Номер 7, страница 163, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §24. ч. 1 - номер 7, страница 163.

7. Что называют пределом числовой последовательности?

Предел числовой последовательности — это фундаментальное понятие в математическом анализе. Интуитивно, это число, к которому члены последовательности неограниченно приближаются с ростом их номера. То есть, чем дальше мы продвигаемся по последовательности, тем ближе ее элементы становятся к некоторому значению, которое и называется пределом.

Формальное определение (известное как определение Коши или определение на языке «эпсилон-дельта»/«эпсилон-N»):

Число $a$ называется пределом числовой последовательности $\{x_n\}$, если для любого, сколь угодно малого, положительного числа $\epsilon$ (эпсилон) найдется такое натуральное число $N$ (которое, как правило, зависит от выбора $\epsilon$), что для всех членов последовательности с номерами $n > N$ будет выполняться неравенство:
$|x_n - a| < \epsilon$
Это принято записывать следующим образом: $\lim_{n \to \infty} x_n = a$ или $x_n \to a$ при $n \to \infty$.

Суть определения и его составляющие:
- Число $\epsilon > 0$ задает произвольно узкий «коридор» или, говоря более строго, $\epsilon$-окрестность точки $a$, то есть интервал $(a - \epsilon, a + \epsilon)$.
- Неравенство $|x_n - a| < \epsilon$ как раз и означает, что член последовательности $x_n$ попал в эту окрестность.
- Число $N$ — это номер, начиная с которого все последующие члены последовательности ($x_{N+1}, x_{N+2}, \dots$) без исключения будут находиться внутри этого «коридора» и уже никогда его не покинут.
Важно, что мы должны уметь находить такое $N$ для абсолютно любого, даже самого маленького, $\epsilon > 0$.

Геометрическая интерпретация:
На числовой оси это означает, что какую бы малую окрестность точки $a$ мы ни взяли, лишь конечное число членов последовательности (с номерами от 1 до $N$) могут находиться за ее пределами. Все остальные (бесконечное множество) члены последовательности будут располагаться внутри этой окрестности.

Пример:
Рассмотрим последовательность $x_n = \frac{1}{n}$. Ее члены: $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots$. Интуитивно ясно, что они стремятся к нулю. Докажем, что $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$.
В нашем случае $a=0$. Зададим произвольное $\epsilon > 0$. Мы должны найти такой номер $N$, что для всех $n > N$ будет выполняться неравенство $|\frac{1}{n} - 0| < \epsilon$.
Упростим неравенство: $\frac{1}{n} < \epsilon$.
Решим его относительно $n$: $n > \frac{1}{\epsilon}$.
Это означает, что если мы выберем в качестве $N$ любое целое число, большее чем $\frac{1}{\epsilon}$ (например, можно взять $N = \lfloor\frac{1}{\epsilon}\rfloor$), то для любого $n > N$ неравенство будет выполняться. Поскольку мы смогли указать способ нахождения $N$ для любого $\epsilon > 0$, мы доказали, что предел последовательности равен 0.

Ответ: Пределом числовой последовательности $\{x_n\}$ называют такое число $a$, что для любого сколь угодно малого положительного числа $\epsilon$ существует такой номер $N$, что для всех членов последовательности с номерами $n > N$ выполняется неравенство $|x_n - a| < \epsilon$.