Номер 5, страница 163, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 1
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Вопросы к §24. ч. 1 - номер 5, страница 163.
№5 (с. 163)
Условие. №5 (с. 163)
скриншот условия

5. Приведите пример числовой последовательности, которая:
а) убывает;
б) возрастает;
в) не является монотонной.
Решение 6. №5 (с. 163)
а) убывает
Убывающей называется числовая последовательность, у которой каждый следующий член не больше предыдущего. Для строго убывающей последовательности каждый следующий член строго меньше предыдущего. Формально, для любого натурального номера $n$ должно выполняться неравенство $a_{n+1} \le a_n$ (или $a_{n+1} < a_n$ для строго убывающей).
Приведем в качестве примера последовательность, заданную формулой общего члена $a_n = \frac{1}{n}$.
Выпишем несколько первых членов этой последовательности: $a_1 = \frac{1}{1} = 1$; $a_2 = \frac{1}{2}$; $a_3 = \frac{1}{3}$; $a_4 = \frac{1}{4}$; ...
Видно, что члены последовательности уменьшаются. Докажем это строго. Сравним два соседних члена: $a_n = \frac{1}{n}$ и $a_{n+1} = \frac{1}{n+1}$.
Поскольку $n$ – натуральное число, то $n+1 > n$. Так как оба числа положительны, при взятии обратных величин знак неравенства меняется на противоположный: $\frac{1}{n+1} < \frac{1}{n}$.
Таким образом, для любого $n \in \mathbb{N}$ выполняется $a_{n+1} < a_n$, что означает, что последовательность является строго убывающей.
Ответ: последовательность, заданная формулой $a_n = \frac{1}{n}$, то есть $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots$
б) возрастает
Возрастающей называется числовая последовательность, у которой каждый следующий член не меньше предыдущего. Для строго возрастающей последовательности каждый следующий член строго больше предыдущего. Формально, для любого натурального номера $n$ должно выполняться неравенство $a_{n+1} \ge a_n$ (или $a_{n+1} > a_n$ для строго возрастающей).
Приведем в качестве примера последовательность натуральных чисел, заданную формулой $a_n = n$.
Выпишем несколько первых членов: $a_1 = 1$; $a_2 = 2$; $a_3 = 3$; $a_4 = 4$; ...
Очевидно, что члены последовательности увеличиваются. Докажем это. Сравним $a_n = n$ и $a_{n+1} = n+1$.
Для любого натурального $n$ верно неравенство $n+1 > n$.
Следовательно, $a_{n+1} > a_n$ для любого $n \in \mathbb{N}$, и данная последовательность является строго возрастающей.
Ответ: последовательность, заданная формулой $a_n = n$, то есть $1, 2, 3, 4, \ldots$
в) не является монотонной
Монотонными называют возрастающие и убывающие последовательности. Последовательность не является монотонной, если она не является ни возрастающей, ни убывающей.
Это означает, что в последовательности существуют как пары соседних членов, где следующий больше предыдущего, так и пары, где следующий меньше предыдущего. То есть найдутся такие номера $k$ и $m$, что $a_{k+1} > a_k$ и $a_{m+1} < a_m$.
Приведем в качестве примера знакочередующуюся последовательность, заданную формулой $a_n = (-1)^n$.
Выпишем несколько первых членов: $a_1 = -1$; $a_2 = 1$; $a_3 = -1$; $a_4 = 1$; ...
Сравним первую пару членов: $a_1 = -1$ и $a_2 = 1$. Здесь $a_2 > a_1$, то есть на этом шаге последовательность возрастает.
Теперь сравним вторую пару членов: $a_2 = 1$ и $a_3 = -1$. Здесь $a_3 < a_2$, то есть на этом шаге последовательность убывает.
Поскольку последовательность имеет как участки возрастания, так и участки убывания, она не является монотонной.
Ответ: последовательность, заданная формулой $a_n = (-1)^n$, то есть $-1, 1, -1, 1, \ldots$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 5 расположенного на странице 163 для 1-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №5 (с. 163), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 1-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.