знаменатель $q$:
$S_n \cdot q = b_1q + b_1q^2 + b_1q^3 + \dots + b_1q^{n}$

Теперь вычтем из второго равенства первое:
$S_n \cdot q - S_n = (b_1q + b_1q^2 + \dots + b_1q^n) - (b_1 + b_1q + \dots + b_1q^{n-1})$
После сокращения подобных членов получим:
$S_n \cdot q - S_n = b_1q^n - b_1$

Вынесем общие множители за скобки:
$S_n(q - 1) = b_1(q^n - 1)$

Далее рассмотрим два случая.
1. Если знаменатель прогрессии $q \neq 1$, то можно разделить обе части на $(q - 1)$, чтобы выразить $S_n$:
$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$
Данную формулу также можно представить в виде $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$, что бывает удобно при $|q| < 1$.

2. Если знаменатель прогрессии $q = 1$, то все члены прогрессии равны первому члену $b_1$. Сумма в этом случае будет равна:
$S_n = \underbrace{b_1 + b_1 + \dots + b_1}_{n \text{ раз}} = n \cdot b_1$

Ответ: Формула для вычисления суммы $S_n$ первых $n$ членов геометрической прогрессии:
• при $q \neq 1$: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$
• при $q = 1$: $S_n = n \cdot b_1$

n, n 1 2 6 n

3. Найдите сумму

$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{27} + \dots$

Данный ряд $1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{27} + \dots$ представляет собой сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии находится по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Эта формула верна, если модуль знаменателя меньше единицы, то есть $|q| < 1$.

Первый член данной прогрессии $b_1 = 1$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый (или любой последующий член на предыдущий): $q = \frac{-\frac{1}{3}}{1} = -\frac{1}{3}$.

Проверим условие сходимости ряда. Найдем модуль знаменателя: $|q| = |-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3}$.

Поскольку $|q| = \frac{1}{3} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей, и мы можем применить формулу для нахождения ее суммы.

Подставим значения $b_1 = 1$ и $q = -\frac{1}{3}$ в формулу суммы: $S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{1}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{1}{1 + \frac{1}{3}}$.

Выполним сложение в знаменателе: $1 + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.

Теперь вычислим значение суммы: $S = \frac{1}{\frac{4}{3}} = 1 \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$