Номер 2, страница 155, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Темы исследовательских работ к главе 4 - номер 2, страница 155.

Условие.

2. Применение тригонометрии для решения задач планиметрии.

Решение 6.

Тригонометрия — это раздел математики, который устанавливает фундаментальные соотношения между сторонами и углами треугольников. Поскольку любую плоскую фигуру (многоугольник) можно разбить на треугольники, тригонометрический аппарат становится универсальным и мощным инструментом для решения широкого круга задач планиметрии: нахождения неизвестных сторон, углов, площадей и других геометрических величин.

Основные тригонометрические определения в прямоугольном треугольнике

Основой тригонометрии являются определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике. Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$, гипотенузой $c$, и острым углом $\alpha$, противолежащим катету $a$.

• Синус угла $\alpha$ — это отношение противолежащего катета к гипотенузе: $\sin\alpha = \frac{a}{c}$

• Косинус угла $\alpha$ — это отношение прилежащего катета к гипотенузе: $\cos\alpha = \frac{b}{c}$

• Тангенс угла $\alpha$ — это отношение противолежащего катета к прилежащему: $\tan\alpha = \frac{a}{b}$

• Котангенс угла $\alpha$ — это отношение прилежащего катета к противолежащему: $\cot\alpha = \frac{b}{a}$

Эти соотношения позволяют, зная одну сторону и один острый угол, найти все остальные элементы прямоугольного треугольника.

Ответ: Основные тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике определяются как отношения длин его сторон и служат для нахождения неизвестных элементов треугольника.

Теорема синусов

Теорема синусов применяется к произвольным (не обязательно прямоугольным) треугольникам. Она гласит, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Для треугольника со сторонами $a, b, c$ и противолежащими им углами $\alpha, \beta, \gamma$ соответственно, выполняется равенство:

$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R$

Здесь $R$ — это радиус окружности, описанной около данного треугольника. Эта теорема незаменима в случаях, когда нужно найти:

• сторону, если известны два угла и другая сторона;

• угол, если известны две стороны и угол, противолежащий одной из них;

• радиус описанной окружности.

Ответ: Теорема синусов устанавливает связь между сторонами треугольника, синусами противолежащих им углов и радиусом описанной окружности, позволяя находить неизвестные элементы по известным.

Теорема косинусов

Теорема косинусов является обобщением теоремы Пифагора на случай произвольного треугольника. Она позволяет найти любую сторону треугольника, зная две другие стороны и угол между ними. Формулировка теоремы для стороны $c$, лежащей против угла $\gamma$:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$

Аналогично можно записать формулы для двух других сторон:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha$

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos\beta$

Из этих же формул можно выразить косинус любого угла, если известны все три стороны треугольника. Например:

$\cos\gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

Таким образом, теорема косинусов — ключевой инструмент для решения треугольника по двум сторонам и углу между ними или по трём сторонам.

Ответ: Теорема косинусов связывает квадрат стороны треугольника с суммой квадратов двух других сторон и косинусом угла между ними, что позволяет находить стороны и углы.

Тригонометрические формулы площади

Тригонометрия предлагает элегантные способы вычисления площади фигур. Для треугольника наиболее известная формула связывает площадь с двумя сторонами и синусом угла между ними:

$S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$

Эта формула особенно удобна, когда найти высоту затруднительно. Существуют и другие полезные формулы, использующие тригонометрию:

• Через сторону и два прилежащих угла (сначала по теореме синусов находится вторая сторона): $S = \frac{a^2 \sin\beta \sin\gamma}{2\sin\alpha}$

• Через радиус описанной окружности $R$: $S = \frac{abc}{4R}$ или $S = 2R^2 \sin\alpha \sin\beta \sin\gamma$

• Через радиус вписанной окружности $r$ и углы: $S = r^2 \cot\frac{\alpha}{2} \cot\frac{\beta}{2} \cot\frac{\gamma}{2}$

Для нахождения площади произвольного выпуклого четырехугольника используется формула, включающая диагонали $d_1, d_2$ и угол $\phi$ между ними:

$S = \frac{1}{2}d_1 d_2 \sin\phi$

Ответ: Тригонометрия позволяет вычислять площади фигур, используя их стороны, углы и радиусы вписанных/описанных окружностей, часто избегая необходимости проводить высоты.