Номер 5, страница 163, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §24 - номер 5, страница 163.

Условие.

5. Приведите пример числовой последовательности, которая:

а) убывает;

б) возрастает;

в) не является монотонной.

Решение 6.

а) убывает

Убывающей называется числовая последовательность, у которой каждый следующий член не больше предыдущего. Для строго убывающей последовательности каждый следующий член строго меньше предыдущего. Формально, для любого натурального номера $n$ должно выполняться неравенство $a_{n+1} \le a_n$ (или $a_{n+1} < a_n$ для строго убывающей).

Приведем в качестве примера последовательность, заданную формулой общего члена $a_n = \frac{1}{n}$.

Выпишем несколько первых членов этой последовательности: $a_1 = \frac{1}{1} = 1$; $a_2 = \frac{1}{2}$; $a_3 = \frac{1}{3}$; $a_4 = \frac{1}{4}$; ...

Видно, что члены последовательности уменьшаются. Докажем это строго. Сравним два соседних члена: $a_n = \frac{1}{n}$ и $a_{n+1} = \frac{1}{n+1}$.

Поскольку $n$ – натуральное число, то $n+1 > n$. Так как оба числа положительны, при взятии обратных величин знак неравенства меняется на противоположный: $\frac{1}{n+1} < \frac{1}{n}$.

Таким образом, для любого $n \in \mathbb{N}$ выполняется $a_{n+1} < a_n$, что означает, что последовательность является строго убывающей.

Ответ: последовательность, заданная формулой $a_n = \frac{1}{n}$, то есть $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots$

б) возрастает

Возрастающей называется числовая последовательность, у которой каждый следующий член не меньше предыдущего. Для строго возрастающей последовательности каждый следующий член строго больше предыдущего. Формально, для любого натурального номера $n$ должно выполняться неравенство $a_{n+1} \ge a_n$ (или $a_{n+1} > a_n$ для строго возрастающей).

Приведем в качестве примера последовательность натуральных чисел, заданную формулой $a_n = n$.

Выпишем несколько первых членов: $a_1 = 1$; $a_2 = 2$; $a_3 = 3$; $a_4 = 4$; ...

Очевидно, что члены последовательности увеличиваются. Докажем это. Сравним $a_n = n$ и $a_{n+1} = n+1$.

Для любого натурального $n$ верно неравенство $n+1 > n$.

Следовательно, $a_{n+1} > a_n$ для любого $n \in \mathbb{N}$, и данная последовательность является строго возрастающей.

Ответ: последовательность, заданная формулой $a_n = n$, то есть $1, 2, 3, 4, \ldots$

в) не является монотонной

Монотонными называют возрастающие и убывающие последовательности. Последовательность не является монотонной, если она не является ни возрастающей, ни убывающей.

Это означает, что в последовательности существуют как пары соседних членов, где следующий больше предыдущего, так и пары, где следующий меньше предыдущего. То есть найдутся такие номера $k$ и $m$, что $a_{k+1} > a_k$ и $a_{m+1} < a_m$.

Приведем в качестве примера знакочередующуюся последовательность, заданную формулой $a_n = (-1)^n$.

Выпишем несколько первых членов: $a_1 = -1$; $a_2 = 1$; $a_3 = -1$; $a_4 = 1$; ...

Сравним первую пару членов: $a_1 = -1$ и $a_2 = 1$. Здесь $a_2 > a_1$, то есть на этом шаге последовательность возрастает.

Теперь сравним вторую пару членов: $a_2 = 1$ и $a_3 = -1$. Здесь $a_3 < a_2$, то есть на этом шаге последовательность убывает.

Поскольку последовательность имеет как участки возрастания, так и участки убывания, она не является монотонной.

Ответ: последовательность, заданная формулой $a_n = (-1)^n$, то есть $-1, 1, -1, 1, \ldots$