Номер 4, страница 152, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §23. ч. 1 - номер 4, страница 152.

4. Дано тождество $f(x) = 2 \sin 9x \cos 5x$. Какое из приведённых ниже утверждений верно:

а) $f(x) = \sin 7x + \sin 2x;$

б) $f(x) = \cos 14x + \cos 4x;$

в) $f(x) = \cos 14x - \cos 4x;$

г) $f(x) = \sin 4x + \sin 14x?$

Для того чтобы определить, какое из приведённых утверждений является верным, необходимо преобразовать исходное выражение $f(x) = 2 \sin 9x \cos 5x$. Для этого преобразуем произведение тригонометрических функций в их сумму.

Воспользуемся формулой преобразования произведения синуса на косинус в сумму синусов:
$2 \sin \alpha \cos \beta = \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)$

В нашем выражении $f(x) = 2 \sin 9x \cos 5x$ положим $\alpha = 9x$ и $\beta = 5x$. Подставим эти значения в формулу:
$f(x) = \sin(9x + 5x) + \sin(9x - 5x)$

Упростим выражения в аргументах функций:
$f(x) = \sin 14x + \sin 4x$

Теперь, когда мы нашли истинное выражение для $f(x)$, сравним его с предложенными вариантами:

а) $f(x) = \sin 7x + \sin 2x$. Данное утверждение неверно, так как $\sin 14x + \sin 4x \neq \sin 7x + \sin 2x$.

б) $f(x) = \cos 14x + \cos 4x$. Данное утверждение неверно, так как наше выражение содержит синусы, а не косинусы.

в) $f(x) = \cos 14x - \cos 4x$. Данное утверждение также неверно.

г) $f(x) = \sin 4x + \sin 14x$. Данное утверждение верно. В силу коммутативного свойства сложения (от перемены мест слагаемых сумма не меняется), $\sin 14x + \sin 4x = \sin 4x + \sin 14x$.

Ответ: г) $f(x) = \sin 4x + \sin 14x$