Номер 7, страница 178, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.

Тип: Задачник

Издательство: Мнемозина

Год издания: 2019 - 2025

Уровень обучения: базовый

Часть: 1

Цвет обложки:

ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

Популярные ГДЗ в 10 классе

Вопросы к §26. ч. 1 - номер 7, страница 178.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№7 (с. 178)
Условие. №7 (с. 178)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 1, страница 178, номер 7, Условие

7. Сформулируйте определение непрерывности функции в точке.

Решение 6. №7 (с. 178)

Непрерывность функции в точке — это одно из фундаментальных понятий математического анализа. Интуитивно, функция непрерывна в точке, если её график в этой точке не имеет разрывов, то есть его можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги. Существует несколько строгих эквивалентных определений этого понятия.

Определение через предел (по Коши)

Это наиболее часто используемое определение. Функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $x_0$, если предел функции при $x$, стремящемся к $x_0$, существует и равен значению функции в самой точке $x_0$.

Это можно записать одним равенством:

$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

Данное равенство подразумевает выполнение трех условий:

1. Функция определена в точке $x_0$ (то есть $f(x_0)$ существует).

2. Предел функции в точке $x_0$ существует (левый и правый пределы равны).

3. Значение предела равно значению функции в этой точке.

Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, функция имеет разрыв в точке $x_0$.

Определение на языке $\epsilon-\delta$ (эпсилон-дельта, по Коши)

Это более формальное и строгое определение. Функция $f(x)$, определенная в некоторой окрестности точки $x_0$, называется непрерывной в точке $x_0$, если для любого сколь угодно малого положительного числа $\epsilon$ (эпсилон) найдется такое положительное число $\delta$ (дельта), что для всех $x$ из области определения, удовлетворяющих условию $|x - x_0| < \delta$, выполняется неравенство $|f(x) - f(x_0)| < \epsilon$.

На языке математической логики это определение выглядит так:

$\forall \epsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ : \ \forall x \in D(f), \ |x - x_0| < \delta \implies |f(x) - f(x_0)| < \epsilon$

Геометрически это означает, что мы можем сделать значения функции $f(x)$ сколь угодно близкими к $f(x_0)$, выбирая значения $x$ в достаточно малой окрестности точки $x_0$.

Определение на языке последовательностей (по Гейне)

Это определение связывает понятие непрерывности с поведением последовательностей. Функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $x_0$, если для любой последовательности аргументов $\{x_n\}$, сходящейся к $x_0$, соответствующая последовательность значений функции $\{f(x_n)\}$ сходится к $f(x_0)$.

Формальная запись:

Для любой последовательности $\{x_n\}$ такой, что $\lim_{n \to \infty} x_n = x_0$, выполняется равенство $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(x_0)$.

Все три приведенных определения эквивалентны.

Ответ: Функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $x_0$, если она определена в этой точке и её предел в этой точке существует и равен значению функции в этой точке, то есть $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$. Эквивалентное определение (на языке $\epsilon-\delta$): для любого $\epsilon > 0$ существует такое $\delta > 0$, что для всех $x$ из области определения функции, удовлетворяющих неравенству $|x - x_0| < \delta$, выполняется неравенство $|f(x) - f(x_0)| < \epsilon$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 7 расположенного на странице 178 для 1-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №7 (с. 178), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 1-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться