Номер 2, страница 163, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §24. ч. 1 - номер 2, страница 163.

2. Какую числовую последовательность называют:

а) ограниченной снизу;

б) ограниченной сверху;

в) ограниченной?

а) ограниченной снизу

Числовую последовательность $\{x_n\}$ называют ограниченной снизу, если существует такое число $m$, что все члены последовательности не меньше этого числа. Иными словами, для любого натурального числа $n$ выполняется неравенство $x_n \ge m$. Число $m$ называют нижней границей последовательности.
Например, последовательность, заданная формулой $x_n = n^2$, то есть $\{1, 4, 9, 25, \dots\}$, ограничена снизу, так как все её члены больше или равны 1. В данном случае в качестве $m$ можно взять число 1 или любое число меньше 1.

Ответ: Последовательность $\{x_n\}$ называется ограниченной снизу, если существует число $m$ такое, что для всех $n \in \mathbb{N}$ выполняется неравенство $x_n \ge m$.

б) ограниченной сверху

Числовую последовательность $\{x_n\}$ называют ограниченной сверху, если существует такое число $M$, что все члены последовательности не больше этого числа. То есть, для любого натурального числа $n$ справедливо неравенство $x_n \le M$. Число $M$ называют верхней границей последовательности.
Например, последовательность $x_n = \frac{1}{n}$, то есть $\{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots\}$, ограничена сверху. Все её члены меньше или равны 1. В качестве $M$ можно взять число 1 или любое число больше 1.

Ответ: Последовательность $\{x_n\}$ называется ограниченной сверху, если существует число $M$ такое, что для всех $n \in \mathbb{N}$ выполняется неравенство $x_n \le M$.

в) ограниченной

Числовую последовательность $\{x_n\}$ называют ограниченной, если она ограничена одновременно и снизу, и сверху. Это означает, что существуют два числа $m$ и $M$ такие, что для любого натурального числа $n$ выполняется двойное неравенство $m \le x_n \le M$.
Эквивалентное определение: последовательность $\{x_n\}$ называется ограниченной, если существует такое положительное число $C > 0$, что для всех $n$ выполняется неравенство $|x_n| \le C$.
Например, последовательность $x_n = \sin(n)$ является ограниченной, так как для любого $n$ справедливо неравенство $-1 \le \sin(n) \le 1$. Здесь можно взять $m = -1$ и $M = 1$, или $C = 1$.

Ответ: Последовательность $\{x_n\}$ называется ограниченной, если она ограничена и снизу, и сверху, то есть существуют числа $m$ и $M$ такие, что для всех $n \in \mathbb{N}$ выполняется неравенство $m \le x_n \le M$.