Номер 2, страница 167, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §25. ч. 1 - номер 2, страница 167.

2. Дана геометрическая прогрессия $b_1, b_2, ..., b_n, ...$. Запишите формулу для вычисления $S_n$, где $S_n = b_1 + b_2 + b_3 + ... + b_n$.

Для нахождения формулы суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии $S_n = b_1 + b_2 + b_3 + \dots + b_n$ введем обозначения: $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии. Каждый член прогрессии, начиная со второго, можно выразить через первый член и знаменатель: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Запишем сумму $S_n$, используя эти обозначения:
$S_n = b_1 + b_1q + b_1q^2 + \dots + b_1q^{n-1}$

Умножим обе части этого равенства на знаменатель $q$:
$S_n \cdot q = b_1q + b_1q^2 + b_1q^3 + \dots + b_1q^{n}$

Теперь вычтем из второго равенства первое:
$S_n \cdot q - S_n = (b_1q + b_1q^2 + \dots + b_1q^n) - (b_1 + b_1q + \dots + b_1q^{n-1})$
После сокращения подобных членов получим:
$S_n \cdot q - S_n = b_1q^n - b_1$

Вынесем общие множители за скобки:
$S_n(q - 1) = b_1(q^n - 1)$

Далее рассмотрим два случая.
1. Если знаменатель прогрессии $q \neq 1$, то можно разделить обе части на $(q - 1)$, чтобы выразить $S_n$:
$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$
Данную формулу также можно представить в виде $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$, что бывает удобно при $|q| < 1$.

2. Если знаменатель прогрессии $q = 1$, то все члены прогрессии равны первому члену $b_1$. Сумма в этом случае будет равна:
$S_n = \underbrace{b_1 + b_1 + \dots + b_1}_{n \text{ раз}} = n \cdot b_1$

Ответ: Формула для вычисления суммы $S_n$ первых $n$ членов геометрической прогрессии:
• при $q \neq 1$: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$
• при $q = 1$: $S_n = n \cdot b_1$