Номер 8, страница 178, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §26 - номер 8, страница 178.

Условие.

8. В каком случае функцию называют непрерывной на числовом промежутке?

Решение 6.

Функцию называют непрерывной на числовом промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Однако определение непрерывности на промежутке зависит от типа самого промежутка (интервал, отрезок, полуинтервал).

Для начала вспомним, что функция $y=f(x)$ называется непрерывной в точке $x_0$, если выполняются три условия:

1. Функция определена в точке $x_0$, то есть существует $f(x_0)$.
2. Существует предел функции в этой точке: $\lim_{x \to x_0} f(x)$.
3. Этот предел равен значению функции в этой точке: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

Интуитивно, непрерывная функция — это функция, график которой можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги.

Непрерывность на интервале (a, b)

Функция $y=f(x)$ называется непрерывной на интервале $(a, b)$, если она непрерывна в каждой точке $x_0$ этого интервала. То есть для любого $x_0 \in (a, b)$ выполняется равенство:

$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

Непрерывность на отрезке [a, b]

Это наиболее полный случай, который требует рассмотрения поведения функции на концах промежутка.

Функция $y=f(x)$ называется непрерывной на отрезке $[a, b]$, если:

1. Она непрерывна на интервале $(a, b)$.
2. Она непрерывна справа в точке $a$. Это означает, что предел функции при стремлении $x$ к $a$ справа равен значению функции в этой точке:

   $\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$

3. Она непрерывна слева в точке $b$. Это означает, что предел функции при стремлении $x$ к $b$ слева равен значению функции в этой точке:

   $\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)$

Использование односторонних пределов на концах отрезка необходимо, так как с другой стороны от точек $a$ и $b$ функция может быть не определена.

Непрерывность на полуинтервалах [a, b) и (a, b]

По аналогии, функция непрерывна на полуинтервале $[a, b)$, если она непрерывна на интервале $(a, b)$ и непрерывна справа в точке $a$.

Функция непрерывна на полуинтервале $(a, b]$, если она непрерывна на интервале $(a, b)$ и непрерывна слева в точке $b$.

Ответ: Функцию называют непрерывной на числовом промежутке, если она непрерывна в каждой внутренней точке этого промежутка, а также непрерывна справа на левой границе и непрерывна слева на правой границе, если эти границы включены в промежуток.