Номер 9, страница 178, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §26 - номер 9, страница 178.

Условие.

9. Сформулируйте теорему об арифметических операциях над пределами функций в точке.

Решение 6.

Пусть функции $f(x)$ и $g(x)$ определены в некоторой проколотой окрестности точки $a$ (то есть в некотором интервале, содержащем точку $a$, за исключением, возможно, самой точки $a$), и существуют их конечные пределы в этой точке:

$\lim_{x \to a} f(x) = A$

$\lim_{x \to a} g(x) = B$

где $A$ и $B$ — действительные числа.

Тогда существуют пределы суммы, разности, произведения и частного этих функций в точке $a$, и они вычисляются по следующим правилам:

Предел суммы
Предел суммы двух функций равен сумме их пределов.
Ответ: $\lim_{x \to a} (f(x) + g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x) = A + B$.

Предел разности
Предел разности двух функций равен разности их пределов.
Ответ: $\lim_{x \to a} (f(x) - g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) - \lim_{x \to a} g(x) = A - B$.

Предел произведения
Предел произведения двух функций равен произведению их пределов.
Ответ: $\lim_{x \to a} (f(x) \cdot g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x) = A \cdot B$.

Следствие: Постоянный множитель можно выносить за знак предела.
Ответ: $\lim_{x \to a} (c \cdot f(x)) = c \cdot \lim_{x \to a} f(x) = c \cdot A$, где $c$ — любая константа.

Предел частного
Предел частного (отношения) двух функций равен частному их пределов, при условии, что предел функции в знаменателе не равен нулю.
Ответ: $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)} = \frac{A}{B}$, при условии, что $B \neq 0$.