Номер 3, страница 178, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §26. ч. 1 - номер 3, страница 178.

3. Начертите график какой-либо функции $y = f(x)$, для которой выполняется соотношение $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$.

3.

Условие $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$ означает, что при неограниченном возрастании аргумента $x$ (когда $x$ стремится к плюс бесконечности), значения функции $f(x)$ становятся сколь угодно близкими к нулю.

С геометрической точки зрения это означает, что график функции $y = f(x)$ имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ (ось абсцисс Ox), по крайней мере, в правой части координатной плоскости (при $x \to \infty$). То есть, по мере движения вправо вдоль оси Ox, график функции будет всё теснее "прижиматься" к этой оси.

Существует бесконечное множество функций, для которых выполняется данное соотношение. В качестве примера рассмотрим одну из самых простых и известных функций — обратную пропорциональность, заданную формулой $y = \frac{1}{x}$.

Анализ и построение графика функции $y = \frac{1}{x}$

1. Проверка условия: Найдем предел функции при $x \to \infty$: $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$. Условие выполняется.

2. Основные свойства и асимптоты:

• Область определения функции: все действительные числа, кроме $x=0$. В точке $x=0$ график функции имеет разрыв.
• Вертикальная асимптота: прямая $x=0$ (ось Oy). Когда $x$ приближается к нулю, значение $y$ неограниченно растет по модулю.
• Горизонтальная асимптота: прямая $y=0$ (ось Ox), так как $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$ и $\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 0$.

3. Описание графика (гиперболы): График функции $y = \frac{1}{x}$ состоит из двух ветвей, расположенных в первом и третьем координатных квадрантах и симметричных относительно начала координат.

• Ветвь в I квадранте ($x>0$): Кривая проходит через точку $(1, 1)$. При приближении $x$ к нулю справа ($x \to 0+$), $y$ стремится к $+\infty$ (ветвь уходит вверх вдоль оси Oy). При увеличении $x$ ($x \to \infty$), $y$ стремится к $0$, оставаясь положительным (ветвь приближается к оси Ox справа).
• Ветвь в III квадранте ($x<0$): Кривая проходит через точку $(-1, -1)$. При приближении $x$ к нулю слева ($x \to 0-$), $y$ стремится к $-\infty$ (ветвь уходит вниз вдоль оси Oy). При $x \to -\infty$, $y$ стремится к $0$, оставаясь отрицательным (ветвь приближается к оси Ox слева).

Для начертания графика нужно нарисовать оси координат Ox и Oy. Затем, пунктирными линиями можно обозначить асимптоты (которые в данном случае совпадают с осями). Далее, отметив несколько точек, например, $(1, 1), (2, 0.5), (0.5, 2)$ для первой ветви и $(-1, -1), (-2, -0.5), (-0.5, -2)$ для второй, можно плавно соединить их, получив две ветви гиперболы, которые не пересекают оси и стремятся к ним на бесконечности. Правая ветвь графика наглядно демонстрирует выполнение требуемого условия.

Другие примеры функций:

• $y = \frac{1}{x^2}$ (график похож, но обе ветви в верхней полуплоскости).
• $y = e^{-x}$ (экспоненциальное затухание, график проходит через точку $(0,1)$ и быстро приближается к оси Ox справа).
• $y = \frac{\sin(x)}{x}$ (затухающие колебания вокруг оси Ox).

Ответ: Примером функции, для которой выполняется соотношение $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$, является $y = \frac{1}{x}$. Её график — гипербола, одна из ветвей которой расположена в первой координатной четверти и имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ (ось Ox) при $x \to \infty$.