Номер 3, страница 167, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §25. ч. 1 - номер 3, страница 167.

n, n 1 2 6 n

3. Найдите сумму

$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{27} + \dots$

Данный ряд $1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{27} + \dots$ представляет собой сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии находится по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Эта формула верна, если модуль знаменателя меньше единицы, то есть $|q| < 1$.

Первый член данной прогрессии $b_1 = 1$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый (или любой последующий член на предыдущий): $q = \frac{-\frac{1}{3}}{1} = -\frac{1}{3}$.

Проверим условие сходимости ряда. Найдем модуль знаменателя: $|q| = |-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3}$.

Поскольку $|q| = \frac{1}{3} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей, и мы можем применить формулу для нахождения ее суммы.

Подставим значения $b_1 = 1$ и $q = -\frac{1}{3}$ в формулу суммы: $S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{1}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{1}{1 + \frac{1}{3}}$.

Выполним сложение в знаменателе: $1 + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.

Теперь вычислим значение суммы: $S = \frac{1}{\frac{4}{3}} = 1 \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$