Номер 6, страница 163, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §24 - номер 6, страница 163.

Условие.

6. При каких значениях основания $a$ последовательность $y_n = a^n$:

а) убывает;

б) возрастает;

в) стационарна;

г) немонотонна?

Решение 6.

а) убывает
Последовательность $y_n = a^n$ является убывающей, если для любого натурального $n$ выполняется строгое неравенство $y_{n+1} < y_n$, то есть $a^{n+1} < a^n$.
Рассмотрим различные случаи для основания $a$:
1. Если $a > 0$, то $a^n$ также будет положительным для любого $n$. Мы можем разделить обе части неравенства $a^{n+1} < a^n$ на $a^n$, не меняя знака неравенства. Получим $a < 1$. Совмещая с условием $a > 0$, получаем, что последовательность убывает при $0 < a < 1$.
2. Если $a = 0$, последовательность имеет вид $0, 0, 0, \dots$ и является стационарной, а не строго убывающей.
3. Если $a < 0$, члены последовательности чередуют знаки (например, $y_1 = a < 0$, $y_2 = a^2 > 0$, $y_3 = a^3 < 0, \dots$). Такая последовательность не является монотонной, так как $y_1 < y_2$, но $y_2 > y_3$.
Следовательно, последовательность является убывающей только при указанном условии.
Ответ: $0 < a < 1$.

б) возрастает
Последовательность является возрастающей, если для любого натурального $n$ выполняется неравенство $y_{n+1} > y_n$, что соответствует неравенству $a^{n+1} > a^n$.
1. Если $a > 0$, делим неравенство на положительное число $a^n$ и получаем $a > 1$.
2. Если $a = 1$, последовательность стационарна ($1, 1, 1, \dots$), она является неубывающей, но не строго возрастающей.
3. Если $a \le 0$, последовательность не является возрастающей, как было показано в пункте а).
Таким образом, последовательность возрастает только при $a > 1$.
Ответ: $a > 1$.

в) стационарна
Последовательность является стационарной, если все ее члены равны между собой, то есть $y_{n+1} = y_n$ для всех $n \in \mathbb{N}$. Это равносильно уравнению $a^{n+1} = a^n$.
Перенесем все члены в одну сторону: $a^{n+1} - a^n = 0$, или $a^n(a-1) = 0$.
Это равенство должно выполняться для всех натуральных $n \ge 1$.
1. Если $a = 1$, то $1^n(1-1) = 0$ для всех $n$. Последовательность имеет вид $1, 1, 1, \dots$ и является стационарной.
2. Если $a = 0$, то для $n \ge 1$ равенство $0^n(0-1) = 0$ также выполняется. Последовательность имеет вид $0, 0, 0, \dots$ и является стационарной.
Следовательно, последовательность стационарна в этих двух случаях.
Ответ: $a=0$ или $a=1$.

г) немонотонна
Последовательность является немонотонной, если она не является ни возрастающей, ни убывающей, ни стационарной. Это означает, что мы должны рассмотреть все значения $a$, которые не вошли в предыдущие пункты.
Мы установили, что:
- при $a > 1$ последовательность возрастает;
- при $a = 1$ она стационарна;
- при $0 < a < 1$ она убывает;
- при $a = 0$ она стационарна.
Все эти случаи покрывают множество действительных чисел $a \ge 0$. Следовательно, немонотонной последовательность будет для всех оставшихся значений $a$, то есть при $a < 0$.
Действительно, если $a < 0$, то знаки членов последовательности $y_n = a^n$ будут чередоваться: $y_1=a<0$, $y_2=a^2>0$, $y_3=a^3<0$, и так далее. Поскольку $y_1 < y_2$ и $y_2 > y_3$, последовательность не может быть монотонной.
Ответ: $a < 0$.