Номер 7, страница 178, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §26 - номер 7, страница 178.

Условие.

7. Сформулируйте определение непрерывности функции в точке.

Решение 6.

Непрерывность функции в точке — это одно из фундаментальных понятий математического анализа. Интуитивно, функция непрерывна в точке, если её график в этой точке не имеет разрывов, то есть его можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги. Существует несколько строгих эквивалентных определений этого понятия.

Определение через предел (по Коши)

Это наиболее часто используемое определение. Функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $x_0$, если предел функции при $x$, стремящемся к $x_0$, существует и равен значению функции в самой точке $x_0$.

Это можно записать одним равенством:

$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

Данное равенство подразумевает выполнение трех условий:

1. Функция определена в точке $x_0$ (то есть $f(x_0)$ существует).

2. Предел функции в точке $x_0$ существует (левый и правый пределы равны).

3. Значение предела равно значению функции в этой точке.

Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, функция имеет разрыв в точке $x_0$.

Определение на языке $\epsilon-\delta$ (эпсилон-дельта, по Коши)

Это более формальное и строгое определение. Функция $f(x)$, определенная в некоторой окрестности точки $x_0$, называется непрерывной в точке $x_0$, если для любого сколь угодно малого положительного числа $\epsilon$ (эпсилон) найдется такое положительное число $\delta$ (дельта), что для всех $x$ из области определения, удовлетворяющих условию $|x - x_0| < \delta$, выполняется неравенство $|f(x) - f(x_0)| < \epsilon$.

На языке математической логики это определение выглядит так:

$\forall \epsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ : \ \forall x \in D(f), \ |x - x_0| < \delta \implies |f(x) - f(x_0)| < \epsilon$

Геометрически это означает, что мы можем сделать значения функции $f(x)$ сколь угодно близкими к $f(x_0)$, выбирая значения $x$ в достаточно малой окрестности точки $x_0$.

Определение на языке последовательностей (по Гейне)

Это определение связывает понятие непрерывности с поведением последовательностей. Функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $x_0$, если для любой последовательности аргументов $\{x_n\}$, сходящейся к $x_0$, соответствующая последовательность значений функции $\{f(x_n)\}$ сходится к $f(x_0)$.

Формальная запись:

Для любой последовательности $\{x_n\}$ такой, что $\lim_{n \to \infty} x_n = x_0$, выполняется равенство $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(x_0)$.

Все три приведенных определения эквивалентны.

Ответ: Функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $x_0$, если она определена в этой точке и её предел в этой точке существует и равен значению функции в этой точке, то есть $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$. Эквивалентное определение (на языке $\epsilon-\delta$): для любого $\epsilon > 0$ существует такое $\delta > 0$, что для всех $x$ из области определения функции, удовлетворяющих неравенству $|x - x_0| < \delta$, выполняется неравенство $|f(x) - f(x_0)| < \epsilon$.