Номер 14, страница 164, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §24 - номер 14, страница 164.

Условие.

14. Приведите пример какой-нибудь сходящейся последовательности и укажите любую её нижнюю и любую её верхнюю границу.

Решение 6.

В качестве примера сходящейся последовательности можно рассмотреть последовательность, общий член которой задаётся формулой $x_n = \frac{1}{n}$ для всех натуральных чисел $n \ge 1$.

Эта последовательность является сходящейся, потому что её члены стремятся к определённому конечному числу при неограниченном возрастании $n$. Это число называется пределом последовательности. Для нашей последовательности предел равен:
$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$.
Так как предел существует и является конечным числом, последовательность сходится.

Теперь необходимо указать любую нижнюю и любую верхнюю границу для этой последовательности.
Нижняя граница — это любое число, которое не больше ни одного из членов последовательности. Все члены последовательности $x_n = \frac{1}{n}$ положительны (так как $n$ — натуральное число), то есть $x_n > 0$ для всех $n$. Это означает, что число 0 меньше любого члена последовательности. Следовательно, 0 является нижней границей. Любое число, меньшее нуля (например, -1), также будет являться нижней границей.
Верхняя граница — это любое число, которое не меньше ни одного из членов последовательности. Рассмотрим члены последовательности: $x_1=1, x_2=\frac{1}{2}, x_3=\frac{1}{3}, \ldots$. Последовательность является убывающей, так как $x_{n+1} = \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n} = x_n$. Её наибольшим элементом является первый член $x_1 = 1$. Таким образом, все члены последовательности не превосходят 1, то есть $x_n \le 1$ для всех $n$. Следовательно, 1 является верхней границей. Любое число, большее единицы (например, 5), также будет являться верхней границей.

Ответ: Пример сходящейся последовательности — $x_n = \frac{1}{n}$. Её нижняя граница: 0. Её верхняя граница: 1.